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白百合学園中学（2013年）の入試問題より
父親から17頭のらくだと遺言「長男に1/2、二男に1/3、三男に1/9ずつ与える」が遺された。
そこに賢者が現れ、自分のラクダ1頭を加えて、長男に9頭、二男に6頭、三男に2頭ときれいに分配した。
賢者はとても感謝され、しかも自分のらくだも戻って、めでたしめでたし！
●賢者な3兄弟
賢者が現れなくても分けられた!?
らくだが17頭のとき、1/2,1/3,1/9ずつ与えるなら、
17/2=8.5
17/3≒5.66
17/9≒1.88
端数を切り上げて（または四捨五入して）、9,6,2頭ずつで分けた。
別解
らくだが17頭のとき、1/2,1/3,1/9ずつ与えるなら、
比率1/2:1/3:1/9=9/18:6/18:2/18=9:6:2から、9,6,2頭ずつで分けた。
（終り）
●父親の遺言
らくだの頭数を1頭を加えてmとする。x,y,zは正整数で、x≦y≦z≦mとする。
1/x+1/y+1/z=(m-1)/m ∴1/x+1/y+1/z=1-1/m ∴1/x+1/y+1/z+1/m=1
を満たし、x,y,zの最小公倍数がm（x,y,zがmの約数）になるx,y,zの組を求めると、
らくだが、3頭なら
1/4 1/4 1/4
らくだが、5頭なら
1/2 1/6 1/6
1/3 1/3 1/6
らくだが、7頭なら
1/2 1/4 1/8
らくだが、9頭なら
1/2 1/5 1/5
らくだが、11頭なら
1/2 1/3 1/12
1/2 1/4 1/6
1/3 1/3 1/4
らくだが、17頭なら
1/2 1/3 1/9
らくだが、19頭なら
1/2 1/4 1/5
らくだが、23頭なら
1/2 1/3 1/8
らくだが、41頭なら
1/2 1/3 1/7
以上、12通り。
OPTION ARITHMETIC RATIONAL !有理数モード
LET N=4 !変数の個数
PUBLIC NUMERIC C !解の個数
LET C=0
DIM D(N)
CALL try(1,D, 1,1,N) !1≦x≦y≦z≦w、1/x+1/y+1/z+1/w=1
!!!PRINT C
END
EXTERNAL SUB try(P,D(), A,B,N)
OPTION ARITHMETIC RATIONAL !有理数モード
IF P=N THEN !最後の変数wなら
LET W=1/B
!!IF W=INT(W) AND W>=A THEN
IF W=INT(W) THEN
LET D(N)=W
LET C=C+1 !個数
PRINT C
MAT PRINT D; !解
END IF
ELSE
FOR i=MAX(A,INT(1/B)+1) TO INT((N-P+1)/B) !x
LET D(P)=i
LET BB=B-1/i !1-1/x
IF BB>0 THEN CALL try(P+1,D, i,BB,N) !次の変数yへ
NEXT i
END IF
END SUB
実行結果
1
2 3 7 42
2
2 3 8 24
3
2 3 9 18
4
2 3 10 15 ←不適 28頭に2頭を補い分配することを意味する。∵(m-1)/m=(2m-2)/(2m)より
5
2 3 12 12
6
2 4 5 20
7
2 4 6 12
8
2 4 8 8
9
2 5 5 10
10
2 6 6 6
11
3 3 4 12
12
3 3 6 6
13
3 4 4 6 ←不適 10頭に2頭を補い分配することを意味する。
14
4 4 4 4
類題
1/x+1/y+1/z+1/w=1を満たすx≦y≦z≦wなる正整数の組を求めよ。
答え
1≦x≦y≦z≦wから、1/x＜1/x+1/y+1/z+1/w=1≦1/x+1/x+1/x+1/x=4/x ∴2≦x≦4
X=2のとき
1/y+1/z+1/w=1-1/2=1/2
x=2≦y≦z≦wから、1/y＜1/y+1/z+1/w=1/2≦1/y+1/y+1/y=3/y ∴3≦y≦6
y=3のとき
1/z+1/w=1-1/2-1/3=1/6
y=3≦z≦wから、1/z＜1/z+1/w=1/6≦1/z+1/z=2/z ∴7≦z≦12
z=7のとき
1/w=1-1/2-1/3-1/7=1/42 ∴w=42 ゆえに、(x,y,z,w)=(2,3,7,42)
z=8のとき
1/w=1-1/2-1/3-1/8=1/24 ∴w=24 ゆえに、(x,y,z,w)=(2,3,8,24)
z=9のとき
1/w=1-1/2-1/3-1/9=1/18 ∴w=18 ゆえに、(x,y,z,w)=(2,3,9,18)
z=10のとき
1/w=1-1/2-1/3-1/10=1/15 ∴w=15 ゆえに、(x,y,z,w)=(2,3,10,15)
z=11のとき
1/w=1-1/2-1/3-1/11=5/66 これは単位分数でないので、不適である。
z=12のとき
1/w=1-1/2-1/3-1/12=1/12 ∴w=12 ゆえに、(x,y,z,w)=(2,3,12,12)
y=4のとき
・・・
y=5のとき
・・・
y=6のとき
・・・
X=3のとき
・・・
X=4のとき
・・・
（終り）
参考サイト http://oeis.org/A002966
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