静電場の写像変換作画

２次元座標系において、無限平板導体（厚さ方向から見ると無限長直線に見える）
から距離aの位置に置かれた１個の点電荷によって生じる電位分布は、電気影像法を
使って、z平面のy軸の両側に等距離に置かれた真電荷と影像電荷の２個の電荷が作る
電位を計算することにより求められ、それらの電位の等しい箇所を線で結べば等電位
線が得られますが、この等電位線は、複素数関数を利用した等角写像を利用すると電
位を計算しなくても描ける（そして電気力線も）。

z平面のy軸を無限平板導体と想定した場合に、x軸上(a,j0)[(-a,j0)は影像]の位置に
それぞれ正[負]の点電荷を置いた場合の等電位線は、次の複素関数
w=Log((z-a)/(z+a))、ただし、j=sqr(-1)、z=x+j*y、w=u+j*v
によってz（x軸,y軸）平面からW平面（u軸、v軸）に写像変換すると、w平面上の
u=0,1,2,...（等電位直線）は、z平面の等電位曲線に写像出来る、と言うもの。

上式を変形して
z=(1+exp(w))/(1-exp(w))*(-a)
として下記のプログラムで等電位曲線を描く事が出来ました。

option arithmetic complex
set Window -1,20,-10,10
draw grid
j=sqr(-1)
a=2 !z平面上で電荷を置く座標点設定
for u=0 to 10 step 0.1 !w平面上での等電位線値（パラメータ）の設定
for v=-5 to 1.28 step 0.02
w=u+j*v
z=(1+exp(w))/(1-exp(w))*(-a)
plot lines:Re(z),Im(z);
next
plot lines
next

set line color "red"
for v=-5 to 1.28 step 0.1 !w平面上での等電気力線値（パラメータ）の設定
for u=0 to 10 step 0.02
w=u+j*v
z=(1+exp(w))/(1-exp(w))*(-a)
plot lines:Re(z),Im(z);
next
plot lines
next
end

続き

これを一歩進めて、直角平板（x軸とy軸を平板の厚さ方向から見た軸とする）で挟ま
れた位置(a,a)に点電荷を置いた場合の等電位線と電気力線は、q=sqr(z)の関数を利
用することにより、下記のプログラムで作図できました。

---直角平板の場合の等電位線と電気力線の作図----
option arithmetic complex
set Window -1,10,-1,10
draw grid
j=sqr(-1)
a=2
for u=0 to 10 step 0.4 !等電位値（パラメータ）の設定
for v=-10 to 10 step 0.02
w=u+j*v
z=(1+exp(w))/(1-exp(w))*(-a)
q=sqr(a)*sqr(z)*(1+j)
plot lines:Re(q),Im(q);
next
plot lines
next

set line color "red"
for v=-10 to 10 step 0.4 !等電気力線値（パラメータ）の設定
for u=0 to 10 step 0.02
w=u+j*v
z=(1+exp(w))/(1-exp(w))*(-a)
q=sqr(a)*sqr(z)*(1+j)
plot lines:Re(q),Im(q);
next
plot lines
next
end

以上の作図では電荷のx-y軸上の描画位置が
無限長平板の場合：(a,0)
直角平板の場合：(a,a)
と限定されてしまいます。
これを(a,b)という様に任意位置に設定できる様にするために
z=(1+exp(w))/(1-exp(w))*(-a)+j*b
の様に末尾に虚数を付加すれば、無限長平板の場合は上手くいくのです
が、直角平板の場合はsqr(z)をしているので位置が上記の様にぴったり
なりません。が、とりあえず電荷の位置がずれている場合の作図も出来
きました。
位置を(a,b)と指定出きるようにするための工夫はどのようになるので
しょうか？

解決しました。

sqr(z)関数で変換する前の、電荷位置として仮の位置(da,db)を想定してsqr(z)変換
し、更に全体を45度回転させた後の電荷位置が(a,b)になる、と言う条件式からを
(da,db)を求めて解決しました。
また、電気力線がダブって描かれたので、-pi<=v<=piと修正しました。
修正後のプログラムは下記のとおりです。

---直角平板の場合の等電位線と電気力線の作図----
option arithmetic complex
set Window -1,10,-1,10
draw grid
LET j=sqr(-1)
LET a=2 !電荷位置x座標の設定
LET b=2 !電荷位置y座標の設定
LET theta=2*(ATN(b/a)-PI/4)
LET dl=a*a/COS(theta/2+PI/4)/COS(theta/2+PI/4)
LET da=dl*COS(theta)
LET db=dl*SIN(theta)
for u=0 to 10 step 0.1 !等電位値（パラメータ）の設定
for v=-pi to pi step pi/300
LET w=u+j*v
LET z=(1+EXP(w))/(1-EXP(w))*(-da)+j*db
LET q=SQR(z)*EXP(j*PI/4)
plot lines:Re(q),Im(q);
next V
plot lines
next U

set line color "red"
for v=-pi to pi step pi/30 !等電気力線値（パラメータ）の設定
for u=0 to 10 step 0.02
LET w=u+j*v
LET z=(1+EXP(w))/(1-EXP(w))*(-da)+j*db
LET q=SQR(z)*EXP(j*PI/4)
plot lines:Re(q),Im(q);
next U
plot lines
next V
end

静電場の写像変換作画	返事を書くノートメニュー
島村1243 <bjllmpcujp> 2007/11/10 20:38:09 ** この記事は4回修正されてます
２次元座標系において、無限平板導体（厚さ方向から見ると無限長直線に見える）から距離aの位置に置かれた１個の点電荷によって生じる電位分布は、電気影像法を使って、z平面のy軸の両側に等距離に置かれた真電荷と影像電荷の２個の電荷が作る電位を計算することにより求められ、それらの電位の等しい箇所を線で結べば等電位線が得られますが、この等電位線は、複素数関数を利用した等角写像を利用すると電位を計算しなくても描ける（そして電気力線も）。 z平面のy軸を無限平板導体と想定した場合に、x軸上(a,j0)[(-a,j0)は影像]の位置にそれぞれ正[負]の点電荷を置いた場合の等電位線は、次の複素関数 w=Log((z-a)/(z+a))、ただし、j=sqr(-1)、z=x+jy、w=u+jv によってz（x軸,y軸）平面からW平面（u軸、v軸）に写像変換すると、w平面上の u=0,1,2,...（等電位直線）は、z平面の等電位曲線に写像出来る、と言うもの。上式を変形して z=(1+exp(w))/(1-exp(w))(-a) として下記のプログラムで等電位曲線を描く事が出来ました。 option arithmetic complex set Window -1,20,-10,10 draw grid j=sqr(-1) a=2 !z平面上で電荷を置く座標点設定 for u=0 to 10 step 0.1 !w平面上での等電位線値（パラメータ）の設定 for v=-5 to 1.28 step 0.02 w=u+jv z=(1+exp(w))/(1-exp(w))(-a) plot lines:Re(z),Im(z); next plot lines next set line color "red" for v=-5 to 1.28 step 0.1 !w平面上での等電気力線値（パラメータ）の設定 for u=0 to 10 step 0.02 w=u+jv z=(1+exp(w))/(1-exp(w))*(-a) plot lines:Re(z),Im(z); next plot lines next end

Re: 静電場の写像変換作画	返事を書くノートメニュー
島村1243 <bjllmpcujp> 2007/11/10 20:40:02 ** この記事は1回修正されてます
続きこれを一歩進めて、直角平板（x軸とy軸を平板の厚さ方向から見た軸とする）で挟まれた位置(a,a)に点電荷を置いた場合の等電位線と電気力線は、q=sqr(z)の関数を利用することにより、下記のプログラムで作図できました。 ---直角平板の場合の等電位線と電気力線の作図---- option arithmetic complex set Window -1,10,-1,10 draw grid j=sqr(-1) a=2 for u=0 to 10 step 0.4 !等電位値（パラメータ）の設定 for v=-10 to 10 step 0.02 w=u+jv z=(1+exp(w))/(1-exp(w))(-a) q=sqr(a)sqr(z)(1+j) plot lines:Re(q),Im(q); next plot lines next set line color "red" for v=-10 to 10 step 0.4 !等電気力線値（パラメータ）の設定 for u=0 to 10 step 0.02 w=u+jv z=(1+exp(w))/(1-exp(w))(-a) q=sqr(a)sqr(z)(1+j) plot lines:Re(q),Im(q); next plot lines next end 以上の作図では電荷のx-y軸上の描画位置が無限長平板の場合：(a,0) 直角平板の場合：(a,a) と限定されてしまいます。これを(a,b)という様に任意位置に設定できる様にするために z=(1+exp(w))/(1-exp(w))(-a)+jb の様に末尾に虚数を付加すれば、無限長平板の場合は上手くいくのですが、直角平板の場合はsqr(z)をしているので位置が上記の様にぴったりなりません。が、とりあえず電荷の位置がずれている場合の作図も出来きました。位置を(a,b)と指定出きるようにするための工夫はどのようになるのでしょうか？

Re: 続き	返事を書くノートメニュー
島村1243 <bjllmpcujp> 2007/11/11 10:18:12 ** この記事は3回修正されてます
解決しました。 sqr(z)関数で変換する前の、電荷位置として仮の位置(da,db)を想定してsqr(z)変換し、更に全体を45度回転させた後の電荷位置が(a,b)になる、と言う条件式からを (da,db)を求めて解決しました。また、電気力線がダブって描かれたので、-pi<=v<=piと修正しました。修正後のプログラムは下記のとおりです。 ---直角平板の場合の等電位線と電気力線の作図---- option arithmetic complex set Window -1,10,-1,10 draw grid LET j=sqr(-1) LET a=2 !電荷位置x座標の設定 LET b=2 !電荷位置y座標の設定 LET theta=2(ATN(b/a)-PI/4) LET dl=aa/COS(theta/2+PI/4)/COS(theta/2+PI/4) LET da=dlCOS(theta) LET db=dlSIN(theta) for u=0 to 10 step 0.1 !等電位値（パラメータ）の設定 for v=-pi to pi step pi/300 LET w=u+jv LET z=(1+EXP(w))/(1-EXP(w))(-da)+jdb LET q=SQR(z)EXP(jPI/4) plot lines:Re(q),Im(q); next V plot lines next U set line color "red" for v=-pi to pi step pi/30 !等電気力線値（パラメータ）の設定 for u=0 to 10 step 0.02 LET w=u+jv LET z=(1+EXP(w))/(1-EXP(w))(-da)+jdb LET q=SQR(z)EXP(jPI/4) plot lines:Re(q),Im(q); next U plot lines next V end