断面性能（面積、モーメント）投稿者：山中和義 投稿日：2011年12月12日(月)19時56分1秒 |
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!座標法で図形（多角形）の断面性能を求める DATA 12 !頂点の個数 I型 DATA 0, 0 !頂点の座標 DATA 25, 0 DATA 25, 2.5 DATA 13.1, 2.5 DATA 13.1, 47.5 DATA 25, 47.5 DATA 25, 50 DATA 0, 50 DATA 0, 47.5 DATA 11.9, 47.5 DATA 11.9, 2.5 DATA 0, 2.5 !LET CX=20 !中心位置 ※円型 多角形による近似 !LET CY=10 !LET R=30 !半径 ! !LET N=360 !頂点の個数 !DIM X(N),Y(N) !頂点の座標 !FOR i=1 TO N ! LET X(i)=R*COS(RAD(i-1))+CX ! LET Y(i)=R*SIN(RAD(i-1))+CY !NEXT i READ N !頂点の個数 DIM X(N),Y(N) !頂点の座標 FOR i=1 TO N READ X(i),Y(i) NEXT i CALL MOAofPolygon(N,X,Y, Du,Dd,Dl,Dr, S,Sx,Sy,Xg,Yg,Jx,Jy,Jxy) !基本 CALL MOA_Print(Du,Dd,Dl,Dr, S,Sx,Sy,Xg,Yg,Jx,Jy,Jxy) !基本を表示する CALL MOA_Print2(Du,Dd,Dl,Dr, S,Sx,Sy,Xg,Yg,Jx,Jy,Jxy, ALPHA) !その他 !●形状を描く LET w=Dr-Dl !幅 ※多角形の大きさ LET h=Du-Dd !高さ LET t=MAX(w,h) !縦横の比率を合わせる LET xx1=Dl-t*0.1 LET xx2=Dl+t*1.1 LET yy1=Dd-t*0.1 LET yy2=Dd+t*1.1 SET WINDOW xx1,xx2,yy1,yy2 !表示領域を設定する IF t>=10 THEN DRAW grid(INT(t/10),INT(t/10)) !座標を描く ELSE DRAW grid(t/10,t/10) !座標を描く END IF CALL gcDRAWPOLYGON(N,X,Y) !多角形の形状を描く CALL gcDRAWPOINT(Xg,Yg,"G") !図心位置 SET LINE COLOR 4 !赤色 LET L=TAN(ALPHA) !u軸 ※点(x1,y1)と通り、傾きαの直線は、Y-y1=tanα(X-x1)より LET M=-1 LET N=-L*Xg+Yg CALL gcDRAWLINE(L,M,N) SET LINE COLOR 3 !緑色 LET A=-M !v軸 ※点(x1,y1)と通り、直線Lx+My+N=0に垂直な直線は、L(y-y1)=M(x-x1)より LET B=L LET C=-L*Yg+M*Xg CALL gcDRAWLINE(A,B,C) SET LINE COLOR 2 !青色 PLOT LINES: Dl,Dd; Dr,Dd; Dr,Du; Dl,Du; Dl,Dd !AABB（軸並行境界ボックス: Axis-Aligned Bounding Box） END !多角形 !反時計まわりに与えられた多角形の頂点が示す座標を(X[i],Y[i])、i=1,2,…,N とする。 !また、X[N+1]=X[1],Y[N+1]=Y{1]とする。 !・辺どうしが交差しない。 !・凸でも凹でも構わない。 !●断面積（sectional area、断面0次モーメント） 単位: mm^2 ! 反時計まわりを正とする符号付面積である。 ! S=∫dS=(1/2)Σ[i=1,N]{ X(i)*Y(i+1)-X(i+1)*Y(i) } 辺と原点からなる三角形の面積の和（2次元外積による） ! Ax=(1/2)Σ[i=1,N]{ (X(i)-X(i+1))*(Y(i)+Y(i+1)) } 辺とX軸からなる台形の面積の和 ! Ay=(1/2)Σ[i=1,N]{ (Y(i+1)-Y(i))*(X(i)+X(i+1)) } 辺とY軸からなる台形の面積の和 ! S=Ax=Ay ! !以下、三角形の面積（2次元外積による）を基準に、 ! !●原点からX軸方向、原点からY軸方向の断面1次モーメント（statical moment of area） 単位: mm^3 ! Sx=∫ydS=(1/6)Σ[i=1,N]{ (X(i)*Y(i+1)-X(i+1)*Y(i)) * (X(i)+X(i+1)) } ! Sy=∫xdS=(1/6)Σ[i=1,N]{ (X(i)*Y(i+1)-X(i+1)*Y(i)) * (Y(i)+Y(i+1)) } !図心Xg軸回り、図心Yg軸回りの断面1次モーメント ! Sxg=Syg=0 ! !●図心（centroid） 単位: mm ※荷重分布が均一なら、重心となる ! Xg=Sx/S ! Yg=Sy/S ! !●X軸回り、Y軸回りの断面2次モーメント（moment of inertia of area） 単位: mm^4 ! Jx=∫y^2dS=(1/24)Σ[i=1,N]{ (X(i)*Y(i+1)-X(i+1)*Y(i)) * ((Y(i)+Y(i+1))^2+Y(i)^2+Y(i+1)^2) } ! Jy=∫x^2dS=(1/24)Σ[i=1,N]{ (X(i)*Y(i+1)-X(i+1)*Y(i)) * ((X(i)+X(i+1))^2+X(i)^2+X(i+1)^2) } !図心Xg軸回り、図心Yg軸回りの断面2次モーメント ! Jxg=Jx-S*Yg^2 ! Jyg=Jy-S*Xg^2 ! !●原点回りの断面相乗モーメント（product of inertia of area） 単位: mm^4 ! Jxy=∫xydS=(1/24)Σ[i=1,N]{ (X(i)*Y(i+1)-X(i+1)*Y(i)) * ((X(i)+X(i+1))*(Y(i)+Y(i+1))+X(i)*Y(i)+X(i+1)*Y(i+1)) } !図心回りの断面相乗モーメント ! Jxyg=Jxy-S*Xg*Yg EXTERNAL SUB MOAofPolygon(N,X(),Y(), Du,Dd,Dl,Dr, S,Sx,Sy,Xg,Yg,Jx,Jy,Jxy) !基本 LET a=X(N) !Σ部分 LET b=Y(N) LET c=X(1) LET d=Y(1) LET Du=b !座標の最大値、最小値を探す LET Dd=b LET Dl=a LET Dr=a LET wx=a+c LET wy=b+d LET S=a*d-b*c LET Sx=S*wx LET Sy=S*wy LET Jx=S*(wy*wy-b*d)*2 LET Jy=S*(wx*wx-a*c)*2 LET Jxy=S*(wx*wy+(a*b+c*d)) FOR i=1 TO N-1 LET a=X(i) !原点、点(a,b)、点(c,d)の3点 LET b=Y(i) LET c=X(i+1) LET d=Y(i+1) IF b>Du THEN LET Du=b !上端 IF b<Dd THEN LET Dd=b !下端 IF a<Dl THEN LET Dl=a !左端 IF a>Dr THEN LET Dr=a !右端 LET wx=a+c !※似た式が多いので、まとめて乗算の回数が減るように式を変形した LET wy=b+d LET t=a*d-b*c LET S=S+t LET Sx=Sx+t*wx LET Sy=Sy+t*wy LET Jx=Jx+t*(wy*wy-b*d)*2 LET Jy=Jy+t*(wx*wx-a*c)*2 LET Jxy=Jxy+t*(wx*wy+(a*b+c*d)) NEXT i LET S=S/2 !定数部分 LET Sx=Sx/6 LET Sy=Sy/6 LET Xg=Sx/S LET Yg=Sy/S LET Jx=Jx/24 LET Jy=Jy/24 LET Jxy=Jxy/24 END SUB EXTERNAL SUB MOA_Print(Du,Dd,Dl,Dr, S,Sx,Sy,Xg,Yg,Jx,Jy,Jxy) !基本を表示する PRINT "上端=";Du; "下端=";Dd; "左端=";Dl; "右端=";Dr PRINT "断面積 S=";S PRINT "断面1次モーメント（原点からX軸方向）Sx=";Sx; "（原点からY軸方向）Sy=";Sy PRINT "図心 Xg=";Xg; "Yg=";Yg PRINT "断面2次モーメント（X軸回り）Jx=";Jx; "（Y軸回り）Jy=";Jy PRINT "断面相乗モーメント（原点回り）Jxy=";Jxy END SUB EXTERNAL SUB MOA_Print2(Du,Dd,Dl,Dr, S,Sx,Sy,Xg,Yg,Jx,Jy,Jxy, ALPHA) !その他 LET Jxg=Jx-S*Yg^2 LET Jyg=Jy-S*Xg^2 PRINT "断面2次モーメント（図心Xg軸回り）Jxg=";Jxg; "（図心Yg軸回り）Jyg=";Jyg LET Jxyg=Jxy-S*Xg*Yg PRINT "断面相乗モーメント（図心回り）Jxyg=";Jxyg !●原点回りの断面2次極モーメント 単位: mm^4 ! Jd=∫r^2dS=∫(x^2+y^2)dS=Jx+Jy !図心回りの断面2次極モーメント ! Jdg=Jxg+Jyg LET Jd=Jx+Jy PRINT "断面2次極モーメント（原点回り）Jd=";Jd LET Jdg=Jxg+Jyg PRINT "断面2次極モーメント（図心回り）Jdg=";Jdg !●断面2次半径 単位: mm ! Rx=√(Jx/S) ! Ry=√(Jy/S) !図心Xg軸回り、図心Yg軸回りの断面2次半径 ! Rxg=√(Jxg/S) ! Ryg=√(Jyg/S) !図心回りの断面2次半径 ! Rxyg=√(Rxg^2+Ryg^2) LET Rx=SQR(Jx/S) LET Ry=SQR(Jy/S) PRINT "断面2次半径（X軸回り）Rx=";Rx; "（Y軸回り）Ry=";Ry LET Rxg=SQR(Jxg/S) LET Ryg=SQR(Jyg/S) PRINT "断面2次半径（図心Xg軸回り）Rxg=";Rxg; "（図心Yg軸回り）Ryg=";Ryg LET Rxyg=SQR(Rxg^2+Ryg^2) PRINT "断面2次半径（図心回り）Rxyg=";Rxyg !●断面係数（section modulus） 単位: mm^3 ! 上端 Wu=Jyg/d dは、図心から上端までの距離 ! 下端 Wd=Jyg/d dは、図心から下端までの距離 ! 左端 Wl=Jxg/d dは、図心から左端までの距離 ! 右端 Wr=Jxg/d dは、図心から右端までの距離 LET Mu=Jxg/(Du-Yg) !図心を基準にする LET Md=Jxg/(Yg-Dd) LET Ml=Jyg/(Xg-Dl) LET Mr=Jyg/(Dr-Xg) PRINT "断面係数（上端）Mu=";Mu; "（下端）Md=";Md PRINT " （左端）Ml=";Ml; "（右端）Mr=";Mr !●X軸からの主軸の角度α 単位: ラジアン ! α=(1/2)ArcTan( (-2*Jxy)/(Jx-Jy) ) IF Jy-Jx=0 THEN LET ALPHA=PI ELSE LET ALPHA=ATN( (2*Jxy)/(Jy-Jx) )/2 END IF PRINT "主軸の角度=";DEG(ALPHA);"°" !●主軸回りの断面2次モーメント（固有断面2次モーメント） 単位: mm^4 ! Ju=( Jx+Jy + √((Jx-Jy)^2 + 4*Jxy^2) ) / 2 ! Jv=( Jx+Jy - √((Jx-Jy)^2 + 4*Jxy^2) ) / 2 ! Juv=0 LET t=SQR((Jx-Jy)^2+4*Jxy^2) LET Ju=(Jx+Jy+t)/2 LET Jv=(Jx+Jy-t)/2 LET Juv=0 PRINT "断面2次モーメント（主軸u軸回り）Ju=";Ju; "（v軸回り）Jv=";Jv !!PRINT "断面2次モーメント（主軸回り）Juv=";Juv END SUB !作図ツール EXTERNAL SUB gcDRAWPOINT(x,y,s$) !点を描く PLOT POINTS: x,y PLOT TEXT ,AT x,y: s$ END SUB EXTERNAL SUB gcDRAWLINE(L,M,N) !直線Lx+My+N=0を描く IF (L=0 AND M=0) THEN PRINT "L=M=0なので、直線が成立しません。"; L;M;N ELSE ASK WINDOW x1,x2,y1,y2 IF ABS(L)>ABS(M) THEN !y=±xの傾きより大きいなら ※y軸に平行な直線を含む PLOT LINES: -(M*y1+N)/L,y1; -(M*y2+N)/L,y2 ELSE PLOT LINES: x1,-(L*x1+N)/M; x2,-(L*x2+N)/M END IF END IF END SUB EXTERNAL SUB gcDRAWPOLYGON(N,X(),Y()) !多角形を描く FOR i=1 TO N !折れ線でつなぐ PLOT LINES: X(i),Y(i); NEXT i PLOT LINES: X(1),Y(1) !閉じる END SUB 実行結果 上端= 50 下端= 0 左端= 0 右端= 25 断面積 S= 179 断面1次モーメント（原点からX軸方向）Sx= 2237.5 （原点からY軸方向）Sy= 4475 図心 Xg= 12.5 Yg= 25 断面2次モーメント（X軸回り）Jx= 191560.416666667 （Y軸回り）Jy= 34485.6466666667 断面相乗モーメント（原点回り）Jxy= 55937.5 断面2次モーメント（図心Xg軸回り）Jxg= 79685.416666667 （図心Yg軸回り）Jyg= 6516.8966666667 断面相乗モーメント（図心回り）Jxyg= 0 断面2次極モーメント（原点回り）Jd= 226046.063333334 断面2次極モーメント（図心回り）Jdg= 86202.3133333337 断面2次半径（X軸回り）Rx= 32.7134517517199 （Y軸回り）Ry= 13.8801024473114 断面2次半径（図心Xg軸回り）Rxg= 21.0990503462148 （図心Yg軸回り）Ryg= 6.03384155806719 断面2次半径（図心回り）Rxyg= 21.9448665856042 断面係数（上端）Mu= 3187.41666666668 （下端）Md= 3187.41666666668 （左端）Ml= 521.351733333336 （右端）Mr= 521.351733333336 主軸の角度=-17.7300030228545 ° 断面2次モーメント（主軸u軸回り）Ju= 209444.630641628 （v軸回り）Jv= 16601.4326917054 
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