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問題
次の式の2重根号をはずして簡単にせよ。
√(A±K√B)
例
√(5±2√6)の2重根号をはずして簡単にせよ。
答え
α＞βとして、√{(α+β)±2√(αβ)}=√{(√α±√β)^2}=√α±√β
α+β=A、αβ=K^2B/4として、、α,βはt^2-At+K^2B/4=0の実数解である。
（終り）
答え
α=√(A+K√B)、β=√(A-K√B)とおくと、α^2+β^2=2A、(αβ)^2=A^2-K^2B（=D^2とする）
恒等式(α±β)^2=α^2+β^2±2αβより、(α±β)^2=2A±2D ∴α±β=√(2A±2D)
2α=(α+β)+(α-β)より、α={√(2A+2D)+√(2A-2D)}/2 ∴α=√{(A+D)/2}+√{(A-D)/2}
（終り）
答え
α=√(A+K√B)、β=√(A-K√B)とおくと、α^2+β^2=2A、αβ=√(A^2-K^2B)
恒等式(α+β)^2=α^2+β^2+2αβより、α+βの2次方程式を得る。
d=√(A^2-K^2B)とおいて、(α+β)^2=(α^2+β^2)+2αβ=2(A+d)から、α+β=√{2(A+d)}
これより、α,βを2つの解にもつ2次方程式は、解と係数の関係より、t^2-√{2(A+d)}t+d=0となる。
解の公式より、t=(√{2(A+d)}±√{2(A+d)-4d})/2=√{(A+d)/2}±√{(A-d)/2}
（終わり）
答え
x=√(A+K√B)とおく。
x^2-A=K√B
(x^2-A)^2=(K√B)^2
x^4-2Ax^2+A^2-K^2B=0 ← x^4+px^2+q=0の形
この4次方程式を、Ferrariの方法で解いてみると、
x^4+2λx^2+λ^2=2Ax^2+K^2B-A^2 +2λx^2+λ^2
(x^2+λ)^2=2(λ+A)x^2+λ^2+K^2B-A^2
と式変形するとき、右辺が完全平方式になればよい。
判別式（こを分解方程式という）D=0^2-4*2(λ+A)(λ^2+K^2B-A^2)=0より、λ=-A,±√A^2-K^2B)
λ=±√(A^2-K^2B)のとき、
(x^2+λ)^2={√(2(λ+A))x}^2
x^2+λ=±√(2(λ+A))x
x^2干√(2(λ+A))x+2(λ+A)/4=-λ+2(λ+A)/4
{x干√(2(λ+A))/2}^2=(A-λ)/2
x干√((λ+A)/2)=±√((A-λ)/2)
x=±√((A+λ)/2)±√((A-λ)/2)
このとき、λすなわちA^2-K^2Bが平方数なら、2重根号がはずれている。
（終わり）
参考サイト
私の備忘録
数学・・・代数学分野
OPTION ARITHMETIC RATIONAL
LET A=5 !√(5±2√6)
LET K=2
LET B=6
!LET A=2 !√((6+√35)/3)=(√42+√30)/6
!LET K=1/3
!LET B=35
!LET A=7 !7-4√3=7-2√12
!LET K=-4
!LET B=3
!LET A=-5 !√(-5-12i)=√(-5-12√(-1))=±(2-3i)
!LET K=-12
!LET B=-1
!LET A=0 !√i=(1+i)/√2
!LET K=1
!LET B=-1
LET DD=A^2-K^2*B !判別式
PRINT DD
LET P=NUMER(DD) !分子
LET Q=DENOM(DD) !分母
LET D=INTSQR(P)/INTSQR(Q)
IF DD>=0 AND D*D=DD THEN !平方数なら
PRINT "√("; (A+D)/2; ")";
IF K>=0 THEN PRINT " + "; ELSE PRINT " - ";
PRINT "√("; (A-D)/2; ")"
ELSE
PRINT "はずせない。"
STOP
END IF
END
実行結果
1
√( 3 ) + √( 2 )
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