不思議な数

 投稿者：山中和義  投稿日：2014年 1月26日(日)10時03分0秒
  12345679は不思議な数である。

まず、
12345679 ×  0 = 000000000

k=0,1,2,3,4,5,6,7,8とする。
m=9k+9のとき、
　12345679 ×  9 = 111111111
　12345679 × 18 = 222222222
　12345679 × 27 = 333333333
　12345679 × 36 = 444444444
　12345679 × 45 = 555555555
　12345679 × 54 = 666666666
　12345679 × 63 = 777777777
　12345679 × 72 = 888888888
　12345679 × 81 = 999999999

考察
12345679 × 9 = 12345679 × (10-1) = 123456790 - 12345679 = 111111111 が成り立つので、
12345679 × 18 = (12345679×9) × 2 = 111111111 × 2 = 222222222
12345679 × 27 = (12345679×9) × 3 = 111111111 × 3 = 333333333
12345679 × 36 = (12345679×9) × 4 = 111111111 × 4 = 444444444
　：
　：（同様に）
（終り）


次に、

> 12345679を14倍すると、172839506で、4以外の0～9の数字がすべて出現している。
> これは、3の倍数を除いた80までの自然数倍で見られる現象である。

実際に計算してみよう。

m=9k+1のとき、
　12345679 ×  1 =  12345679 　8がない
　12345679 × 10 = 123456790
　12345679 × 19 = 234567901
　12345679 × 28 = 345679012
　12345679 × 37 = 456790123
　12345679 × 46 = 567901234
　12345679 × 55 = 679012345
　12345679 × 64 = 790123456
　12345679 × 73 = 901234567

m=9k+2のとき、
　12345679 ×  2 =  24691358 　7がない
　12345679 × 11 = 135802469
　12345679 × 20 = 246913580
　12345679 × 29 = 358024691
　12345679 × 38 = 469135802
　12345679 × 47 = 580246913
　12345679 × 56 = 691358024
　12345679 × 65 = 802469135
　12345679 × 74 = 913580246

m=9k+4のとき、
　12345679 ×  4 =  49382716 　5がない
　12345679 × 13 = 160493827
　12345679 × 22 = 271604938
　12345679 × 31 = 382716049
　12345679 × 40 = 493827160
　12345679 × 49 = 604938271
　12345679 × 58 = 716049382
　12345679 × 67 = 827160493
　12345679 × 76 = 938271604

m=9k+5のとき、
　12345679 ×  5 =  61728395 　4がない
　12345679 × 14 = 172839506
　12345679 × 23 = 283950617
　12345679 × 32 = 395061728
　12345679 × 41 = 506172839
　12345679 × 50 = 617283950
　12345679 × 59 = 728395061
　12345679 × 68 = 839506172
　12345679 × 77 = 950617283

m=9k+7のとき、
　12345679 ×  7 =  86419753 　2がない
　12345679 × 16 = 197530864
　12345679 × 25 = 308641975
　12345679 × 34 = 419753086
　12345679 × 43 = 530864197
　12345679 × 52 = 641975308
　12345679 × 61 = 753086419
　12345679 × 70 = 864197530
　12345679 × 79 = 975308641

m=9k+8のとき、
　12345679 ×  8 =  98765432 　1がない
　12345679 × 17 = 209876543
　12345679 × 26 = 320987654
　12345679 × 35 = 432098765
　12345679 × 44 = 543209876
　12345679 × 53 = 654320987
　12345679 × 62 = 765432098
　12345679 × 71 = 876543209
　12345679 × 80 = 987654320


考察
たとえば、m=9k+2のとき、
『12345679 ×11 = 135802469　7がない』について
12345679×11 = 12345679×9 + 12345679×2 = 111111111 + 024691358 より、
各桁に、1を加えるので、
0→1、1→2、2→3、3→4、4→5、5→6、6→7、7→8、8→9、9→10（9→0）と巡回する。
9の前（ひとつ上の位）が6から、9→10の繰り上がりを考慮すると、6→8となり、7がなくなる。
024691358に7がないので、8はひとつとなる。

『12345679 × 20 = 246913580　7がない』について
12345679×20 = 12345679×9 + 12345679×11 = 111111111 + 135802469 として、
上記と同様な議論を行う。

『12345679 × 29 = 358024691　7がない』について
12345679×29 = 12345679×9 + 12345679×20 = 111111111 + 246913580 として、
上記と同様な議論を行う。

　：
　：（同様に）


以上から、
　12345679 × 9 = 111111111
と
　12345679 × 1 = 12345679 　8がない
　12345679 × 2 = 24691358 　7がない
　12345679 × 4 = 49382716 　5がない
　12345679 × 5 = 61728395 　4がない
　12345679 × 7 = 86419753 　2がない
　12345679 × 8 = 98765432 　1がない
から議論できる。


また、9の前（ひとつ上の位）の数をaとすると、『(a+1)がない』となる。
（終り）


LET n=12345679
FOR a=1 TO 9
   PRINT "m=9k+";STR$(a)
   FOR k=0 TO 8
      LET m=9*k+a
      PRINT USING "######## × ## = #########": n,m,n*m
   NEXT k
   PRINT
NEXT a
END

 		 

Re: 不思議な数

 投稿者：山中和義  投稿日：2014年 1月27日(月)11時30分58秒
  > No.3311[元記事へ]

123456789は不思議な数である。


まず、

k=0,1,2,3,4,5,6,7,8,9とする。
m=9k+9のとき、
　123456789 ×  9 =  1111111101
　123456789 × 18 =  2222222202
　123456789 × 27 =  3333333303
　123456789 × 36 =  4444444404
　123456789 × 45 =  5555555505
　123456789 × 54 =  6666666606
　123456789 × 63 =  7777777707
　123456789 × 72 =  8888888808
　123456789 × 81 =  9999999909
　123456789 × 90 = 11111111010

考察
123456789 × 9 = 123456789 × (10-1) = 1234567890 - 123456789 = 1111111101 が成り立つことより
（終り）


次に、

> 123456789 に3の倍数でない2桁の数（ただし、10の位の数と1の位の数の和が8以下）をかけると、
> 0123456789を並べ変えた数になる。このことを証明（説明）せよ。

実際に計算してみよう。

m=9k+1のとき、
123456789 ×  1 =   123456789
123456789 × 10 =  1234567890

m=9k+2のとき、
123456789 ×  2 =   246913578
123456789 × 11 =  1358024679
123456789 × 20 =  2469135780

m=9k+4のとき、
123456789 ×  4 =   493827156
123456789 × 13 =  1604938257
123456789 × 22 =  2716049358
123456789 × 31 =  3827160459
123456789 × 40 =  4938271560

m=9k+5のとき、
123456789 ×  5 =   617283945
123456789 × 14 =  1728395046
123456789 × 23 =  2839506147
123456789 × 32 =  3950617248
123456789 × 41 =  5061728349
123456789 × 50 =  6172839450

m=9k+7のとき、
123456789 ×  7 =   864197523
123456789 × 16 =  1975308624
123456789 × 25 =  3086419725
123456789 × 34 =  4197530826
123456789 × 43 =  5308641927
123456789 × 52 =  6419753028
123456789 × 61 =  7530864129
123456789 × 70 =  8641975230

m=9k+8のとき、
123456789 ×  8 =   987654312
123456789 × 17 =  2098765413
123456789 × 26 =  3209876514
123456789 × 35 =  4320987615
123456789 × 44 =  5432098716
123456789 × 53 =  6543209817
123456789 × 62 =  7654320918
123456789 × 71 =  8765432019
123456789 × 80 =  9876543120


考察
たとえば、m=9k+7のとき、
『123456789 × 16 =  1975308624』について
123456789×11 = 123456789×9 + 123456789×2 = 1111111101 + 864197523 より、
各桁に、1を加えるので、
0→1、1→2、2→3、3→4、4→5、5→6、6→7、7→8、8→9、9→10（9→0）と巡回する。
9の前（ひとつ上の位）が1から、9→10の繰り上がりを考慮すると、1→3となり、2がなくなる。
十の位の2は、0を加えるので2のままである。
よって、0→1、1→3、2→2、3→4、4→5、5→6、6→7、7→8、8→9、9→10（9→0）と巡回する。

『123456789 × 25 =  3086419725』について
123456789×25 = 123456789×9 + 123456789×16 = 1111111101 + 1975308624 として、
上記と同様な議論を行う。

また、k=7すなわちm=70の場合は、一巡したことになる。
（終り）


LET n=123456789
FOR a=1 TO 9
   IF a=3 OR a=6 THEN
   ELSE
      PRINT "m=9k+";STR$(a)
      FOR k=0 TO a
         LET m=9*k+a
         PRINT USING "######### × ## = ###########": n,m,n*m
      NEXT k
      PRINT
   END IF
NEXT a
END

 		 

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