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a^n + b^n = c^n －－－－－－－① (n>=3,a,b,cは自然数）を満たす自然数a,b,c,は存在しない。 －－－－－－フェルマーの最終定理
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n=3の場合はすでにオイラーにより証明されている。
即ちa^3 + b^3 ≠ c^3である。
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n=p(pは3以上の自然数）の時、 ①が成り立たないと仮定してn=p+1のときも①が成り立たないことが示せればよい。
a^p + b^p <> c^pをa^p + b^p <c^p --------②と a^p + b^p > c^p ------③
の2つの場合に分けて検討する。
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先ず②の場合（a^p + b^p < c^p)を検討します。
ここでa>b>cとa>c>bとb>a>cとb>c>aのばあいは明らかにa^p + b^p > c^pだから考えなくてよい。
c>a>bとc>b>aのときは②の両辺にcをかければ(a^p)*c + (b^p)*c< c^(p+1)。
さらにa^(p+1) + b^(p+1)<(a^p)*c + (b^p)*c
ゆえにa^(p+1) + b^(p+1)< c^(p+1)
これでn=p+1の場合を示すことができた。
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次に③の場合を検討します。
a^p + b^p> c^pの両辺に-1をかけると-a^p - b^p< -c^p
この両辺にcをかけると(-(a^p)*c) + (-(b^p)*c)<-c^(p+1)
さらに-a^(p+1) - b^(p+1)<(-(a^p)*c) + (-(b^p)*c)<-c^(p+1)
これは更にa^(p+1) + b^(p+1)>c^(p+1)となってn=p+1でも③が成り立つことが
示された。
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証明終わり
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乱雑で読みにくいものとなりました。
あしからずご了承願います。
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