微分公式から導関数を求める

初等関数fを文字列で定義して、その導関数f'を求め、微分の公式（例.(fg)'=f'g+fg'）を
使って、f,g,f',g'の部分の文字を置き換えることで実現しています。

四則演算の数式演算処理と組み合わせれば、より実用的になると思います。

!微分の公式を使って数式の導関数を求める　※数式電卓ふ～

!元の関数　f(x)=A*x^2
LET f$="A" !※+,-,*,/の演算子を含まない
LET g$="X^2"
LET op$="*" !積の公式　※+,-,*,/,t,LOG

LET f$="X^2" !元の関数　f(x)=x^2+SIN(x)
LET g$="SIN(X)"
LET op$="+"

LET f$="X^2" !元の関数　f(x)=x^2*COS(x)
LET g$="COS(X)"
LET op$="*"

LET f$="EXP(X)" !元の関数　f(x)=EXP(2*x)
LET g$="EXP(X)"
LET op$="*"

LET f$="1" !元の関数　f(x)=1/SIN(x)
LET g$="SIN(X)"
LET op$="/"

LET f$="SIN(X)" !元の関数　f(x)=SIN(x^2)
LET g$="X^2"
LET op$="t"

LET f$="X^2" !元の関数　f(x)=(SIN(x))^2
LET g$="SIN(X)"
LET op$="t"

LET f$="SIN(X)" !元の関数　f(x)=SIN(A*x)
LET g$="A*X"
LET op$="t"

LET f$="X" !元の関数　f(x)=x^x
LET g$="X"
LET op$="^"

LET f$="X^2" !元の関数　f(x)=x^2*EXP(-x)
LET g$="EXP(-X)"
LET op$="*"

LET d$=diff$(f$,op$,g$)
PRINT "導関数=";d$

FUNCTION diff$(f$,op$,g$) !導関数を求める
PRINT "f=";f$,"g=";g$

LET df$=dfx$("X",f$) !fの導関数f'
LET dg$=dfx$("X",g$) !g'
PRINT "f'=";df$,"g'=";dg$

LET d$=dfg$("f",op$,"g") !微分の公式から導関数を求める

IF op$="t" THEN !合成関数なら
LET p=POS(df$,"X") !y=f(t)、t=g(x)　→　y=f(g(x))
IF df$(p-1:p+1)="(X)" THEN
LET df$(p:p)=g$
ELSE
LET df$(p:p)="("&g$&")"
END IF
END IF

LET t$=replace$(d$,"f'",df$) !導関数部分
LET t$=replace$(t$,"g'",dg$)
LET t$=replace$(t$,"0*f","0") !整形
LET t$=replace$(t$,"f*0","0")
LET t$=replace$(t$,"0*g","0") !整形
LET t$=replace$(t$,"g*0","0")

LET t$=replace$(t$,"f",f$) !元の関数部分
LET t$=replace$(t$,"g",g$)
LET t$=trim$(t$) !整形

LET t$=replace$(t$,"X^2/X","X") !X^2/X
LET t$=replace$(t$,"X/X","1") !X/X
LET t$=replace$(t$,"LOG(EXP(1))","1") !LOG(EXP(1))
LET t$=replace$(t$,"LOG(1)","0") !LOG(1))
LET t$=trim$(t$) !整形

LET diff$=t$
END FUNCTION

FUNCTION trim$(d$) !０、１を削除する
LET t$=replace$(t$,"1*","") !含む"1*1"→"1"
LET t$=replace$(t$,"*1","")
LET t$=replace$(t$,"1/1","1")
LET t$=replace$(t$,"0/1","0")
LET t$=replace$(t$,"0+","")
LET t$=replace$(t$,"+0","")
LET t$=replace$(t$,"0-","-")
LET t$=replace$(t$,"-0","")
LET t$=replace$(t$,"^1","")
LET t$=replace$(t$,"^2^2","^4")
LET t$=replace$(t$,"(1)","1") !含む"^(1)"→"^1"→""
LET t$=replace$(t$,"(0)","0") !含む"^(0)"→"^0"
LET trim$=t$
END FUNCTION

続き

FUNCTION replace$(d$,f$,t$) !文字列d$の文字f$をt$に置き換える
LET dd$=d$
LET p=POS(dd$,f$) !最初から
DO WHILE p>0 !存在するなら
LET dd$(p:p+LEN(f$)-1)=t$
LET p=POS(dd$,f$,p+LEN(f$)) !次へ
LOOP
LET replace$=dd$
END FUNCTION

FUNCTION dfg$(f$,op$,g$) !微分の公式
SELECT CASE op$ !演算子に応じて
CASE ""
LET t$=f$&"'" !f'
CASE "+","-"
LET t$=f$&"'"&op$&g$&"'" !f'±g'
CASE "*"
LET t$=f$&"'*"&g$&"+"&f$&"*"&g$&"'" !f'*g+f*g'
CASE "/"
LET t$="("&f$&"'*"&g$&"-"&f$&"*"&g$&"')/"&g$&"^2" !(f'*g-f*g')/g^2
CASE "t" !合成関数f(g)
LET t$=f$&"'*"&g$&"'" !f'(g)*g'

CASE "LOG" !対数関数log(f)
LET t$=f$&"'/"&f$ !f'/f
CASE "^" !対数微分　y=x^f、両辺に対数をとるLOG(Y)=f*LOG(X)、y'/y=f'*LOG(X)+f*(1/X)
LET t$="X^"&f$&"*("&f$&"'*LOG(X)+"&f$&"/X)" !X^f*(f'*LOG(X)+f*(1/X))

CASE ELSE
END SELECT

IF op$="" THEN !公式を表示する
PRINT "(";f$;")'=";
ELSEIF op$="t" THEN
PRINT "(";f$;"(t),t=";g$;")'=";
ELSEIF op$="LOG" THEN
PRINT "(log(";f$;"))'=";
ELSE
PRINT "(";f$;op$;g$;")'=";
END IF
PRINT t$

LET dfg$=t$
END FUNCTION

FUNCTION dfx$(x$,f$) !初等関数y=f(x)の導関数y'=f'(x)
LET t$="?"

IF f$="TAN("&x$&")" THEN LET t$="1/COS(X)^2" !三角関数
IF f$="COS("&x$&")" THEN LET t$="(-SIN(X))"
IF f$="SIN("&x$&")" THEN LET t$="COS(X)"
IF f$="ATN("&x$&")" THEN LET t$="1/(1+X^2)"

IF f$="EXP("&x$&")" THEN LET t$="EXP(X)" !指数関数
IF f$="EXP(-"&x$&")" THEN LET t$="(-EXP(-X))"
IF f$="A^"&x$ THEN LET t$="A^X*LOG(A)"

IF f$="LOG("&x$&")" THEN LET t$="1/X" !対数関数
IF f$="LOGa("&x$&")" THEN LET t$="1/(X*LOG(A))"
IF f$="LOG(A*"&x$&")" THEN LET t$="1/X" !log(AX)=log(A)+log(X)

IF f$=x$&"^n" THEN LET t$="n*X^(n-1)" !べき関数
IF f$=x$&"^4" OR f$=x$&"*"&x$&"*"&x$&"*"&x$ THEN LET t$="4*X^3"
IF f$=x$&"^3" OR f$=x$&"*"&x$&"*"&x$ THEN LET t$="3*X^2"
IF f$=x$&"^2" OR f$=x$&"*"&x$ THEN LET t$="2*X"
IF f$=x$&"^1" OR f$=x$ THEN LET t$="1"
IF f$=x$&"^(1/2)" OR f$="SQR("&x$&")" THEN LET t$="1/(2*SQR(X))" !平方根
IF f$=x$&"^0" THEN LET t$="0"
IF f$="1/"&x$ OR f$=x$&"^(-1)" THEN LET t$="(-1/X^2)" !1/x

IF f$="A*"&x$ THEN LET t$="A" !A*X
IF f$="-"&x$ OR f$="(-1)*"&x$ THEN LET t$="(-1)" !(-1)*X
IF f$="2*"&x$ THEN LET t$="2" !2*X
IF f$="3*"&x$ THEN LET t$="3" !3*X
IF f$="4*"&x$ THEN LET t$="4" !4*X

IF f$="1" THEN LET t$="0" !定数
IF f$="A" THEN LET t$="0"

LET dfx$=t$
END FUNCTION

END

初等関数をかっこ付きの四則演算で表現した関数f(x)の導関数f'(x)を求める。

●関数の定義
関数::= <項> { { + | - } <項> }*
項::= <因子> { { * | / } <因子> }*
因子::= <初等関数> | ( <関数> )
初等関数::= SIN(X) | COS(X) | TAN(X) | ATN(X) //三角関数
| EXP(X) //指数関数
| LOG(X) //対数関数
| X | X^<関数> //べき乗
| <数値> | <文字> //定数
<数値>::={ 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 }*
<文字>::={ A | B | C | D | E | K | L | M | N }　//※関数、変数に使う文字を除く

| いずれか１つ
* ０回以上の繰り返し

●処理手順
・関数を文字列で得る。
例関数f(x)=2*x+sin(x) → 2*X+SIN(X)

・逆ポーランド記法に変換する
関数を逆ポーランド記法の文字列に変換する。
例 2*X+SIN(X) → 2 X * SIN(X) +

・スタック計算機で計算する
逆ポーランド記法の文字列を、スタック操作（push/pop）で逐次計算していく。
四則演算に微分の公式を摘要して（文字列の置き換え）、導関数の文字列を得る。
例
演算子*で、関数とその導関数をスタックに積む。
2 X * → push(s)
(2 X *)' → 2'*X+2*X' ※(fg)'=f'g+fg' → 2 → push(s')
演算子+で、関数とその導関数をスタックに積む。累積される。
pop(s) SIN(X) + → push(s)
(pop(s) SIN(X) +)' → pop(s')+COS(X) ※(f+g)'=f'+g' → push(s')
最終的に
pop(s) → 関数f(x)
pop(s') → 導関数f'(x)

●式の整理
次に注意して求めた導関数を簡潔に記述する。
・０をたす、０をひく、０をかける、べき乗０、１をかける、１で割る、べき乗１
・２重かっこ
・約分
・展開、同類項、因数分解

試作
　スタック計算機で計算する
　http://www.urban.ne.jp/home/kz4ymnk/seminar/basic/diff.html

多重かっこの簡略、関数の定義の変更
かっこ（{}、[]、()）を使って、生成規則を観察しました。
文字列の置き換えで何とかなるようです。

関数の定義(BNF)
　関数::= F( <変数> )= <式>
　式::= <項> { { + | - } <項> }*
　項::= <因子> { { * | / } <因子> }*
　因子::= { <初等関数> | ( <式> ) } { ^ { <初等関数> | ( <式> ) } }*　//べき乗
　初等関数::= SIN( <式> ) | COS( <式> ) | TAN( <式> ) | ATN( <式> )　//三角関数
　　　　　　| EXP( <式> )　//指数関数
　　　　　　| LOG( <式> )　//対数関数
　　　　　　| SQR( <式> )
　　　　　　| <数値> | <文字>　//定数
　　　　　　| <変数>
　<数値>::= { 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 }+
　<文字>::= { A | B | C | D | E | K | L | M | N }　//※関数名、変数名に使う文字を除く
　<変数>::= X

　{}　グループ化
　|　あるいは（ＯＲ）
　*　０回以上の繰り返し
　+　１回以上の繰り返し

次は、数式を逆ポーランド記法に変換するプログラムを作らないと、、、

試作
　スタック計算機で計算する
　http://www.urban.ne.jp/home/kz4ymnk/seminar/basic/diff.html

逆ポーランド記法に変換するプログラムができました。
関数の定義などを変更しています。ＢＮＦをそのままコーディングしてみました。

次は、フロントエンド、バックエンドプロセッサとして連動動作できるように
モジュールのすり合わせが必要です、、、

言語処理系
　数式を逆ポーランド記法に変換する
　http://www.urban.ne.jp/home/kz4ymnk/seminar/basic/e2rpn.html

　逆ポーランド記法の数式を計算する
　http://www.urban.ne.jp/home/kz4ymnk/seminar/basic/calc_rpn.html

試作
　導関数を求める（元の関数は逆ポーランド記法の数式）
　http://www.urban.ne.jp/home/kz4ymnk/seminar/basic/diff.html

　どの公式を使うかで導関数が簡潔になるかが決まります。

微分公式から導関数を求める	返事を書く
山中和義 2007/01/11 23:29:20
初等関数fを文字列で定義して、その導関数f'を求め、微分の公式（例.(fg)'=f'g+fg'）を使って、f,g,f',g'の部分の文字を置き換えることで実現しています。四則演算の数式演算処理と組み合わせれば、より実用的になると思います。 !微分の公式を使って数式の導関数を求める　※数式電卓ふ～ !元の関数　f(x)=Ax^2 LET f$="A" !※+,-,,/の演算子を含まない LET g$="X^2" LET op$="" !積の公式　※+,-,,/,t,LOG LET f$="X^2" !元の関数　f(x)=x^2+SIN(x) LET g$="SIN(X)" LET op$="+" LET f$="X^2" !元の関数　f(x)=x^2COS(x) LET g$="COS(X)" LET op$="" LET f$="EXP(X)" !元の関数　f(x)=EXP(2x) LET g$="EXP(X)" LET op$="" LET f$="1" !元の関数　f(x)=1/SIN(x) LET g$="SIN(X)" LET op$="/" LET f$="SIN(X)" !元の関数　f(x)=SIN(x^2) LET g$="X^2" LET op$="t" LET f$="X^2" !元の関数　f(x)=(SIN(x))^2 LET g$="SIN(X)" LET op$="t" LET f$="SIN(X)" !元の関数　f(x)=SIN(Ax) LET g$="AX" LET op$="t" LET f$="X" !元の関数　f(x)=x^x LET g$="X" LET op$="^" LET f$="X^2" !元の関数　f(x)=x^2EXP(-x) LET g$="EXP(-X)" LET op$="" LET d$=diff$(f$,op$,g$) PRINT "導関数=";d$ FUNCTION diff$(f$,op$,g$) !導関数を求める PRINT "f=";f$,"g=";g$ LET df$=dfx$("X",f$) !fの導関数f' LET dg$=dfx$("X",g$) !g' PRINT "f'=";df$,"g'=";dg$ LET d$=dfg$("f",op$,"g") !微分の公式から導関数を求める IF op$="t" THEN !合成関数なら LET p=POS(df$,"X") !y=f(t)、t=g(x)　→　y=f(g(x)) IF df$(p-1:p+1)="(X)" THEN LET df$(p:p)=g$ ELSE LET df$(p:p)="("&g$&")" END IF END IF LET t$=replace$(d$,"f'",df$) !導関数部分 LET t$=replace$(t$,"g'",dg$) LET t$=replace$(t$,"0f","0") !整形 LET t$=replace$(t$,"f0","0") LET t$=replace$(t$,"0g","0") !整形 LET t$=replace$(t$,"g0","0") LET t$=replace$(t$,"f",f$) !元の関数部分 LET t$=replace$(t$,"g",g$) LET t$=trim$(t$) !整形 LET t$=replace$(t$,"X^2/X","X") !X^2/X LET t$=replace$(t$,"X/X","1") !X/X LET t$=replace$(t$,"LOG(EXP(1))","1") !LOG(EXP(1)) LET t$=replace$(t$,"LOG(1)","0") !LOG(1)) LET t$=trim$(t$) !整形 LET diff$=t$ END FUNCTION FUNCTION trim$(d$) !０、１を削除する LET t$=replace$(t$,"1","") !含む"11"→"1" LET t$=replace$(t$,"*1","") LET t$=replace$(t$,"1/1","1") LET t$=replace$(t$,"0/1","0") LET t$=replace$(t$,"0+","") LET t$=replace$(t$,"+0","") LET t$=replace$(t$,"0-","-") LET t$=replace$(t$,"-0","") LET t$=replace$(t$,"^1","") LET t$=replace$(t$,"^2^2","^4") LET t$=replace$(t$,"(1)","1") !含む"^(1)"→"^1"→"" LET t$=replace$(t$,"(0)","0") !含む"^(0)"→"^0" LET trim$=t$ END FUNCTION

Re: 微分公式から導関数を求める	返事を書く
山中和義 2007/01/11 23:32:28
続き FUNCTION replace$(d$,f$,t$) !文字列d$の文字f$をt$に置き換える LET dd$=d$ LET p=POS(dd$,f$) !最初から DO WHILE p>0 !存在するなら LET dd$(p:p+LEN(f$)-1)=t$ LET p=POS(dd$,f$,p+LEN(f$)) !次へ LOOP LET replace$=dd$ END FUNCTION FUNCTION dfg$(f$,op$,g$) !微分の公式 SELECT CASE op$ !演算子に応じて CASE "" LET t$=f$&"'" !f' CASE "+","-" LET t$=f$&"'"&op$&g$&"'" !f'±g' CASE "" LET t$=f$&"'"&g$&"+"&f$&""&g$&"'" !f'g+fg' CASE "/" LET t$="("&f$&"'"&g$&"-"&f$&""&g$&"')/"&g$&"^2" !(f'g-fg')/g^2 CASE "t" !合成関数f(g) LET t$=f$&"'"&g$&"'" !f'(g)g' CASE "LOG" !対数関数log(f) LET t$=f$&"'/"&f$ !f'/f CASE "^" !対数微分　y=x^f、両辺に対数をとるLOG(Y)=fLOG(X)、y'/y=f'LOG(X)+f(1/X) LET t$="X^"&f$&"("&f$&"'LOG(X)+"&f$&"/X)" !X^f(f'LOG(X)+f(1/X)) CASE ELSE END SELECT IF op$="" THEN !公式を表示する PRINT "(";f$;")'="; ELSEIF op$="t" THEN PRINT "(";f$;"(t),t=";g$;")'="; ELSEIF op$="LOG" THEN PRINT "(log(";f$;"))'="; ELSE PRINT "(";f$;op$;g$;")'="; END IF PRINT t$ LET dfg$=t$ END FUNCTION FUNCTION dfx$(x$,f$) !初等関数y=f(x)の導関数y'=f'(x) LET t$="?" IF f$="TAN("&x$&")" THEN LET t$="1/COS(X)^2" !三角関数 IF f$="COS("&x$&")" THEN LET t$="(-SIN(X))" IF f$="SIN("&x$&")" THEN LET t$="COS(X)" IF f$="ATN("&x$&")" THEN LET t$="1/(1+X^2)" IF f$="EXP("&x$&")" THEN LET t$="EXP(X)" !指数関数 IF f$="EXP(-"&x$&")" THEN LET t$="(-EXP(-X))" IF f$="A^"&x$ THEN LET t$="A^XLOG(A)" IF f$="LOG("&x$&")" THEN LET t$="1/X" !対数関数 IF f$="LOGa("&x$&")" THEN LET t$="1/(XLOG(A))" IF f$="LOG(A"&x$&")" THEN LET t$="1/X" !log(AX)=log(A)+log(X) IF f$=x$&"^n" THEN LET t$="nX^(n-1)" !べき関数 IF f$=x$&"^4" OR f$=x$&""&x$&""&x$&""&x$ THEN LET t$="4X^3" IF f$=x$&"^3" OR f$=x$&""&x$&""&x$ THEN LET t$="3X^2" IF f$=x$&"^2" OR f$=x$&""&x$ THEN LET t$="2X" IF f$=x$&"^1" OR f$=x$ THEN LET t$="1" IF f$=x$&"^(1/2)" OR f$="SQR("&x$&")" THEN LET t$="1/(2SQR(X))" !平方根 IF f$=x$&"^0" THEN LET t$="0" IF f$="1/"&x$ OR f$=x$&"^(-1)" THEN LET t$="(-1/X^2)" !1/x IF f$="A"&x$ THEN LET t$="A" !AX IF f$="-"&x$ OR f$="(-1)"&x$ THEN LET t$="(-1)" !(-1)X IF f$="2"&x$ THEN LET t$="2" !2X IF f$="3"&x$ THEN LET t$="3" !3X IF f$="4"&x$ THEN LET t$="4" !4*X IF f$="1" THEN LET t$="0" !定数 IF f$="A" THEN LET t$="0" LET dfx$=t$ END FUNCTION END

Re: 微分公式から導関数を求める	返事を書く
山中和義 2007/01/13 15:07:46
初等関数をかっこ付きの四則演算で表現した関数f(x)の導関数f'(x)を求める。 ●関数の定義関数::= <項> { { + \| - } <項> }* 項::= <因子> { { * \| / } <因子> }* 因子::= <初等関数> \| ( <関数> ) 初等関数::= SIN(X) \| COS(X) \| TAN(X) \| ATN(X) //三角関数 \| EXP(X) //指数関数 \| LOG(X) //対数関数 \| X \| X^<関数> //べき乗 \| <数値> \| <文字> //定数 <数値>::={ 0 \| 1 \| 2 \| 3 \| 4 \| 5 \| 6 \| 7 \| 8 \| 9 }* <文字>::={ A \| B \| C \| D \| E \| K \| L \| M \| N }　//※関数、変数に使う文字を除く \| いずれか１つ * ０回以上の繰り返し ●処理手順・関数を文字列で得る。例関数f(x)=2x+sin(x) → 2X+SIN(X) ・逆ポーランド記法に変換する関数を逆ポーランド記法の文字列に変換する。例 2X+SIN(X) → 2 X SIN(X) + ・スタック計算機で計算する逆ポーランド記法の文字列を、スタック操作（push/pop）で逐次計算していく。四則演算に微分の公式を摘要して（文字列の置き換え）、導関数の文字列を得る。例演算子で、関数とその導関数をスタックに積む。 2 X → push(s) (2 X )' → 2'X+2*X' ※(fg)'=f'g+fg' → 2 → push(s') 演算子+で、関数とその導関数をスタックに積む。累積される。 pop(s) SIN(X) + → push(s) (pop(s) SIN(X) +)' → pop(s')+COS(X) ※(f+g)'=f'+g' → push(s') 最終的に pop(s) → 関数f(x) pop(s') → 導関数f'(x) ●式の整理次に注意して求めた導関数を簡潔に記述する。・０をたす、０をひく、０をかける、べき乗０、１をかける、１で割る、べき乗１・２重かっこ・約分・展開、同類項、因数分解試作　スタック計算機で計算する　http://www.urban.ne.jp/home/kz4ymnk/seminar/basic/diff.html

Re: 初等関数をかっこ付きの四則演算で表現した...	返事を書く
山中和義 2007/01/14 17:43:47
多重かっこの簡略、関数の定義の変更かっこ（{}、[]、()）を使って、生成規則を観察しました。文字列の置き換えで何とかなるようです。関数の定義(BNF) 　関数::= F( <変数> )= <式> 　式::= <項> { { + \| - } <項> }* 　項::= <因子> { { * \| / } <因子> }* 　因子::= { <初等関数> \| ( <式> ) } { ^ { <初等関数> \| ( <式> ) } }*　//べき乗　初等関数::= SIN( <式> ) \| COS( <式> ) \| TAN( <式> ) \| ATN( <式> )　//三角関数　　　　　　\| EXP( <式> )　//指数関数　　　　　　\| LOG( <式> )　//対数関数　　　　　　\| SQR( <式> ) 　　　　　　\| <数値> \| <文字>　//定数　　　　　　\| <変数> 　<数値>::= { 0 \| 1 \| 2 \| 3 \| 4 \| 5 \| 6 \| 7 \| 8 \| 9 }+ 　<文字>::= { A \| B \| C \| D \| E \| K \| L \| M \| N }　//※関数名、変数名に使う文字を除く　<変数>::= X 　{}　グループ化　\|　あるいは（ＯＲ）　*　０回以上の繰り返し　+　１回以上の繰り返し次は、数式を逆ポーランド記法に変換するプログラムを作らないと、、、試作　スタック計算機で計算する　http://www.urban.ne.jp/home/kz4ymnk/seminar/basic/diff.html

Re: 多重かっこの簡略、関数の定義の変更	返事を書く
山中和義 2007/01/16 14:09:30
逆ポーランド記法に変換するプログラムができました。関数の定義などを変更しています。ＢＮＦをそのままコーディングしてみました。次は、フロントエンド、バックエンドプロセッサとして連動動作できるようにモジュールのすり合わせが必要です、、、言語処理系　数式を逆ポーランド記法に変換する　http://www.urban.ne.jp/home/kz4ymnk/seminar/basic/e2rpn.html 　逆ポーランド記法の数式を計算する　http://www.urban.ne.jp/home/kz4ymnk/seminar/basic/calc_rpn.html 試作　導関数を求める（元の関数は逆ポーランド記法の数式）　http://www.urban.ne.jp/home/kz4ymnk/seminar/basic/diff.html 　どの公式を使うかで導関数が簡潔になるかが決まります。