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その１
分数a/bの場合、a,bをk個ずつ使うと、
1/2のなら、1/2=(1+1)/(2+2)=(1+1+1)/(2+2+2)= … =k/(2k)=1/2
3/4のなら、3/4=(3+3)/(4+4)=(3+3+3)/(4+4+4)= … =3k/(4k)=3/4
：
となる。
その２
k,m,nは自然数する。ただし、m＜nとする。
分子は、第1項から第km項までの和
分母は、第km+1項から第kn項までの和
の分数を考えると、
Σ[i=1,km]{2i-1} / Σ[i=km+1,kn]{2i-1} = m^2/(n^2-m^2)
例
m=1,n=2のとき、1/3=(1+3)/(5+7)=(1+3+5)/(7+9+11)= … =1/3
m=1,n=3のとき、1/(3+5)=(1+3)/(5+7+9+11)=(1+3+5)/(7+9+11+13+15+17)= … =1/8
考察
分子は、等差数列の和の公式より、{1+(2km-1)}km/2=m^2k^2
分母は、{(2km+1)+(2kn-1)}(mk-nk)/2=(m^2-n^2)k^2
よって、m^2/(n^2-m^2)
（終り）
OPTION ARITHMETIC RATIONAL
LET K=2
LET M=1
LET N=3
LET P=0 !分子
FOR i=1 TO K*M
PRINT 2*i-1;
LET P=P+(2*i-1)
NEXT i
PRINT
LET Q=0 !分母
FOR i=K*M+1 TO N*K
PRINT 2*i-1;
LET Q=Q+(2*i-1)
NEXT i
PRINT
PRINT P/Q; M^2/(N^2-M^2)
END
その3
k,m,nは自然数する。
分子は、第1項から第km項までの和 ÷ 項数km （すなわち、平均）
分母は、第1項から第kn項までの和 ÷ 項数kn （すなわち、平均）
の分数を考えると、
{ Σ[i=1,km]{2i-1} ÷ km } / { Σ[i=1,kn]{2i-1} ÷ kn } = m/n
例
2/3の場合、{(1+3)/2}/{(1+3+5)/3}={(1+3+5+7)/4}/{(1+3+5+7+9+11)/6}= …
平方根でも可能である。
√{ Σ[i=1,km]{2i-1} / Σ[i=1,kn]{2i-1} } = m/n
OPTION ARITHMETIC RATIONAL
LET K=3
LET M=2
LET N=3
LET P=0 !分子
FOR i=1 TO K*M
PRINT 2*i-1;
LET P=P+(2*i-1)
NEXT i
PRINT "/"; K*M
LET P=P/(K*M)
LET Q=0 !分母
FOR i=1 TO N*K
PRINT 2*i-1;
LET Q=Q+(2*i-1)
NEXT i
PRINT "/"; K*N
LET Q=Q/(K*N)
PRINT P/Q; M/N
END
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