Re: 組み合わせを考える

 投稿者：GAI  投稿日：2015年 8月17日(月)09時23分23秒
  山中和義さんへのお返事です。

> 問題
> a,bは、a≦bとする正の整数とする。a^2+b^2をab+1が割り切るとき、a,bを求めよ。
>
> 答え
> a≦bに注意して、a^2+b^2=(b/a)(ab+1)+(a^2-b/a)と変形する。
> 割り切れるので、a^2-b/a=0　∴b=a^3
> このとき、(a^2+b^2)/(ab+1)=a^2(1+a^4)/(a^4+1)=a^2（平方数）
> （終り）
>
> FOR B=1 TO 500
>    FOR A=1 TO B
>       IF MOD(A^2+B^2,A*B+1)=0 THEN PRINT A;B; (A^2+B^2)/(A*B+1)
>    NEXT A
> NEXT B
> END
>
> 実行結果
>  1  1  1   ←
>  2  8  4   ←
>  3  27  9   ←
>  8  30  4
>  4  64  16   ←
>  30  112  4
>  5  125  25   ←
>  6  216  36   ←
>  27  240  9
>  7  343  49   ←
>  112  418  4


ここで不思議なのがb=a^3である時は商が平方数になるのはわかるんですが、それ以外のパターン
(a,b)=(8,30),(30,112),(27,240),(112,418),(125,3120),(216,7770),(240,2133),(418,1560),･･･
などの時も商がなぜ平方数となる（全部がそうなるのかは証明できないがなるような雰囲気）のかは何故ですかね？
即ち
a^2+b^2をab+1が割り切るときは
(a^2+b^2)/(ab+1) が完全平方数であるのは何故か？

また例外をもたらす(a,b)は一般式なるものが書けるのでしょうか？ 		 

Re: 組み合わせを考える

 投稿者：山中和義  投稿日：2015年 8月17日(月)18時58分7秒
  > No.3809[元記事へ]

GAIさんへのお返事です。

> a^2+b^2をab+1が割り切るときは
> (a^2+b^2)/(ab+1) が完全平方数であるのは何故か？

> また例外をもたらす(a,b)は一般式なるものが書けるのでしょうか？


いわゆる一般解は、

k=1,2,3,4,…として、
a≦bに注意して、a^k+b^k={b/a^(k-1)}{a^(k-1)b^(k-1)+1}+{a^k-b/a^(k-1)}と変形する。
割り切れるので、a^k-b/a^(k-1)=0　∴b=a^(2k-1)
このとき、(a^k+b^k)/{a^(k-1)b^(k-1)+1}=a^k{1+a^(2k^2-2k)}/{a^(2k^2-2k)+1}=a^k（べき乗）


OPTION ARITHMETIC RATIONAL
LET K=2
FOR B=1 TO 10000
   FOR A=1 TO B
      LET P=A^K+B^K
      LET Q=(A*B)^(K-1)+1
      IF MOD(P,Q)=0 THEN PRINT A;B; P/Q;  A^K; A^(2*K-1)
   NEXT A
NEXT B
END


ですから、特殊な解の存在はわかりません。

 		 
 

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