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x-1
x^2-1=(x-1)(x+1)
x^3-1=(x-1)(x^2+x+1)
x^4-1=(x-1)(x+1)(x^2+1)
x^5-1=(x-1)(x^4+x^3+x^2+x+1)
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以下は、複素数が計算できる高校生のプログラミングによる数学である。
問題 円分多項式
α=(1+√3i)/2 （iは虚数単位）とします。
[1] αをガウス平面上に図示してください。
[2] α^2、α^3、α^4、α^5、をそれぞれ計算し、[1]と同じガウス平面上に全て図示してください。
α^0=1もそこに書き加えてください。
6つの点の位置関係を説明してください。
[3] これら6つの数と6次方程式x^6-1=0との間にある関係を説明してください。
[4] x^6-1=0 の左辺は円分多項式を用いて F1(x)×F2(x)×F3(x)×F6(x)=0と因数分解できます。
F1(x)=0、F2(x)=0、F3(x)=0、F6(x)=0、それぞれを解いてガウス平面上に図示してください。
Fn(x)のnの値とそれぞれの解の累乗との関係を説明してください。
ド・モアブルの定理について調べるのもいいかもしれません。
[5] F9(x)=x^6+x^3+1=0の6つの解をガウス平面上に図示してください。
F1(x)=x-1とF3(x)=x^2+x+1をうまく使い、[3][4]をヒントにしてください。
[6] F9(x)=0の6つの解、それぞれ3乗するとどうなるでしょうか。
[7] F9(x)=F3(x^3)という関係式が成り立つのは式の上では明らかですが、これは一体何を意味する式なのか考えてみてください。
[8] F27(x)とF3(x)との関係はどうなると予想されるでしょうか。
[9] F1(x)=x-1とF3(x)=x^2+x+1を使ってx^81-1を因数分解してください。
考察
> [1],[2]
α^0=1
α^1=(1/2)+{(√3)/2}i =cosθ+i*sinθ、θ=2π/6=π/3
α^2=(-1/2)+{(√3)/2}i =cos2θ+i*sin2θ
α^3=-1 =cos3θ+i*sin3θ
α^4=(-1/2)+{-(√3)/2}i =cos4θ+i*sin4θ
α^5=(1/2)+{-(√3)/2}i =cos5θ+i*sin5θ
ガウス平面（z=x+iy、iは虚数単位）
Y
│
α^2 ● ── ● α^1
／ │ ＼
─ α^3 ● ── ・ ── ○ α^0 ─→X
＼ │ ／
α^4 ● ── ● α^5
│
単位円に内接する正6角形の頂点である。
> [3]
f(x)=x^6-1 とすると、先の値を代入して、
f(α^0)=1^6-1=0
f(α^1)=( (1/2)+{(√3)/2}i )^6-1=0
f(α^2)=0
f(α^3)=0
f(α^4)=0
f(α^5)=0
なので、α^0,α^1,α^2,α^3,α^4,α^5は、x^6-1=0の相異なる6つの解である。
（別解）f(α)=0 の場合
α=(1/2)+{(√3)/2}iより、2α-1=(√3)i ∴4α^2-4α+4=0 ∴α^2-α+1=0
f(α)=α^6-1 なので、(α^6-1)÷(α^2-α+1)を考える。
α^4+α^3-α-1
----------------------------------
α^2-α+1 ) α^6 -1
α^6-α^5+α^4
---------------------
α^5-α^4
α^5-α^4+α^3
-----------------------
-α^3
-α^3+α^2-α
-------------------
-α^2+α-1
-α^2+α-1
--------------
0
よって、f(α)=α^6-1=(α^2-α+1)(α^4+α^3-α-1)=0
（終り）
したがって、
x^6-1
=(x-α^0)(x-α^1)(x-α^2)(x-α^3)(x-α^4)(x-α^5)
=(x-α^0)(x-α^3){(x-α^2)(x-α^4)}{(x-α^1)(x-α^5)}
=(x-1)(x+1)(x^2+x+1)(x^2-x+1)
6=1*2*3*6 と素因数分解される
> [4]
1=(α^1)^6=(α^5)^6 なので、1の原始6乗根 x^2-x+1=0の解 1,2,3,4,5,6の中で、6と互いに素 1,5
1=(α^2)^3=(α^4)^3 なので、1の原始3乗根 x^2+x+1=0の解 ω
1=(α^3)^2 なので、1の原始2乗根 x+1=0の解
1=(α^0)^1 なので、1の原始1乗根 x-1=0の解
この場合、「べき乗する」ことは、「回転させる」ことである。
OPTION ARITHMETIC COMPLEX !ガウス平面（複素平面）
LET i=COMPLEX(0,1) !虚数単位
SET WINDOW -1.5,1.5, -1.5,1.5 !表示領域
DRAW grid(0.5,0.5)
DRAW circle !単位円
!x^6-1=0の6つの解
LET x1=EXP(2*PI*i*1/6) !α LET th=2*PI/6、LET x1=COS(1*th)+i*SIN(1*th)
LET x2=EXP(2*PI*i*2/6)
LET x3=EXP(2*PI*i*3/6)
LET x4=EXP(2*PI*i*4/6)
LET x5=EXP(2*PI*i*5/6)
LET x6=EXP(2*PI*i*6/6)
PRINT "x1="; x1
PRINT "x2="; x2
PRINT "x3="; x3
PRINT "x4="; x4
PRINT "x5="; x5
PRINT "x6="; x6
DRAW circle WITH SCALE(0.05)*SHIFT(x6)
DRAW disk WITH SCALE(0.05)*SHIFT(x3)
SET AREA COLOR 4 !赤色
DRAW disk WITH SCALE(0.05)*SHIFT(x1)
DRAW disk WITH SCALE(0.05)*SHIFT(x5)
SET AREA COLOR 2 !青色
DRAW disk WITH SCALE(0.05)*SHIFT(x2)
DRAW disk WITH SCALE(0.05)*SHIFT(x4)
PRINT x3^2
PRINT x2^3; x4^3
PRINT x1^6; x5^6
PRINT
!(x-α^2)(x-α^4)=x^2+x+1
PRINT -(x2+x4) !解と係数の関係、展開して係数比較
PRINT x2*x4
!(x-α^1)(x-α^5)=x^2-x+1
PRINT -(x1+x5)
PRINT x1*x5
END
-----------------------------------
> [5]
○①②●④⑤●⑦⑧
1,2,3,4,5,6,7,8,9の中で、9と互いに素 1,2,4,5,7,8
> [6]
(X^1)^3 → X^3
(X^2)^3 → X^6
(X^4)^3 → X^12 ≡ X^3
(X^5)^3 → X^15 ≡ X^6
(X^7)^3 → X^21 ≡ X^3
(X^8)^3 → X^24 ≡ X^6
> [7]
0=x^6+x^3+1=(x^3)^2+(x^3)+1=X^2+X+1より、X=x^3は、1の原始3乗根
よって、xは、1の原始9乗根
y^9-1
=(y-x^0){(y-x^3)(y-x^6)}{(y-x^1)(y-x^2)(y-x^4)(y-x^5)(y-x^7)(y-x^8)}
=(y-1)(y^2+y+1){(y^3)^2+(y^3)+1}
=(y-1)(y^2+y+1)(y^6+y^3+1)
=F1*F3*F9
9=1*3^2 と素因数分解される
> [8]
27=1*3^3 と素因数分解される
x^9-1=F1*F3*F9*F27=(x-1)(x^2+x+1)(x^6+x^3+1)(x^18+x^9+1)
> [9]
81=1*3^4 と素因数分解される
x^81-1=F1*F3*F9*F27*F81=(x-1)(x^2+x+1)(x^6+x^3+1)(x^18+x^9+1)(x^54+x^27+1)
OPTION ARITHMETIC COMPLEX !ガウス平面（複素平面）
LET i=COMPLEX(0,1) !虚数単位
SET WINDOW -1.5,1.5, -1.5,1.5 !表示領域
DRAW grid(0.5,0.5)
DRAW circle !単位円
LET N=9 !150程度
!Fn(x)=0のm個の解
DIM X(N)
LET M=0
FOR K=1 TO N
IF gcd(K,N)=1 THEN !互いに素
LET M=M+1
LET X(M)=EXP(2*PI*K*i/N)
DRAW disk WITH SCALE(0.05)*SHIFT(X(M))
PRINT STR$(M);": "; X(M), K
END IF
NEXT K
PRINT
!Fn(x)=(x-X[1])(x-X[2])…(x-X[m])=A[m]x^m+A[m-1]x^(m-1)+ … +A[2]x^2+A[1]x+A[0]
DIM A(0 TO N)
CALL PolynomialExpandD1(M,X, aa,A)
FOR K=0 TO aa
LET T=INT(Re(A(K))+0.005) !精度 小数点以下3桁程度
IF T<>0 THEN PRINT T; "x^";STR$(K)
!!PRINT A(K),"x^";STR$(K)
NEXT K
END
EXTERNAL FUNCTION gcd(a,b) !最大公約数を求める
OPTION ARITHMETIC COMPLEX !ガウス平面（複素平面）
DO UNTIL b=0
LET r=MOD(a,b)
LET a=b
LET b=r
LOOP
LET gcd=a
END FUNCTION
!POLY.LIB 抜粋
EXTERNAL SUB PolynomialExpandD1(N,X(), aa,A()) !(x-x[1])(x-x[2]) … (x-x[n])を展開する
OPTION ARITHMETIC COMPLEX !ガウス平面（複素平面）
MAT A=ZER
LET A(1)=1 !X-x[1] !n個の解について
LET A(0)=-X(1)
FOR K=2 TO N !ホーナー法による
FOR i=K-1 TO 0 STEP -1 !展開する w=w*(X-x[k])
LET A(i+1)=A(i+1)+A(i)
LET A(i)=-A(i)*X(K)
NEXT i
NEXT K
LET aa=N !次数
END SUB
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