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投稿者：永野護
投稿日：2015年 3月14日(土)15時59分2秒
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不定方程式 a^3 + b^3 =c^7 を解く事を考えます。(解は自然数のみ)。
a=p^5:b=p^3:c=2*(p^2)と仮定します。
これらを与式に代入すると p^15 + p^15-128*(p^14)=0(指数の差を1にするのがこつ)となります。これは(p^14)*(p + p -128)=0となり結局 2*p=128:p=64となります。
答え a=64^5 b=64^3 c=2*(64^2)。
同様な算法でa^3 + b^5 +c^7 =d^4 なども解くことができるようです。
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ここからが質問です。
同様な算法でa^3 + b^3 =341を解くことはできるでしょうか。(右辺が定数の場合）。
答えはもちろんa=5 :b=6 なのですが。
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投稿者：山中和義
投稿日：2015年 3月14日(土)19時04分29秒
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> No.3608[元記事へ]
永野護さんへのお返事です。
> 不定方程式 a^3 + b^3 =c^7 を解く事を考えます。(解は自然数のみ)。
a^3+b^5=c^7ですね。
> 同様な算法でa^3 + b^3 =341を解くことはできるでしょうか。(右辺が定数の場合）。
> 答えはもちろんa=5 :b=6 なのですが。
a^3+b^3=nを、(a+b)(a^2-ab+b^2)=pqと因数分解する。
a+b=pかつa^2-ab+b^2=qのとき、
a^2-ab+b^2=(a+b)^2-3abなので、ab=(p^2-q)/3
解と係数の関係より、2次方程式t^2-pt+(p^2-q)/3=0を得るので、自然数解a,bを求める。
a+b=qかつa^2-ab+b^2=pのときも同様にする。
LET N=341
FOR P=1 TO SQR(N) !p≦q、n=pq
IF MOD(N,P)=0 THEN
LET Q=N/P
LET W=(P^2-Q)/3 !abは整数なので
IF W=INT(W) THEN
LET D=P^2-4*W !判別式
IF D>=0 THEN PRINT (P-SQR(D))/2; (P+SQR(D))/2
END IF
LET W=(Q^2-P)/3 !p,qを入れ替えて
IF W=INT(W) THEN
LET D=Q^2-4*W
IF D>=0 THEN PRINT (Q-SQR(D))/2; (Q+SQR(D))/2
END IF
END IF
NEXT P
END
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投稿者：永野護
投稿日：2015年 3月15日(日)11時29分7秒
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急いでいたので間違いました。
ごめんなさい。
問題の文中、不定方程式 a^3 + b^3 =c^7 を解く事を考えます。(解は自然数のみ)。----
はa^3 + b^5=c^7
でした。
まことに申し訳ございません。ありがとうございました。
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