どこがおかしいのか？

 投稿者：ＧＡＩ  投稿日：2012年 7月15日(日)14時56分5秒
  趣味で数論の本に書かれている内容を、コンピュータを用いて確認していますが
このほど次のことで行き詰まっています。

ラマヌジャンの発見での確認作業

Δ=Π(n=1～∞)x*(1-x^n)^24
   =Σ(n=1～∞)τ(n)*x^n
（Δを重さ１２の保型形式というらしい。）
で決定するｘ＾ｎの係数τ(n)がオンライン整数列大辞典
以下τ(n)をa(n)で表記します。（タイプの便利上）


n a(n)
1 1
2 -24
3 252
4 -1472
5 4830
6 -6048
7 -16744
8 84480
9 -113643
10 -115920
11 534612
12 -370944
13 -577738
14 401856
15 1217160
16 987136
17 -6905934
18 2727432
19 10661420
20 -7109760
21 -4219488
22 -12830688
23 18643272
24 21288960
25 -25499225
26 13865712
27 -73279080
28 24647168
29 128406630
30 -29211840
31 -52843168
32 -196706304
33 134722224
34 165742416
35 -80873520
36 167282496
37 -182213314
38 -255874080
39 -145589976
40 408038400

この数列には次の性質があると解説されており

（性質１）
自然数m,nが共通の素因数をもたないなら
a(m*n)=a(m)*a(n)　の乗法的法則が成立。

（性質２）
pが素数のとき、k=1,2,3,・・・
漸化式
a(p^(k+1))=a(p)*a(p^k)-p^11*a(p^(k-1))
が成立する。

（性質３）
Δを用いたゼータ関数として
L(s,Δ)=Σ(n=1～∞)a(n)/n^s
を定義すると
L(s,Δ)=Π(p:素数のすべて)(1-a(p)/p^s+p^(11-2*s))^(-1)

これを数値的に確認していくと、驚くべきことに成立していることが納得できていきました。

問題は次の性質４で、
（性質４）
a(n)=Σ((a,b,c,d,e)∈Ｚ^5 |a+b+c+d+e=0,a^2+b^2+c^2+d^2+e^2=10*n)
         (a-b)(a-c)(a-d)(a-e)(b-c)(b-d)(b-e)(c-d)(c-e)(d-e)/(1!*2!*3!*4!)********(S)

これはラマヌジャンのタウ係数a(n)を物理学者のダイソンがこの表示を学生の頃みつけたいう。
これを確認するために次の調査結果を得ていった。



a(1)　　a b c d e S
　　　　-2 -1 0 1 2 1
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　合計1　　　  1（一致）



a(2)   a b c d e S
　　　　-4 1 1 1 1 0
　　　　-3 -1 0 1 3 24
　　　　-1 -1 -1 -1 4 0
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　合計24       -24（一致）




a(3)   a b c d e S
　　　　-4 -1 0 2 3 126
　　　　-3 -3 2 2 2 0
　　　　-3 -2 0 1 4 126
　　　　-2 -2 -2 3 3 0
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　合計252       252（一致）


a(4)   a b c d e S
　　　　-5 -1 1 2 3 224
　　　　-4 -2 0 2 4 1024
　　　　-3 -2 -1 1 5 224
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　合計1472      -1472（一致）



a(5)   a b c d e S
　　　　-6 0 1 2 3 126
　　　　-5 -2 1 2 4 1701
　　　　-5 0 0 0 5 0
　　　　-4 -3 0 3 4 1176
　　　　-4 -2 -1 2 5 1701
　　　　-3 -2 -1 0 6 126
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　合計4830      4830 （一致）


a(6)   a b c d e S
　　　　-5 -3 1 3 4 3024
　　　　-4 -3 -1 3 5 3024
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　合計6048      -6048（一致）


a(7)   a b c d e S
　　　　-7 0 1 2 4 924
　　　　-6 -2 1 2 5 8624
　　　　-6 -1 -1 4 4 0
　　　　-5 -4 2 3 4 1176
　　　　-5 -2 -1 2 6 8624
　　　　-4 -4 1 1 6 0
　　　　-4 -3 -2 4 5 1176
　　　　-4 -2 -1 0 7 924
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　合計21448    -16744（不一致）


a(8)   a b c d e S
　　　　-8 2 2 2 2 0
　　　　-7 -2 3 3 3 0
　　　　-7 -1 1 2 5 7776
　　　　-6 -3 1 3 5 22176
　　　　-6 -2 0 2 6 24576
　　　　-5 -3 -1 3 6 22176
　　　　-5 -2 -1 1 7 7776
　　　　-3 -3 -3 2 7 0
　　　　-2 -2 -2 -2 8 0
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　合計84480    84480（一致）


a(9)   a b c d e S
　　　　-8 0 1 3 4 2376
　　　　-7 -1 0 2 6 17199
　　　　-6 -4 2 3 5 12474
　　　　-6 -3 0 3 6 59049
　　　　-6 -2 0 1 7 17199
　　　　-5 -3 -2 4 6 12474
　　　　-4 -3 -1 0 8 2376
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　合計123147　　-113643（不一致）


a(10)   a b c d e S
　　　　-8 -1 1 3 5 24024
　　　　-7 -3 1 4 5 39424
　　　　-7 -1 0 1 7 10976
　　　　-5 -5 0 5 5 0
　　　　-5 -4 -1 3 7 39424
　　　　-5 -3 -1 1 8 24024
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　合計137872　　-115920（不一致）


n=1,2,3,4,5,6,8 はまさにダイソンの公式と一致するのだが、n=7,9,10では一致しないのです。
後n=50まで調べたのですが、n=22の時一致するだけで他はすべて合いませんでした。
どこかプログラムがおかしいのかな？
数値的にずれる部分を指摘してもらいたい。










 		 

Re: どこがおかしいのか？

 投稿者：山中和義  投稿日：2012年 7月15日(日)21時42分58秒
  > No.1922[元記事へ]

ＧＡＩさんへのお返事です。

> 問題は次の性質４で、
> （性質４）
> a(n)=Σ((a,b,c,d,e)∈Ｚ^5 |a+b+c+d+e=0,a^2+b^2+c^2+d^2+e^2=10*n)
>          (a-b)(a-c)(a-d)(a-e)(b-c)(b-d)(b-e)(c-d)(c-e)(d-e)/(1!*2!*3!*4!)********(S)



!ダイソンによるラマヌジャンのτ係数

DEF F(x)=-INT(x/5)*5 !x≧0として、(-x)以上の5の倍数
!!DEF F(x)=INT((x+(5-1))/5)*5 !x≧0として、x以上の5の倍数

FOR n=1 TO 50
   LET m=10*n

   LET k=INT(SQR(m)) !a^2+0^2+0^2+0^2+0^2=10nより、[√(10n)]
   LET t=0
   FOR a=F(k)-4 TO k STEP 5 !(a,b,c,d,e)=(1,2,3,4,0) mod 5
      FOR b=F(k)-3 TO k STEP 5
         FOR c=F(k)-2 TO k STEP 5
            FOR d=F(k)-1 TO k STEP 5
               FOR e=F(k)+0 TO k STEP 5

                  IF a+b+c+d+e=0 THEN
                     IF a^2+b^2+c^2+d^2+e^2=m THEN

                        LET s=(a-b)*(a-c)*(a-d)*(a-e)*(b-c)*(b-d)*(b-e)*(c-d)*(c-e)*(d-e)/FACT(4)/FACT(3)/FACT(2)
                        PRINT a;b;c;d;e;"   "; s

                        LET t=t+s !Σ

                     END IF
                  END IF

               NEXT e
            NEXT d
         NEXT c
      NEXT b
   NEXT a

   PRINT "a(";STR$(n);")=";t
NEXT n

END

 		 

Re: どこがおかしいのか？

 投稿者：ＧＡＩ  投稿日：2012年 7月16日(月)11時42分27秒
  山中和義さんへのお返事です。

そういう意味で解釈すべきだったのですね。（mod 5 の解釈が不十分でした。）
これで、スッキリです。
いつも適切なアドバイスありがとうございます。
数論に便利なＰＡＲＩ/ＧＰという計算ソフトで確認作業を行うことが多いんですが、このソフトで
参考にさせてもらいプログラムを組んでみましても、まさにダイソンの公式通りの結果を確認できました。
差積ではVandermondの行列式を利用できるのですね。（私的には新発見でした。）


それにしても、ダイソンという人の才能（学生で、大学のハーディ（ラマヌジャンと共同研究していた。）の数学の授業に出席していて、趣味でこの公式を導き出したという。）
には恐れ入ります。
さらに紹介して頂いた、佐藤氏のサイトにはこれが素粒子の理論と繋がっていくという（素粒子と素数には深いところで繋がっている構造を感じる。）壮大な世界が広がっていそうです。

ダイソンのように、数学の世界と物理の世界を行き来できる人はどのような世界観を持つのでしょうか？
彼が書いた本を片っ端から読んでみたくなりました。
 		 

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