十進BASIC第2掲示板過去ログ

S=±1^4±2^4±3^4 … ±2014^4 の値

投稿者：山中和義投稿日：2014年10月 7日(火)22時39分33秒

問題式 S=±1±2±3 … ±n を考えます。上記の式の右辺で±の演算子を自由にかえて計算します。このとき、Sが非負整数となるとき、その最小値はいくつでしょうか。また、　S=±1^2±2^2±3^2 … ±n^2 　S=±1^3±2^3±3^3 … ±n^3 　S=±1^4±2^4±3^4 … ±n^4 　　　：　　　：では、どうでしょうか。考察 2^n通りを実際に計算してみる。 1乗の場合　S: n 　0: 3 4 7 8 11 12 ┌┐ ┌┐ 　1: 1 2 5 6 9 10 13 │↓ │↓ … 2乗の場合　S: n 　0: 7 8 11 12 15 16 ┌┐ ┌┐ 　1: 1 6 9 10 13 14 17 │↓ │↓ … 　2: 4 　3: 2 5 　4: 3 大きなnに対して、0と1の振動に入るようだ。 OPTION ARITHMETIC RATIONAL !多桁の整数 PUBLIC NUMERIC C !最大値 DIM A(50) !並び FOR N=1 TO 50 !第n項まで　※25以上は困難 LET C=9999999999999999 CALL try(1,0,N,A) PRINT N; C NEXT N END EXTERNAL SUB try(K,S,N,A()) !バックトラック法で検証する OPTION ARITHMETIC RATIONAL !多桁の整数 FOR B=-1 TO 1 STEP 2 !Σ±k^m LET SS=S+B*K^2 !※2乗 LET A(K)=B IF K=N THEN !第n項なら !!!MAT PRINT A; IF SS>=0 AND SS<C THEN LET C=SS !最大値を記録する ELSE CALL try(K+1,SS,N,A) !次へ END IF NEXT B END SUB S=±0^m±1^m±2^m±3^m±4^m … =±偶数±奇数±偶数±奇数±偶数 … である。これより、Sの偶奇の振動は、　　 S: n 　偶数: 0 3 4 7 8 11 12 │↑ │↑ … 　奇数: 1 2 5 6 9 10 13 └┘ └┘ 　例　2乗の場合（Sの値）　偶数: 0 4 4 0 0 0 0 0 │↑ │↑ … 　奇数: 1 3 3 1 1 1 1 1 └┘ └┘ （終わり）式をつくる方法 ●1乗まず、　+0=0 　+0+1=1 　+0-1+2=1 　+0+1+2-3=+0-1-2+3=0 となる。ここで、±0±1±2 … ±x=Aのとき、　 (x+1) 　 -(x+2) 　 -(x+3) 　+) (x+4) 　-----------　　※符号の並びは、Thue-Morse sequenceである。　 0 なので、±0±1±2 … ±(x+4)は、Aとできる。 n=5の場合、[5/4]=1、5≡1(mod 4)より、1を基準にして、+1 +(+2-3-4+5)=1 n=14の場合、　[14/4]=3、14≡2(mod 4)より、2を基準にして、　-1+2 +(+3-4-5+6) +(+7-8-9+10) +(+11-12-13+14)=1 ●2乗 ±1^2±2^2 … ±x^2=Aのとき、　 (x+1)^2=x^2+2x+1 　 -(x+2)^2=x^2+4x+4 　 -(x+3)^2=x^2+6x+9 　 (x+4)^2=x^2+8x+16 　 -(x+5)^2=x^2+10x+25 　 (x+6)^2=x^2+12x+36 　 (x+7)^2=x^2+14x+49 　+) -(x+8)^2=x^2+16x+64 　------------------------ 　 =0 なので、±0^2±1^2±2^2 … ±(x+8)^2は、Aとできる。 ●3乗 ±1^3±2^3 … ±x^3=Aのとき、　 (x+1)^3-(x+2)^3-(x+3)^3+(x+4)^3 -(x+5)^3+(x+6)^3+(x+7)^3-(x+8)^3 　-(x+9)^3+(x+10)^3+(x+11)^3-(x+12)^3 +(x+13)^3-(x+14)^3-(x+15)^3+(x+16)^3 　=0 なので、±0^3±1^3±2^3 … ±(x+16)^3は、Aとできる。 ●4乗 ±1^4±2^4 … ±x^4=Aのとき、　 (x+1)^4-(x+2)^4-(x+3)^4+(x+4)^4 -(x+5)^4+(x+6)^4+(x+7)^4-(x+8)^4 ┐1536 　-(x+9)^4+(x+10)^4+(x+11)^4-(x+12)^4 +(x+13)^4-(x+14)^4-(x+15)^4+(x+16)^4 ┘ 　-(x+17)^4+(x+18)^4+(x+19)^4-(x+20)^4 +(x+21)^4-(x+22)^4-(x+23)^4+(x+24)^4 ┐-1536 　 (x+25)^4-(x+26)^4-(x+27)^4+(x+28)^4 -(x+29)^4+(x+30)^4+(x+31)^4-(x+32)^4 ┘ 　=0 なので、±0^4±1^4±2^4 … ±(x+32)^4は、Aとできる。これを適用すれば、 S=±1^4±2^4±3^4 … ±2014^4 のとき、 Σk^4=6635387114994287より、奇数である。 nを32で割ったときの剰余を考えれば、2014÷32=62あまり30 なので、　x=30として、1つの例　+0^4+1^4-2^4-3^4-4^4-5^4-6^4-7^4-8^4-9^4-10^4 　+11^4-12^4+13^4-14^4-15^4-16^4+17^4+18^4-19^4+20^4 　+21^4+22^4+23^4-24^4+25^4-26^4+27^4+28^4-29^4-30^4 　=1 から、1となる。式を構成するには、和が [(Σk^m)/2] になるk^mの組を探せばよい。樹形図を描いて確認する。 OPTION ARITHMETIC RATIONAL !多桁の整数 LET N=30 !=2014 mod 32 LET M=4 !4 !※4乗 PUBLIC NUMERIC F(3000) !f(x)=x^m LET S=0 !Σk^m FOR K=1 TO N LET T=K^M LET F(K)=T LET S=S+T NEXT K LET S2=INT(S/2) PRINT S; S2 PUBLIC NUMERIC C !場合の数 LET C=0 DIM A(N) !演算子の並び MAT A=ZER CALL try(2,S2,N,M,A) !※対称性　+1^m±2^m±3^m … PRINT C; "通り" END EXTERNAL SUB try(P,S,N,M,A()) !バックトラック法で検証する OPTION ARITHMETIC RATIONAL !多桁の整数 FOR K=P TO N !k^m の組み合わせ LET SS=S-F(K) !f(k)=k^m IF SS<0 THEN EXIT FOR !これ以降は可能性なし LET A(K)=1 IF SS=0 THEN !結果を表示する LET C=C+1 !!MAT PRINT A; PRINT "PRINT "; !BASIC言語の式を表示する FOR i=1 TO N IF A(i)=0 THEN PRINT "+"; ELSE PRINT "-"; !演算子 PRINT STR$(i);"^";STR$(M); !項 IF i<N AND MOD(i,20)=0 THEN !行を分割する PRINT " &" !行末 PRINT "& "; !継続行 END IF NEXT i PRINT PRINT ELSE CALL try(K+1,SS,N,M,A) !次へ END IF LET A(K)=0 NEXT K END SUB

Re: S=±1^4±2^4±3^4 … ±2014^4 の値

投稿者：山中和義投稿日：2014年10月 8日(水)10時00分2秒

> No.3518[元記事へ] 実際に式を作成して確認してみました。式をつくるプログラム DATA 0,1,1,1,1,1,1,1,1,1 !30=2014 mod 32 DATA 0,1,0,1,1,1,0,0,1,0 DATA 0,0,0,1,0,1,0,0,1,1 10 DATA 0,1,1,0, 1,0,0,1, 1,0,0,1, 0,1,1,0 !+32 thue-morse sequence DATA 1,0,0,1, 0,1,1,0, 0,1,1,0, 1,0,0,1 PRINT "PRINT "; !BASIC言語の式（PRINT文）を表示する FOR K=1 TO 30 READ A IF A=0 THEN PRINT "+"; ELSE PRINT "-"; PRINT USING "####": K; PRINT "^4"; IF K<30 AND MOD(K,10)=0 THEN PRINT " &" PRINT "& "; END IF NEXT K PRINT " &" PRINT "& &" PRINT "& "; FOR J=0 TO 62-1 !=[2014/32] RESTORE 10 FOR i=1 TO 32 READ A LET K=J*32+i+30 IF A=0 THEN PRINT "+"; ELSE PRINT "-"; PRINT USING "####": K; PRINT "^4"; IF K<2014 AND MOD(i,16)=0 THEN PRINT " &" PRINT "& "; END IF NEXT i PRINT " &" PRINT "& "; NEXT J PRINT PRINT "END" END 実行結果 PRINT + 1^4- 2^4- 3^4- 4^4- 5^4- 6^4- 7^4- 8^4- 9^4- 10^4 & & + 11^4- 12^4+ 13^4- 14^4- 15^4- 16^4+ 17^4+ 18^4- 19^4+ 20^4 & & + 21^4+ 22^4+ 23^4- 24^4+ 25^4- 26^4+ 27^4+ 28^4- 29^4- 30^4 & & & & + 31^4- 32^4- 33^4+ 34^4- 35^4+ 36^4+ 37^4- 38^4- 39^4+ 40^4+ 41^4- 42^4+ 43^4- 44^4- 45^4+ 46^4 & & - 47^4+ 48^4+ 49^4- 50^4+ 51^4- 52^4- 53^4+ 54^4+ 55^4- 56^4- 57^4+ 58^4- 59^4+ 60^4+ 61^4- 62^4 & & & & + 63^4- 64^4- 65^4+ 66^4- 67^4+ 68^4+ 69^4- 70^4- 71^4+ 72^4+ 73^4- 74^4+ 75^4- 76^4- 77^4+ 78^4 & & - 79^4+ 80^4+ 81^4- 82^4+ 83^4- 84^4- 85^4+ 86^4+ 87^4- 88^4- 89^4+ 90^4- 91^4+ 92^4+ 93^4- 94^4 & & & & + 95^4- 96^4- 97^4+ 98^4- 99^4+ 100^4+ 101^4- 102^4- 103^4+ 104^4+ 105^4- 106^4+ 107^4- 108^4- 109^4+ 110^4 & & - 111^4+ 112^4+ 113^4- 114^4+ 115^4- 116^4- 117^4+ 118^4+ 119^4- 120^4- 121^4+ 122^4- 123^4+ 124^4+ 125^4- 126^4 & & & & + 127^4- 128^4- 129^4+ 130^4- 131^4+ 132^4+ 133^4- 134^4- 135^4+ 136^4+ 137^4- 138^4+ 139^4- 140^4- 141^4+ 142^4 & & - 143^4+ 144^4+ 145^4- 146^4+ 147^4- 148^4- 149^4+ 150^4+ 151^4- 152^4- 153^4+ 154^4- 155^4+ 156^4+ 157^4- 158^4 & & & & + 159^4- 160^4- 161^4+ 162^4- 163^4+ 164^4+ 165^4- 166^4- 167^4+ 168^4+ 169^4- 170^4+ 171^4- 172^4- 173^4+ 174^4 & & - 175^4+ 176^4+ 177^4- 178^4+ 179^4- 180^4- 181^4+ 182^4+ 183^4- 184^4- 185^4+ 186^4- 187^4+ 188^4+ 189^4- 190^4 & & & & + 191^4- 192^4- 193^4+ 194^4- 195^4+ 196^4+ 197^4- 198^4- 199^4+ 200^4+ 201^4- 202^4+ 203^4- 204^4- 205^4+ 206^4 & & - 207^4+ 208^4+ 209^4- 210^4+ 211^4- 212^4- 213^4+ 214^4+ 215^4- 216^4- 217^4+ 218^4- 219^4+ 220^4+ 221^4- 222^4 & & & & + 223^4- 224^4- 225^4+ 226^4- 227^4+ 228^4+ 229^4- 230^4- 231^4+ 232^4+ 233^4- 234^4+ 235^4- 236^4- 237^4+ 238^4 & & - 239^4+ 240^4+ 241^4- 242^4+ 243^4- 244^4- 245^4+ 246^4+ 247^4- 248^4- 249^4+ 250^4- 251^4+ 252^4+ 253^4- 254^4 & & & & + 255^4- 256^4- 257^4+ 258^4- 259^4+ 260^4+ 261^4- 262^4- 263^4+ 264^4+ 265^4- 266^4+ 267^4- 268^4- 269^4+ 270^4 & & - 271^4+ 272^4+ 273^4- 274^4+ 275^4- 276^4- 277^4+ 278^4+ 279^4- 280^4- 281^4+ 282^4- 283^4+ 284^4+ 285^4- 286^4 & & & & + 287^4- 288^4- 289^4+ 290^4- 291^4+ 292^4+ 293^4- 294^4- 295^4+ 296^4+ 297^4- 298^4+ 299^4- 300^4- 301^4+ 302^4 & & - 303^4+ 304^4+ 305^4- 306^4+ 307^4- 308^4- 309^4+ 310^4+ 311^4- 312^4- 313^4+ 314^4- 315^4+ 316^4+ 317^4- 318^4 & & & & + 319^4- 320^4- 321^4+ 322^4- 323^4+ 324^4+ 325^4- 326^4- 327^4+ 328^4+ 329^4- 330^4+ 331^4- 332^4- 333^4+ 334^4 & & - 335^4+ 336^4+ 337^4- 338^4+ 339^4- 340^4- 341^4+ 342^4+ 343^4- 344^4- 345^4+ 346^4- 347^4+ 348^4+ 349^4- 350^4 & & & & + 351^4- 352^4- 353^4+ 354^4- 355^4+ 356^4+ 357^4- 358^4- 359^4+ 360^4+ 361^4- 362^4+ 363^4- 364^4- 365^4+ 366^4 & & - 367^4+ 368^4+ 369^4- 370^4+ 371^4- 372^4- 373^4+ 374^4+ 375^4- 376^4- 377^4+ 378^4- 379^4+ 380^4+ 381^4- 382^4 & & & & + 383^4- 384^4- 385^4+ 386^4- 387^4+ 388^4+ 389^4- 390^4- 391^4+ 392^4+ 393^4- 394^4+ 395^4- 396^4- 397^4+ 398^4 & & - 399^4+ 400^4+ 401^4- 402^4+ 403^4- 404^4- 405^4+ 406^4+ 407^4- 408^4- 409^4+ 410^4- 411^4+ 412^4+ 413^4- 414^4 & & & & + 415^4- 416^4- 417^4+ 418^4- 419^4+ 420^4+ 421^4- 422^4- 423^4+ 424^4+ 425^4- 426^4+ 427^4- 428^4- 429^4+ 430^4 & & - 431^4+ 432^4+ 433^4- 434^4+ 435^4- 436^4- 437^4+ 438^4+ 439^4- 440^4- 441^4+ 442^4- 443^4+ 444^4+ 445^4- 446^4 & & & & + 447^4- 448^4- 449^4+ 450^4- 451^4+ 452^4+ 453^4- 454^4- 455^4+ 456^4+ 457^4- 458^4+ 459^4- 460^4- 461^4+ 462^4 & & - 463^4+ 464^4+ 465^4- 466^4+ 467^4- 468^4- 469^4+ 470^4+ 471^4- 472^4- 473^4+ 474^4- 475^4+ 476^4+ 477^4- 478^4 & & & & + 479^4- 480^4- 481^4+ 482^4- 483^4+ 484^4+ 485^4- 486^4- 487^4+ 488^4+ 489^4- 490^4+ 491^4- 492^4- 493^4+ 494^4 & & - 495^4+ 496^4+ 497^4- 498^4+ 499^4- 500^4- 501^4+ 502^4+ 503^4- 504^4- 505^4+ 506^4- 507^4+ 508^4+ 509^4- 510^4 & & & & + 511^4- 512^4- 513^4+ 514^4- 515^4+ 516^4+ 517^4- 518^4- 519^4+ 520^4+ 521^4- 522^4+ 523^4- 524^4- 525^4+ 526^4 & & - 527^4+ 528^4+ 529^4- 530^4+ 531^4- 532^4- 533^4+ 534^4+ 535^4- 536^4- 537^4+ 538^4- 539^4+ 540^4+ 541^4- 542^4 & & & & + 543^4- 544^4- 545^4+ 546^4- 547^4+ 548^4+ 549^4- 550^4- 551^4+ 552^4+ 553^4- 554^4+ 555^4- 556^4- 557^4+ 558^4 & & - 559^4+ 560^4+ 561^4- 562^4+ 563^4- 564^4- 565^4+ 566^4+ 567^4- 568^4- 569^4+ 570^4- 571^4+ 572^4+ 573^4- 574^4 & & & & + 575^4- 576^4- 577^4+ 578^4- 579^4+ 580^4+ 581^4- 582^4- 583^4+ 584^4+ 585^4- 586^4+ 587^4- 588^4- 589^4+ 590^4 & & - 591^4+ 592^4+ 593^4- 594^4+ 595^4- 596^4- 597^4+ 598^4+ 599^4- 600^4- 601^4+ 602^4- 603^4+ 604^4+ 605^4- 606^4 & & & & + 607^4- 608^4- 609^4+ 610^4- 611^4+ 612^4+ 613^4- 614^4- 615^4+ 616^4+ 617^4- 618^4+ 619^4- 620^4- 621^4+ 622^4 & & - 623^4+ 624^4+ 625^4- 626^4+ 627^4- 628^4- 629^4+ 630^4+ 631^4- 632^4- 633^4+ 634^4- 635^4+ 636^4+ 637^4- 638^4 & & & & + 639^4- 640^4- 641^4+ 642^4- 643^4+ 644^4+ 645^4- 646^4- 647^4+ 648^4+ 649^4- 650^4+ 651^4- 652^4- 653^4+ 654^4 & & - 655^4+ 656^4+ 657^4- 658^4+ 659^4- 660^4- 661^4+ 662^4+ 663^4- 664^4- 665^4+ 666^4- 667^4+ 668^4+ 669^4- 670^4 & & & & + 671^4- 672^4- 673^4+ 674^4- 675^4+ 676^4+ 677^4- 678^4- 679^4+ 680^4+ 681^4- 682^4+ 683^4- 684^4- 685^4+ 686^4 & & - 687^4+ 688^4+ 689^4- 690^4+ 691^4- 692^4- 693^4+ 694^4+ 695^4- 696^4- 697^4+ 698^4- 699^4+ 700^4+ 701^4- 702^4 & & & & + 703^4- 704^4- 705^4+ 706^4- 707^4+ 708^4+ 709^4- 710^4- 711^4+ 712^4+ 713^4- 714^4+ 715^4- 716^4- 717^4+ 718^4 & & - 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+1375^4-1376^4-1377^4+1378^4-1379^4+1380^4+1381^4-1382^4-1383^4+1384^4+1385^4-1386^4+1387^4-1388^4-1389^4+1390^4 & & -1391^4+1392^4+1393^4-1394^4+1395^4-1396^4-1397^4+1398^4+1399^4-1400^4-1401^4+1402^4-1403^4+1404^4+1405^4-1406^4 & & & & +1407^4-1408^4-1409^4+1410^4-1411^4+1412^4+1413^4-1414^4-1415^4+1416^4+1417^4-1418^4+1419^4-1420^4-1421^4+1422^4 & & -1423^4+1424^4+1425^4-1426^4+1427^4-1428^4-1429^4+1430^4+1431^4-1432^4-1433^4+1434^4-1435^4+1436^4+1437^4-1438^4 & & & & +1439^4-1440^4-1441^4+1442^4-1443^4+1444^4+1445^4-1446^4-1447^4+1448^4+1449^4-1450^4+1451^4-1452^4-1453^4+1454^4 & & -1455^4+1456^4+1457^4-1458^4+1459^4-1460^4-1461^4+1462^4+1463^4-1464^4-1465^4+1466^4-1467^4+1468^4+1469^4-1470^4 & & & & +1471^4-1472^4-1473^4+1474^4-1475^4+1476^4+1477^4-1478^4-1479^4+1480^4+1481^4-1482^4+1483^4-1484^4-1485^4+1486^4 & & -1487^4+1488^4+1489^4-1490^4+1491^4-1492^4-1493^4+1494^4+1495^4-1496^4-1497^4+1498^4-1499^4+1500^4+1501^4-1502^4 & & & & +1503^4-1504^4-1505^4+1506^4-1507^4+1508^4+1509^4-1510^4-1511^4+1512^4+1513^4-1514^4+1515^4-1516^4-1517^4+1518^4 & & -1519^4+1520^4+1521^4-1522^4+1523^4-1524^4-1525^4+1526^4+1527^4-1528^4-1529^4+1530^4-1531^4+1532^4+1533^4-1534^4 & & & & +1535^4-1536^4-1537^4+1538^4-1539^4+1540^4+1541^4-1542^4-1543^4+1544^4+1545^4-1546^4+1547^4-1548^4-1549^4+1550^4 & & -1551^4+1552^4+1553^4-1554^4+1555^4-1556^4-1557^4+1558^4+1559^4-1560^4-1561^4+1562^4-1563^4+1564^4+1565^4-1566^4 & & & & +1567^4-1568^4-1569^4+1570^4-1571^4+1572^4+1573^4-1574^4-1575^4+1576^4+1577^4-1578^4+1579^4-1580^4-1581^4+1582^4 & & -1583^4+1584^4+1585^4-1586^4+1587^4-1588^4-1589^4+1590^4+1591^4-1592^4-1593^4+1594^4-1595^4+1596^4+1597^4-1598^4 & & & & +1599^4-1600^4-1601^4+1602^4-1603^4+1604^4+1605^4-1606^4-1607^4+1608^4+1609^4-1610^4+1611^4-1612^4-1613^4+1614^4 & & -1615^4+1616^4+1617^4-1618^4+1619^4-1620^4-1621^4+1622^4+1623^4-1624^4-1625^4+1626^4-1627^4+1628^4+1629^4-1630^4 & & & & +1631^4-1632^4-1633^4+1634^4-1635^4+1636^4+1637^4-1638^4-1639^4+1640^4+1641^4-1642^4+1643^4-1644^4-1645^4+1646^4 & & -1647^4+1648^4+1649^4-1650^4+1651^4-1652^4-1653^4+1654^4+1655^4-1656^4-1657^4+1658^4-1659^4+1660^4+1661^4-1662^4 & & & & +1663^4-1664^4-1665^4+1666^4-1667^4+1668^4+1669^4-1670^4-1671^4+1672^4+1673^4-1674^4+1675^4-1676^4-1677^4+1678^4 & & -1679^4+1680^4+1681^4-1682^4+1683^4-1684^4-1685^4+1686^4+1687^4-1688^4-1689^4+1690^4-1691^4+1692^4+1693^4-1694^4 & & & & +1695^4-1696^4-1697^4+1698^4-1699^4+1700^4+1701^4-1702^4-1703^4+1704^4+1705^4-1706^4+1707^4-1708^4-1709^4+1710^4 & & -1711^4+1712^4+1713^4-1714^4+1715^4-1716^4-1717^4+1718^4+1719^4-1720^4-1721^4+1722^4-1723^4+1724^4+1725^4-1726^4 & & & & +1727^4-1728^4-1729^4+1730^4-1731^4+1732^4+1733^4-1734^4-1735^4+1736^4+1737^4-1738^4+1739^4-1740^4-1741^4+1742^4 & & -1743^4+1744^4+1745^4-1746^4+1747^4-1748^4-1749^4+1750^4+1751^4-1752^4-1753^4+1754^4-1755^4+1756^4+1757^4-1758^4 & & & & +1759^4-1760^4-1761^4+1762^4-1763^4+1764^4+1765^4-1766^4-1767^4+1768^4+1769^4-1770^4+1771^4-1772^4-1773^4+1774^4 & & -1775^4+1776^4+1777^4-1778^4+1779^4-1780^4-1781^4+1782^4+1783^4-1784^4-1785^4+1786^4-1787^4+1788^4+1789^4-1790^4 & & & & +1791^4-1792^4-1793^4+1794^4-1795^4+1796^4+1797^4-1798^4-1799^4+1800^4+1801^4-1802^4+1803^4-1804^4-1805^4+1806^4 & & -1807^4+1808^4+1809^4-1810^4+1811^4-1812^4-1813^4+1814^4+1815^4-1816^4-1817^4+1818^4-1819^4+1820^4+1821^4-1822^4 & & & & +1823^4-1824^4-1825^4+1826^4-1827^4+1828^4+1829^4-1830^4-1831^4+1832^4+1833^4-1834^4+1835^4-1836^4-1837^4+1838^4 & & -1839^4+1840^4+1841^4-1842^4+1843^4-1844^4-1845^4+1846^4+1847^4-1848^4-1849^4+1850^4-1851^4+1852^4+1853^4-1854^4 & & & & +1855^4-1856^4-1857^4+1858^4-1859^4+1860^4+1861^4-1862^4-1863^4+1864^4+1865^4-1866^4+1867^4-1868^4-1869^4+1870^4 & & -1871^4+1872^4+1873^4-1874^4+1875^4-1876^4-1877^4+1878^4+1879^4-1880^4-1881^4+1882^4-1883^4+1884^4+1885^4-1886^4 & & & & +1887^4-1888^4-1889^4+1890^4-1891^4+1892^4+1893^4-1894^4-1895^4+1896^4+1897^4-1898^4+1899^4-1900^4-1901^4+1902^4 & & -1903^4+1904^4+1905^4-1906^4+1907^4-1908^4-1909^4+1910^4+1911^4-1912^4-1913^4+1914^4-1915^4+1916^4+1917^4-1918^4 & & & & +1919^4-1920^4-1921^4+1922^4-1923^4+1924^4+1925^4-1926^4-1927^4+1928^4+1929^4-1930^4+1931^4-1932^4-1933^4+1934^4 & & -1935^4+1936^4+1937^4-1938^4+1939^4-1940^4-1941^4+1942^4+1943^4-1944^4-1945^4+1946^4-1947^4+1948^4+1949^4-1950^4 & & & & +1951^4-1952^4-1953^4+1954^4-1955^4+1956^4+1957^4-1958^4-1959^4+1960^4+1961^4-1962^4+1963^4-1964^4-1965^4+1966^4 & & -1967^4+1968^4+1969^4-1970^4+1971^4-1972^4-1973^4+1974^4+1975^4-1976^4-1977^4+1978^4-1979^4+1980^4+1981^4-1982^4 & & & & +1983^4-1984^4-1985^4+1986^4-1987^4+1988^4+1989^4-1990^4-1991^4+1992^4+1993^4-1994^4+1995^4-1996^4-1997^4+1998^4 & & -1999^4+2000^4+2001^4-2002^4+2003^4-2004^4-2005^4+2006^4+2007^4-2008^4-2009^4+2010^4-2011^4+2012^4+2013^4-2014^4 & & END

Re: S=±1^4±2^4±3^4 … ±2014^4 の値

投稿者：山中和義投稿日：2014年10月 8日(水)20時04分3秒

> No.3519[元記事へ] 恒等式 (x+1)^m-(x+2)^m-(x+3)^m+(x+4)^m … =0 の確認符号を、項数が2^(m+1)個のThue-Morse sequenceに対応させればよい。考察 xのm次の多項式(x+p)^m、m=0,1,2,3,…とする。 x^(m-k)の係数は、二項定理から、COMB(m,k)p^k である。いま、mを固定しておいて、p=1,2,3,…,2^(m+1)として、Σ±(x+p)^m を考える。その和は、x^(m-k)の係数では、COMB(m,k){±1^m±2^m±3^m± … ±(2^(m+1))^m} となる。ここで、Σ±p^kに着目すると、 m=0のとき、　1^0-2^0 = 0 m=1のとき、　1^0-2^0-3^0+4^0 = 0 1^1-2^1-3^1+4^1 = 0 m=2のとき、　1^0-2^0-3^0+4^0 -5^0+6^0+7^0-8^0 = 0 1^1-2^1-3^1+4^1 -5^1+6^1+7^1-8^1 = 0 1^2-2^2-3^2+4^2 -5^2+6^2+7^2-8^2 = 0 m=3のとき、　1^0-2^0-3^0+4^0 -5^0+6^0+7^0-8^0 -9^0+10^0+11^0-12^0 +13^0-14^0-15^0+16^0 = 0 　1^1-2^1-3^1+4^1 -5^1+6^1+7^1-8^1 -9^1+10^1+11^1-12^1 +13^1-14^1-15^1+16^1 = 0 　1^2-2^2-3^2+4^2 -5^2+6^2+7^2-8^2 -9^2+10^2+11^2-12^2 +13^2-14^2-15^2+16^2 = 0 　1^3-2^3-3^3+4^3 -5^3+6^3+7^3-8^3 -9^3+10^3+11^3-12^3 +13^3-14^3-15^3+16^3 = 0 m=4のとき、　：　：なので、0となる。（終わり） OPTION ARITHMETIC RATIONAL !多桁の整数 LET M=4 !m乗 DIM B(0 TO 2^(M+1)-1) !2^(m+1) thue-morse sequence LET B(0)=0 FOR K=0 TO M LET T=2^K FOR J=0 TO T-1 !前半分を反転させる LET B(J+T)=1-B(J) NEXT J NEXT K MAT PRINT B; DIM A(0 TO M) !m次の多項式 MAT A=ZER FOR P=1 TO 2^(M+1) PRINT "(";STR$(P);"+x)"; IF M>1 THEN PRINT "^";STR$(M); PRINT " ="; FOR K=M TO 0 STEP -1 !(x+p)^mの展開 LET C=COMB(M,K)*P^K !x^(m-k)の係数 PRINT C; IF B(P-1)=0 THEN LET A(K)=A(K)+C ELSE LET A(K)=A(K)-C !和 NEXT K PRINT MAT PRINT A; NEXT P END 実行結果 0 1 1 0 1 0 0 1 1 0 0 1 0 1 1 0 1 0 0 1 0 1 1 0 0 1 1 0 1 0 0 1 (1+x)^4 = 1 4 6 4 1 1 4 6 4 1 (2+x)^4 = 16 32 24 8 1 0 -4 -18 -28 -15 (3+x)^4 = 81 108 54 12 1 -1 -16 -72 -136 -96 (4+x)^4 = 256 256 96 16 1 0 0 24 120 160 (5+x)^4 = 625 500 150 20 1 -1 -20 -126 -380 -465 (6+x)^4 = 1296 864 216 24 1 0 4 90 484 831 (7+x)^4 = 2401 1372 294 28 1 1 32 384 1856 3232 (8+x)^4 = 4096 2048 384 32 1 0 0 0 -192 -864 (9+x)^4 = 6561 2916 486 36 1 -1 -36 -486 -3108 -7425 (10+x)^4 = 10000 4000 600 40 1 0 4 114 892 2575 (11+x)^4 = 14641 5324 726 44 1 1 48 840 6216 17216 (12+x)^4 = 20736 6912 864 48 1 0 0 -24 -696 -3520 (13+x)^4 = 28561 8788 1014 52 1 1 52 990 8092 25041 (14+x)^4 = 38416 10976 1176 56 1 0 -4 -186 -2884 -13375 (15+x)^4 = 50625 13500 1350 60 1 -1 -64 -1536 -16384 -64000 (16+x)^4 = 65536 16384 1536 64 1 0 0 0 0 1536 (17+x)^4 = 83521 19652 1734 68 1 -1 -68 -1734 -19652 -81985 (18+x)^4 = 104976 23328 1944 72 1 0 4 210 3676 22991 (19+x)^4 = 130321 27436 2166 76 1 1 80 2376 31112 153312 (20+x)^4 = 160000 32000 2400 80 1 0 0 -24 -888 -6688 (21+x)^4 = 194481 37044 2646 84 1 1 84 2622 36156 187793 (22+x)^4 = 234256 42592 2904 88 1 0 -4 -282 -6436 -46463 (23+x)^4 = 279841 48668 3174 92 1 -1 -96 -3456 -55104 -326304 (24+x)^4 = 331776 55296 3456 96 1 0 0 0 192 5472 (25+x)^4 = 390625 62500 3750 100 1 1 100 3750 62692 396097 (26+x)^4 = 456976 70304 4056 104 1 0 -4 -306 -7612 -60879 (27+x)^4 = 531441 78732 4374 108 1 -1 -112 -4680 -86344 -592320 (28+x)^4 = 614656 87808 4704 112 1 0 0 24 1464 22336 (29+x)^4 = 707281 97556 5046 116 1 -1 -116 -5022 -96092 -684945 (30+x)^4 = 810000 108000 5400 120 1 0 4 378 11908 125055 (31+x)^4 = 923521 119164 5766 124 1 1 128 6144 131072 1048576 (32+x)^4 = 1048576 131072 6144 128 1 0 0 0 0 0

Re: S=±1^4±2^4±3^4 … ±2014^4 の値

投稿者：GAI 投稿日：2014年10月 9日(木)21時34分56秒

> No.3520[元記事へ] 山中和義さんへのお返事です。 OPTION ARITHMETIC RATIONAL !多桁の整数 LET M=4 !m乗 DIM B(0 TO 2^(M+1)-1) !2^(m+1) thue-morse sequence LET B(0)=0 FOR K=0 TO M LET T=2^K FOR J=0 TO T-1 !前半分を反転させる LET B(J+T)=1-B(J) NEXT J NEXT K FOR i=0 TO 2^(M+1)-1 PRINT USING "###":i; NEXT i MAT PRINT USING " # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # #":B END ＜実行結果＞ 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 0 1 1 0 1 0 0 1 1 0 0 1 0 1 1 0 1 0 0 1 0 1 1 0 0 1 1 0 1 0 0 1 の様にthue-morse sequenceにより０～３１が２つのグループに分かれる。（この２つのグループで４乗での和が同一をなす。）上記の"0"に相当する上列の集合 {0,3,5,6,9,10,12,15,17,18,20,23,24,27,29,30}<----------これを"evil numbers"と呼ぶらしい。に相当するものが、下記の排他的論理和でのプログラム OPTION ARITHMETIC RATIONAL !多桁の整数 LET M=4 !m乗 DIM B(0 TO 2^(M+1)-1) LET B(0)=0 FOR K=0 TO M LET T=2^K FOR J=1 TO 2*(T-1)+1 LET B(J)=BITXOR(J-1,2*(J-1)) !排他的論理和 NEXT J NEXT K FOR i=0 TO 2^(M+1)-1 PRINT USING "####":i; NEXT i MAT PRINT USING " ## ## ## ## ## ## ## ## ## ## ## ## ## ## ## ## ## ## ## ## ## ## ## ## ## ## ## ## ## ## ## ##":B END ＜実行結果＞ 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 0 0 3 6 5 12 15 10 9 24 27 30 29 20 23 18 17 48 51 54 53 60 63 58 57 40 43 46 45 36 39 34 によって順番は崩れるが要素としては同一なものが取り出せる。この関連が面白いと思いました。

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S=±1^4±2^4±3^4 … ±2014^4 の値

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