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問題
Q上既約な多項式x^3-2x-2において、x^3-2x-2=0の根をαとする。
次の式をαの整式として表せ。
(1) (55+α＋2α^2+3α^3+4α^4+5α^5+6α^6+7α^7) / (194+α+8α^2+27α^3+64α^4+125α^5)
(2) (194+4α+16α^2+32α^3+44α^4+52α^5+60α^6+69α^7+46α^8-13α^9-48α^10-23α^11+6α^12+7α^13)
/ (117-2α-258α^2-4630α^3-37141α^4-188890α^5-154063α^6+16384α^7+78125α^8)
答え
(1)
分子 (55+α＋2α^2+3α^3+4α^4+5α^5+6α^6+7α^7) の次数を下げると、
!補題
!多項式の除法F(x)÷G(x)、商と余り
!f[0]x^n+f[1]x^(n-1)+ … +f[n-1]x+f[n] ÷ g[0]x^m+g[1]x^(m-1)+ … +g[m-1]x+g[m]
!答え
!m次因子の組立除法による
DATA 7
DATA 7,6,5,4,3,2,1,55
DATA 3
DATA 1,0,-2,-2
READ N
DIM F(0 TO N)
MAT READ F
PRINT N
MAT PRINT F;
READ M
DIM G(0 TO M)
MAT READ G
PRINT M
MAT PRINT G;
! t列
! ↓
! 7 6 5 4 3 2 1 55 i列／j行
! 0 0 0 0 0 │0 1
! 14 12 38 60 106 │2 2
! 14 12 38 60 106 │2 3
!-----------------------------------
! 7 6 19 30 53 100 167 161
! ↑
! W
DIM QR(0 TO N) !商と余り
MAT QR=F
LET G0=G(0)
FOR i=1 TO N-M+1
LET W=QR(i-1)
FOR J=1 TO M !x^(M-J)
LET t=i+J-1
!!PRINT i; J;t; W*(-G(J))/G0 !debug
LET QR(t)=QR(t) + W*(-G(J))/G0
NEXT J
LET QR(i-1)=QR(i-1)/G0 !g[0]≠1のとき
NEXT i
MAT PRINT QR; !結果を表示する
END
実行結果
7
7 6 5 4 3 2 1 55
3
1 0 -2 -2
7 6 19 30 53 100 167 161
同様に、分母の次数を下げると、
DATA 5
DATA 125,64,27,8,1,194
DATA 3
DATA 1,0,-2,-2
として、
実行結果
5
125 64 27 8 1 194
3
1 0 -2 -2
125 64 277 386 683 748
よって、(161+167α+100α^2) / (748+683α+386α^2)
次に、分母の有理化を行う。
F(x)=P+Qx+Rx^2、G(x)=A+Bx+Cx^2 とすると、
F(x)/G(x)=a+bx+cx^2より、F(x)=G(x)(a+bx+cx^2)なので、右辺は分母を払って整理すると、
(A+Bx+Cx^2)(a+bx+cx^2)
=A(a+bx+cx^2)+Bx(a+bx+cx^2)+Cx^2(a+bx+cx^2)
=(Aa) +(Ba+Ab)x +(Ac+Bb+Ca)x^2 +(Bc+Cb)x^3 +(Cc)x^4
よって、3次式の組立除法より、
Cc Bc+Cb Ac+Bb+Ca Ba+Ab Aa
0 0 │0
2Cc 2(Bc+Cb) │2
2Cc 2(Bc+Cb) │2
------------------------------------------------------------------
Cc Cb+Bc Ca+Bb+(A+2C)c Ba+(A+2C)b+(2B+2C)c Aa+2Cb+2Bc
したがって、恒等式
{Aa+2Cb+2Bc} + {Ba+(A+2C)b+(2B+2C)c}x + {Ca+Bb+(A+2C)c}x^2 = P+Qx+Rx^2
を満たすa,b,cを求めればよい。
OPTION ARITHMETIC RATIONAL !有理数モード
DIM M(3,3),x(3),n(3) !連立方程式Mx=n
LET A=748 !1
LET B=683 !x
LET C=386 !x^2
LET M(1,1)=A
LET M(1,2)=2*C
LET M(1,3)=2*B
LET M(2,1)=B
LET M(2,2)=A+2*C
LET M(2,3)=2*B+2*C
LET M(3,1)=C
LET M(3,2)=B
LET M(3,3)=A+2*C
LET n(1)=161 !P 1
LET n(2)=167 !Q x
LET n(3)=100 !R x^2
DIM iM(3,3) !連立方程式を解く
MAT iM=INV(M)
MAT x=iM*n
MAT PRINT x; !a,b,c
END
実行結果
3007664/17073391 152836/51220173 2019415/102440346
よって、(18045984 + 305672α + 2019415α^2)/102440346
(2)
こちらの方が簡単である。
DATA 13
DATA 7,6,-23,-48,-13,46,69,60,52,44,32,16,4,194
DATA 3
DATA 1,0,-2,-2
と
DATA 8
DATA 78125,16384,-154063,-188890,-37141,-4630,-258,-2,117
DATA 3
DATA 1,0,-2,-2
として、分子や分母の次数を下げたとき、194/117を得る。
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