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投稿者：山中和義
投稿日：2013年 8月30日(金)11時16分49秒
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問題
Σ[n=0,∞]1/n!=1/0!+1/1!+1/2!+1/3!+1/4!+ … =e=2.71828… である。
そこで、
X=Σ[n=0,∞]1/(2n)!=1+1/2!+1/4!+1/6!+ …
Y=Σ[n=0,∞]1/(3n)!=1+1/3!+1/6!+1/9!+ …
Z=Σ[n=0,∞]1/(4n)!=1+1/4!+1/8!+1/12!+ …
の値を求めよ。
考察
まず、実際に数値計算してみる。
!Σ1/(k*n)!の計算
LET k=2
LET s=0
FOR n=30*k TO 1 STEP -1 !例 1/6!+1/4!+1/2!=((((0+1)/(6*5)+1)/(4*3)+1)/(2*1)
IF MOD(n,k)=0 THEN LET s=s+1
LET s=s/n
NEXT n
PRINT s+1 !1/0!を加味する
END
k=2のとき、1.54308063481525
k=3のとき、1.16805831337592
k=4のとき、1.04169147034169
次に、
x^2-1=(x-1)(x+1)より、1,-1
x^3-1=(x-1)(x^2+x+1)より、1,ω,ω^2
x^4-1=(x-1)(x+1)(x^2+1)より、1,-1（=i^2）,i,-i（=i^3）
1のn乗根（x^n-1=0の解）または 1の原始n乗根 に着目する。
1+(-1)=0、1+ω+ω^2=0、1+i+i^2+i^3=0 なので、
OPTION ARITHMETIC COMPLEX !複素数モード
LET i=COMPLEX(0,1) !虚数単位
LET w=COMPLEX(-1/2,SQR(3)/2) !ω（1の虚数立方根の一つ）
PRINT (EXP(1)+EXP(-1))/2 !X
PRINT (EXP(1)+EXP(w)+EXP(w^2))/3 !Y
PRINT (EXP(1)+EXP(i)+EXP(i^2)+EXP(i^3))/4 !Z
END
実行結果
1.54308063481524
( 1.16805831337592 -1.85037170770859E-17)
1.04169147034169
cosθ=(EXP(iθ)+EXP(-iθ))/2より、
EXP(ω)=EXP((-1+i√3)/2)=EXP(-1/2)*EXP(i*(√3)/2)=EXP(i*(√3)/2)/SQR(EXP(1))
EXP(ω^2)=EXP((-1-i√3)/2)=EXP(-1/2)*EXP(-i*(√3)/2)=EXP(-i*(√3)/2)/SQR(EXP(1))
EXP(ω)+EXP(ω^2)
={EXP(i*(√3)/2)+EXP(-i*(√3)/2)}/SQR(EXP(1))
=2*COS((√3)/2)/SQR(EXP(1))
また、
EXP(i)+EXP(-i)=EXP(i*1)+EXP(-i*1)=2*COS(1)
なので、実数の範囲で表現すると、
PRINT ( EXP(1)+2*COS(SQR(3)/2)/SQR(EXP(1)) )/3 !Y
PRINT ( EXP(1)+EXP(-1)+2*COS(1) )/4 !Z
END
実行結果
1.16805831337592
1.04169147034169
一般的に、
OPTION ARITHMETIC COMPLEX !複素数モード
LET i=COMPLEX(0,1) !虚数単位
LET k=5 !Σ1/(k*n)!
LET a=EXP(2*PI*i/k) !1の原始k乗根のひとつ
LET s=0
FOR m=0 TO k-1
LET s=s+EXP(a^m)
NEXT m
PRINT s/k
END
と考えられる。
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