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問題
数列 1,3,5,7,9,11,13,15,17,19, … , 2k-1, … とする。
このとき、初項から第45項までの和を求めよ。
考察
第1群 第2群 第3群 第4群 … 第g群 …
1 | 3,5 | 7,9,11 | 13,15,17,19 | … | g^2-g+1, …, g^2+g-1 | …
└ g個 ┘
と考える。
第g群の項数は、g個
第g群までの項数は、g(g+1)/2個
第g群の最後の項は、第k項とすると、k=g(g+1)/2 ∴2{g(g+1)/2}-1=g^2+g-1
第g群の最初の項は、第k項とすると、最後の項から(g-1)個前なので、
k=g(g+1)/2-(g-1) ∴2{g(g+1)/2-(g-1)}-1=g^2-g+1
第g群の和は、{(g^2-g+1)+(g^2+g-1)}×g÷2=g^3
（終り）
答え
第g群の最後の項はg^2+g-1=2k-1より、k=g(g+1)/2
奇数列のk項までの和は、Σ(2m-1)=2×k(k+1)/2 -k=k^2
よって、第g群までの和は、{g(g+1)/2}^2（=Σg^3）
k=45なので、g=9 ∴45^2=2025
（終り）
DEF F(K)=2*K-1 !一般項
LET S=0 !和
LET K=0 !第k項
LET G=0 !第g群
DO
LET G=G+1
PRINT USING "##: ": G;
FOR i=1 TO G
LET K=K+1
PRINT F(K);
LET S=S+F(K)
IF K=45 THEN EXIT DO !45項目なら終了する
NEXT i
PRINT " "; K; S
LOOP
PRINT
PRINT K; F(K) !k項
PRINT S
END
実行結果
1: 1 1 1
2: 3 5 3 9
3: 7 9 11 6 36
4: 13 15 17 19 10 100
5: 21 23 25 27 29 15 225
6: 31 33 35 37 39 41 21 441
7: 43 45 47 49 51 53 55 28 784
8: 57 59 61 63 65 67 69 71 36 1296
9: 73 75 77 79 81 83 85 87 89
45 89
2025
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問題
数列
1,2, 1,2,2, 1,2,2,2, 1,2,2,2,2, 1,2,2,…
(1) 初項から第1993項までの和を求めよ。
(2) 初項からの和が2001より初めて大きくなるのは第何項目か。
考察
第1群 第2群 第3群 第4群 … 第g群 …
1,2 | 1,2,2 | 1,2,2,2 | 1,2,2,2,2 | … | 1,2,2,…,2 | …
└ g個 ┘
と考える。
第g群までの項数は、2+3+4+ … +(g+1)=Σ[m=1,g](m+1)=g(g+3)/2
第g群までの和は、3+5+7+ … +(2g+1)=Σ[m=1,g](2m+1)=g(g+2)
（終り）
答え
(1)
61×(61+3)÷2=1952＜1993＜62×(62+3)÷2=2015 ∴1993-1952=41 ∴第62群の41項目
61×(61+2)+(1+2×40)=3924
(2)
43×(43+2)=1935、44×(44+2)=2024なので、2002-1935=67
よって、671=1+2×33 ∴第44群の34項目 ∴43×(43+3)÷2+34=1023項目
（終り）
LET S=0 !和
LET K=0 !第k項
LET G=0 !第g群
DO
LET G=G+1
PRINT USING "##: ": G;
FOR i=1 TO G+1
LET K=K+1
IF i=1 THEN
PRINT "1";
LET S=S+1
ELSE
PRINT "2";
LET S=S+2
END IF
IF K=1993 THEN EXIT DO !(1)の解答
!!IF S>2001 THEN EXIT DO !(2)の解答
NEXT i
PRINT K; S
LOOP
PRINT " ←"; i !g群の項
PRINT K !項
PRINT S
END
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問題
数列
1,2,1/2,3,1,1/3,4,3/2,2/3,1/4,5,2,1,1/2,1/5, …
とする。
このとき、初項からの積が5005になる最初の項を求めよ。
考察
第1群 第2群 第3群 第4群 第5群 …
1 | 2,1/2 | 3,1,1/3 | 4,3/2,2/3,1/4 | 5,2,1,1/2,1/5 | …
すなわち、
第g群
g/1, (g-1)/2, (g-2)/3, (g-3)/4, … , 2/(g-1), 1/g
└─── g個 ───┘
と考える。
第g群のm項は、(g-m+1)/m
第g群の1項からm項までの積は、C(g,m)
第g群のすべての項の積は、1となる。
（終り）
答え
C(g,m)=5005を求める。
（終り）
OPTION ARITHMETIC RATIONAL
DEF F(G,m)=(G-m+1)/m !一般項
LET S=1 !積
LET K=0 !第k項
LET G=0 !第g群
DO
LET G=G+1
PRINT USING "##: ": G;
FOR m=1 TO G
LET K=K+1
PRINT F(G,m);
LET S=S*F(G,m)
IF S=5005 THEN EXIT DO !終了する
NEXT m
PRINT " "; K; S
LOOP
PRINT " ←"; m !g群の項
PRINT K !k項
PRINT S
END
別解 C(g,m)
LET G=1
DO
FOR M=1 TO INT(G/2) !対称性を考慮する
IF COMB(G,M)=5005 THEN EXIT DO
NEXT M
LET G=G+1
LOOP
PRINT G;M
END
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