三角形ABCの各辺の中点で内接する楕円投稿者：山中和義 投稿日：2014年 6月17日(火)10時36分1秒 |
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三角形ABCの各辺の中点で内接する楕円 三角形の3点を、複素平面上の複素数A,B,Cとする。 複素数係数の3次方程式 f(x)=(x-A)(x-B)(x-C)=0 を考える。 f'(x)=3x^2-2(A+B+C)x+(AB+BC+CA)=0 の2解は、楕円の焦点となる。 f''(x)=6x-2(A+B+C)=0 の1解は、楕円の中点で、三角形の重心となる。 例 A(5,3)、B(-7,1)、C(2,-4)のとき、 f(x)=x^3-26x+(140-120i)=0なので、f'(x)=3x^2-26=0 ∴x=±(√78)/3 焦点は、( ±(√78)/3, 0 ) A(5,1)、B(1,3)、C(-6,-4)のとき、 f(x)=x^3-(18+32i)x+(-52+104i)=0なので、f'(x)=3x^2-(18+32i)=0 ∴x=±√{54+96i)}/3 =±( √{3(√337)+27} + ( √{3(√337)-27} )i )/3 焦点は、( ±√{3(√337)+27}/3 , ±( √{3(√337)-27}/3 ) OPTION ARITHMETIC COMPLEX !複素平面 LET i=COMPLEX(0,1) !虚数単位 SET WINDOW -8,8,-8,8 !表示領域 DRAW grid !座標を表示する LET OA=COMPLEX(5,3) !点A(5,3) LET OB=COMPLEX(-7,1) !点B(-7,1) LET OC=COMPLEX(2,-4) !点C(2,-4) !LET OA=COMPLEX(5,1) !点A(5,1) !LET OB=COMPLEX(1,3) !点B(1,3) !LET OC=COMPLEX(-6,-4) !点C(-6,-4) !LET OA=6*EXP(0*i) !正三角形 !LET OB=6*EXP(2*PI/3*i) !LET OC=6*EXP(4*PI/3*i) DRAW disk WITH SCALE(0.1)*SHIFT(OA) PLOT TEXT ,AT OA: "A" DRAW disk WITH SCALE(0.1)*SHIFT(OB) PLOT TEXT ,AT OB: "B" DRAW disk WITH SCALE(0.1)*SHIFT(OC) PLOT TEXT ,AT OC: "C" PLOT LINES: OA; OB; OC; OA !三角形ABCを描く LET OD=(OA+OB)/2 !辺ABの中点 LET OE=(OB+OC)/2 !辺BCの中点 LET OF=(OC+OA)/2 !辺CAの中点 DRAW disk WITH SCALE(0.1)*SHIFT(OD) DRAW disk WITH SCALE(0.1)*SHIFT(OE) DRAW disk WITH SCALE(0.1)*SHIFT(OF) LET P=-(OA+OB+OC) !f(x)=x^3+Px^2+Qx+R LET Q=OA*OB+OB*OC+OC*OA PRINT P; Q; -OA*OB*OC CALL Solve2EQU(3,2*P,Q, x1,x2) !f'(x)の解 PRINT x1; x2 DRAW disk WITH SCALE(0.1)*SHIFT(x1) DRAW disk WITH SCALE(0.1)*SHIFT(x2) IF x1-x2=0 THEN !円になる場合 LET m=0 ELSE LET m=arg(x1-x2) !傾き(-π,π] END IF LET C=(x1+x2)/2 !中心 Re(x1) LET F=ABS(x1-x2)/2 !焦点F(f,0)、F'(-f,0)とする LET A=(ABS(x1-OD)+ABS(x2-OD))/2 !2焦点までの距離の和2aの楕円は LET B=SQR(A^2-F^2) !標準形(x/a)^2+(y/b)^2=1である DRAW Elipse(A,B) WITH ROTATE(m)*SHIFT(C) !それを中心Cでm傾ける PRINT F; A;B PRINT C; (OA+OB+OC)/3 !重心 END EXTERNAL SUB Solve2EQU(A,B,C, x1,x2) !2次方程式Ax^2+Bx+C=0を解く OPTION ARITHMETIC COMPLEX !複素平面 LET D=B^2-4*A*C LET x1=(-B-SQR(D))/(2*A) LET x2=(-B+SQR(D))/(2*A) !共役 END SUB EXTERNAL PICTURE Elipse(A,B) !標準形楕円を描く x^2/a^2+y^2/b^2=1 OPTION ARITHMETIC COMPLEX !複素平面 FOR T=0 TO 360 !弧を描く LET X=A*COS(RAD(T)) LET Y=B*SIN(RAD(T)) PLOT LINES: X,Y; NEXT T PLOT LINES DRAW disk WITH SCALE(0.1)*SHIFT(0,0) !中心を描く IF A>=B THEN !焦点を描く LET C=SQR(A^2-B^2) DRAW disk WITH SCALE(0.1)*SHIFT( C,0) DRAW disk WITH SCALE(0.1)*SHIFT(-C,0) ELSE LET C=SQR(B^2-A^2) DRAW disk WITH SCALE(0.1)*SHIFT(0, C) DRAW disk WITH SCALE(0.1)*SHIFT(0,-C) END IF END PICTURE 実行結果 0 -26 ( 140 -120) -2.94392028877595 2.94392028877595 2.94392028877595 3.60555127546399 2.08166599946613 0 0 
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