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万華鏡

  万華鏡 ひでき 2007/12/22 19:15:43 
  !ご参考に。 SECOND 2007/12/23 02:54:41 
  │└x軸,y軸に関する対称移動は,それぞれ,SC... 白石 和夫 2007/12/23 10:36:54 
  │ └気が付きませんでした、直します。 SECOND 2007/12/23 17:13:48 
  !ご参考に。こちらが簡単になります。 SECOND 2007/12/23 17:16:58 
  │└ポイントは、再帰呼び出しにあるのですね。 ひでき 2007/12/24 19:56:12 
  │ ├飾る前に、3重書きの不具合がありました。 SECOND 2007/12/24 21:10:09 
  │ ├!少し飾ったものです。(修2) SECOND 2007/12/24 23:45:32  (修正2回)
  │ └厳密の計算ではありませんが、また、対称変... 山中和義 2007/12/25 11:18:13 
  !フラクタル描画で、3重書きの弊害を解消し... SECOND 2007/12/24 21:02:15 
   ├!こちらが見やすい。動きを細かくした。 SECOND 2007/12/25 04:00:25 
   │└シェルピンスキーの三角形ですね。 山中和義 2007/12/25 11:08:08 
   │ ├日増しに訪問者が、減っていくようで寂しい... SECOND 2007/12/25 19:09:12 
   │ └腰を折ってすみません。六角形の方を紹介し... SECOND 2007/12/26 03:06:45 
   │  └!簡易万華鏡(ランダム)※FOR文による6角... 山中和義 2007/12/26 11:26:29 
   └!シルピンスキーのガスケットと並べて動かし... SECOND 2007/12/26 05:27:23  (修正2回)
    └「中を抜いたもの」を、シルピンスキーのガ... SECOND 2007/12/26 09:35:33 

Re: !シルピンスキーのガスケットと並べて動かし...  返事を書く  ノートメニュー
SECOND <jjqdmekgpt> 2007/12/26 09:35:33
「中を抜いたもの」を、シルピンスキーのガスケット(もどき)
としたけれども、これの写像の回転成分を除いた書き方が、
本来のシルピンスキーのガスケットの書き方では、ないだろうか。

というのは、
フラクタル図形としての、次元数Dを見てみます。

縮小率r(N)=1/( N^(1/D) ) …Nは分割数

で、相似次元Dが、定義されています。分りにくいので変形して、

   (縮小率)^D=1/分割数

例1、2次元平面を相似形で4分割すると、辺の長さは半分=縮小率1/2
   (1/2)^D=1/4 で、D=2(次元)
   3次元なら、相似形で8分割すると、辺の長さは半分=縮小率1/2
   (1/2)^D=1/8 で、D=3(次元)

例2、カントール集合は、2分割するために、3等分して1つ捨てます。=縮小率1/3
   (1/3)^D=1/2 で、D=LOG(1/2)/LOG(1/3)≒0.631(次元)

例3、コッホの曲線は、2分割するために、辺を1/√3に相似縮小します。
   (1/√3)^D=1/2 で、D=LOG(1/2)/LOG(1/√3)≒1.262(次元)

次元が、端数(fraction フラクション)を持つのは、Nを無限大に分割して、
一見、埋め尽したかの様に見えても、1次元、2次元・・、などに比べると、
いたる所、すき間、穴だらけとなっていて、
フラクタル・ディメンションの図形という事です。

シルピンスキーのガスケットは、3分割するために、辺を1/2に相似縮小します。
   (1/2)^D=1/3 で、D=LOG(1/3)/LOG(1/2)≒1.585(次元)

ここまでは、端数次元の、すき間だらけの図形で、良いのですが、

 問題は、ドラゴン集合、レヴィのC曲線、ペアノの曲線、のような群です。
 2分割するために、辺を1/√2に相似縮小しています。
   (1/√2)^D=1/2 で、D=LOG(1/2)/LOG(1/√2)=2.000(次元)

丁度、2次元であるにも、かかわらず、
親集合に2次元平面を設定しても、すき間だらけの集合に分割されて行きます。
原因は、親集合の外側に展開されているためです。
相似次元どうりに2次元が、ベタの平面になるためには、常に親集合の内側に向かって
はじめて言える事だと、思います。
例えば、ペアノの曲線は、親集合に直角2等辺三角形の平面を使用すると、展開は、
親集合から少しも はみ出なくなり、完全に隙間無くベタの平面に分割されて行きます。

ですから、
シルピンスキーのガスケットの相似次元 1.585 を正しく描画するには、親集合三角形の
内側へ、展開すべきでは、ないでしょうか?


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