GAIさんへのお返事です。
> モンジュシャッフルの復元回数について知りたいのでお願いします。
１０枚のカードの場合、このシャッフルを置換で表すと
┌ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 ┐
└ 6 5 7 4 8 3 9 2 10 1 ┘
これを巡回置換の積で表すと
P=( 1 6 3 7 9 10 )( 2 5 8 )( 4 )
長さは、６,３,１なので、その最小公倍数６が求める解である。
実際のカードの並びは、置換の積で求まる。
E*P*P* … ※Eは、恒等置換
0 回目
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
1 回目
6 5 7 4 8 3 9 2 10 1
2 回目
3 8 9 4 2 7 10 5 1 6
3 回目
7 2 10 4 5 9 1 8 6 3
4 回目
9 5 1 4 8 10 6 2 3 7
5 回目
10 8 6 4 2 1 3 5 7 9
6 回目
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
●サンプル・プログラム
!「シャッフル」のシミュレーション
LET N=10 !カードの枚数
DIM shuffle(N) !シャッフルに相当する置換
FOR i=1 TO N
LET shuffle(i)=INT((N-i*(-1)^i-MOD(N,2))/2)+1
!LET shuffle(i)=MOD(2*i,N+1) !in shuffle ※Nは２の倍数
!IF i=N THEN LET shuffle(i)=N ELSE LET shuffle(i)=MOD(2*(i-1),N-1)+1 !out shuffle（1,Nは不変） ※Nは２の倍数
NEXT i
CALL PermPrintOut(shuffle)
CALL PermCyclicPrintOut(shuffle)
!!!STOP
DIM C(N) !カードの束
CALL PermIdentity(C) !カードを整列させる
PRINT "0 回目"
MAT PRINT C;
DIM T(N)
LET cMax=500 !最大回数 ※調整が必要
FOR x=1 TO cMax
CALL PermMultiply(C,shuffle, C) !シャッフル
PRINT x;"回目"
MAT PRINT C;
IF PermIsIdentity(C)<>0 THEN EXIT FOR !元に戻ったら、終了！
NEXT x
IF x>cMax THEN PRINT cMax;"回では元に戻りません。"
END
EXTERNAL SUB PermIdentity(A()) !恒等置換
FOR i=1 TO UBOUND(A)
LET A(i)=i
NEXT i
END SUB
EXTERNAL FUNCTION PermIsIdentity(A()) !恒等置換か確認する
LET PermIsIdentity=0 !false
FOR i=1 TO UBOUND(A)
IF A(i)<>i THEN EXIT FUNCTION
NEXT i
LET PermIsIdentity=-1 !true
END FUNCTION
EXTERNAL SUB PermMultiply(A(),B(), AB()) !積AB
DIM T(UBOUND(A))
FOR i=1 TO UBOUND(A)
LET T(i)=A(B(i)) !※合成写像(AB)(i)=A(B(i))
NEXT i
MAT AB=T
END SUB
!補助ルーチン
EXTERNAL SUB PermPrintOut(A()) !表示する ※標準形（２行ｎ列の行列表記する）
PRINT "┌";
FOR i=1 TO UBOUND(A)
PRINT USING "###": i;
NEXT i
PRINT " ┐"
PRINT "└";
FOR i=1 TO UBOUND(A)
PRINT USING "###": A(i);
NEXT i
PRINT " ┘"
END SUB
EXTERNAL SUB PermCyclicPrintOut(A()) !巡回置換の積で表示する ※(,,…,)(,,…,)…(,,…,)
DIM T(UBOUND(A)) !作業用
CALL PermIdentity(T)
FOR i=1 TO UBOUND(A)
IF T(i)>0 THEN !含まれないなら
LET L=0 !長さ
PRINT "(";
LET k=i !最初の値
DO !リストを作成する ※(4 4)などの長さ１の置換も含む
PRINT k;
LET L=L+1
LET T(k)=-1 !巡回に含まれる
LET k=A(k) !次をトレースする
LOOP UNTIL k=i !一巡するまで
PRINT ")"; !次の組へ
PRINT " 長さ=";L
END IF
NEXT i
PRINT
END SUB