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以前この数について面白い性質があると思って調べてメモをとっていました。
ノートを引っ張り出して、書いてみます。
第１スターリング数S1(n,k)
n\k : 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8 , 9 , 10
1 : 1
2 : 1 , 1
3 : 2 , 3 , 1
4 : 6 , 11 , 6 , 1
5 : 24 , 50 , 35 , 10 , 1
6 : 120 , 274 , 225 , 85 , 15 , 1
7 : 720 , 1764 , 1624 , 735 , 175 , 21 , 1
8 : 5040 , 13068 , 13132 , 6769 , 1960 , 322 , 28 , 1
9 : 40320 , 109584 , 118124 , 67284 , 22449 , 4536 , 546 , 36 , 1
10 : 362880 , 1026576 , 1172700 , 723680 , 269325 , 63273 , 9450 , 870 , 45 , 1
ここに出現する数字は次の展開式（上昇階乗）でのｘ^kの係数を表す。(n=4,5の例で示す。）
x(x+1)(x+2)(x+3)=6x+11x^2+6x^3+x^4→S1(4,1)x+S1(4,2)x^2+S1(4,3)x^3+S1(4,4)x^4
x(x+1)(x+2)(x+3)(x+4)=24x+50x^2+35x^3+10x^4+x^5→S1(5,1)x+S1(5,2)x^2+S1(5,3)x^3+S1(5,4)x^4+S1(5,5)x^5
・・・・・・
以下同様
第２スターリング数S2(n,k)
n\k : 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8 , 9 , 10
1 : 1
2 : 1 , 1
3 : 1 , 3 , 1
4 : 1 , 7 , 6 , 1
5 : 1 , 15 , 25 , 10 , 1
6 : 1 , 31 , 90 , 65 , 15 , 1
7 : 1 , 63 , 301 , 350 , 140 , 21 , 1
8 : 1 , 127 , 966 , 1701 , 1050 , 266 , 28 , 1
9 : 1 , 255 , 3025 , 7770 , 6951 , 2646 , 462 , 36 , 1
10 : 1 , 511 , 9330 , 34105 , 42525 , 22827 , 5880 , 750 , 45 , 1
ここに出現する数字を下降階乗の係数に使うとx^nを構成できる。(n=4,5の例で示す。）
S2(4,1)x+S2(4,2)x(x-1)+S2(4,3)x(x-1)(x-2)+S2(4,4)x(x-1)(x-2)(x-3)
=1x+7(x^2-x)+6(x^3-3x^2+2x)+1(x^4-6x^3+11x^2-6x)=x^4
S2(5,1)x+S2(5,2)x(x-1)+S2(5,3)x(x-1)(x-2)+S2(5,4)x(x-1)(x-2)(x-3)+S2(5,5)x(x-1)(x-2)(x-3)(x-4)
=1x+15(x^2-x)+25(x^3-3x^2+2x)+10(x^4-6x^3+11x^2-6x)+1(x^5-10x^4+35x^3-50x^2+24x)=x^5
・・・・・・・・
以下同様
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