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問題
1,3,7,13,21,31,43,57,…で与えられた数列について、
(1) 25番目の数はいくらでしょうか？
(2) 一般項を求めてください。
答え
（終り）
答え 小学生
1,3,7,13,21,31,43,57,…
+ 0,1,2, 3, 4, 5, 6, 7,…
--------------------------
1,4,9,16,25,36,49,64,…
より、
(2) ●+(□-1)=□×□なので、●=□×□-□+1 （ 式 x+(n-1)=n^2 ）
(1) 25×25-25+1=625-25+1=601
（終り）
答え 中学生
1,3,7,13,21,31,43,57,…
- 1,2,3, 4, 5, 6, 7, 8,…
--------------------------
0,1,4, 9,16,25,36,49,…
より、
(1) n番目は(n-1)^2なので、(25-1)^2+25=576+25=601
(2) x-n=(n-1)^2から、x=n^2-n+1
（終り）
答え 中学生
1,3,7,13,21,31,43,57,…
から、
0,1,2, 3, 4, 5, 6, 7,… (n-1)
× 1,2,3, 4, 5, 6, 7, 8,… n
---------------------------
0,2,6,12,20,30,42,56,…
を引いて、
1,1,1, 1, 1, 1, 1, 1,…
より、x-(n-1)n=1
（終り）
1, 3, 7,13,21,31,43,57,…
+ 40,40,40,40,40,40,40,40,…
-----------------------------
41,43,47,53,61,71,83,97,…
答え 高校生
1,3,7,13,21,31,43,57,…
2,4, 6, 8,10,12,14,… 第1階差が等差数列
2, 2, 2, 2, 2, 2,…
より、
n≧2のとき、a[n]=1+Σ[k=1,n-1]2k=1+2*(n-1)n/2=n^2-n+1
これは、n=1のときも成り立つ。
したがって、a[n]=n^2-n+1、n≧1
（終り）
答え 高校生
一般に、
階差数列を考える。
a[0] a[1] a[2] a[3] a[4] a[5] a[6] …
b[0] b[1] b[2] b[3] b[4] b[5] … 第1階差が等差数列
c c c c c …
a[n]=pn^2+qn+r、n≧0とすると、
a[0]=r
b[0]=a[1]-a[0]=(p+q+r)-r=p+q
c=b[1]-b[0]=(a[2]-a[1])-b[0]={(4p+2q+r)-(p+q+r)}-(p+q)=2p
なので、
1=r
2=p+q
2=2p
から、p=1、q=1、r=1
よって、a[n]=n^2+n+1（n≧0） ∴a[n]=(n-1)^2+(n-1)+1=n^2-n+1（n≧1）
（終り）
OPTION ARITHMETIC RATIONAL !有理数
DATA 1,2,2
DIM P(0 TO 2,0 TO 2),Q(0 TO 2) !連立方程式Px=qを解く
MAT READ Q
DATA 0,0,1 !r
DATA 1,1,0 !p+q
DATA 2,0,0 !2p
MAT READ P
DIM W(3,3),x(0 TO 2)
MAT W=INV(P)
MAT x=W*Q
MAT PRINT x; !n^2,n,1の係数 ※n≧0
FOR n=0 TO 10 !検算
PRINT n; poly_val(2,x,n) !第n項
NEXT n
DIM y(0 TO 2) !nにn-1を代入して、展開する ※a[n]、n≧1
LET y(0)= x(0)
LET y(1)=2*x(0)*(-1) +x(1)
LET y(2)= x(0)*(-1)^2 +x(1)*(-1) +x(2)
FOR n=1 TO 10 !検算
PRINT n; poly_val(2,y,n) !第n項
NEXT n
END
EXTERNAL FUNCTION poly_val(k,c(),x) !関数値 f(x)=c[0]x^k+c[1]x^(k-1)+ … +c[n-2]x^2+c[n-1]x+c[n]
OPTION ARITHMETIC RATIONAL !有理数モード
LET f=c(0) !ホーナー法による
FOR i=1 TO k
LET f=f*x+c(i)
NEXT i
LET poly_val=f
END FUNCTION
●3次式
問題
数列 1,3,4,6,11,21,… の一般項を求めよ。
OPTION ARITHMETIC RATIONAL !有理数
DIM P(0 TO 3,0 TO 3),Q(0 TO 3) !連立方程式Px=qを解く
!1,3,4,6,11,21,…
! 2,1,2, 5,10,… 第1階差
! -1,1, 3, 5,… 第2階差が等差数列
! 2, 2, 2,…
!より、
DATA 1,2,-1,2
MAT READ Q
!階差数列を考える。
! a[0] a[1] a[2] a[3] a[4] a[5] a[6] …
! b[0] b[1] b[2] b[3] b[4] b[5] … 第1階差
! c[0] c[1] c[2] c[3] c[4] … 第2階差が等差数列
! d d d d …
!a[n]=pn^3+qn^2+rn+s、n≧0とすると、
!a[0]=s
!b[0]=a[1]-a[0]=(p+q+r+s)-s=p+q+r
!c[0]=b[1]-b[0]=(a[2]-a[1])-b[0]={(8p+4q+2r+s)-(p+q+r+s)}-(p+q+r)=6p+2q
!d=c[1]-c[0]
! =(b[2]-b[1])-c[0]
! ={(a[3]-a[2])-(a[2]-a[1])}-c[0]
! ={(a[3]-2a[2]+a[1])}-c[0]
! ={(27p+9q+3r+s)-2(8p+4q+2r+s)+(p+q+r+s)}-(6p+2q)
! =6p
DATA 0,0,0,1 !s
DATA 1,1,1,0 !p+q+r
DATA 6,2,0,0 !6p+2q
DATA 6,0,0,0 !6p
MAT READ P
DIM W(4,4),x(0 TO 3)
MAT W=INV(P)
MAT x=W*Q
MAT PRINT x; !n^3,n^2,n,1の係数 ※n≧0
FOR n=0 TO 10 !検算
PRINT n; poly_val(3,x,n) !第n項
NEXT n
DIM y(0 TO 3) !n-1を代入して、展開する ※a[n]、n≧1
LET y(0)=x(0)
LET y(1)=3*x(0)*(-1) +x(1)
LET y(2)=3*x(0)*(-1)^2+2*x(1)*(-1) +x(2)
LET y(3)= x(0)*(-1)^3 +x(1)*(-1)^2+x(2)*(-1)+x(3)
FOR n=1 TO 10 !検算
PRINT n; poly_val(3,y,n) !第n項
NEXT n
END
EXTERNAL FUNCTION poly_val(k,c(),x) !関数値 f(x)=c[0]x^k+c[1]x^(k-1)+ … +c[n-2]x^2+c[n-1]x+c[n]
OPTION ARITHMETIC RATIONAL !有理数モード
LET f=c(0) !ホーナー法による
FOR i=1 TO k
LET f=f*x+c(i)
NEXT i
LET poly_val=f
END FUNCTION
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