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集合の要素の個数を求める問題
例
生徒数50人のあるクラスで、A,B,Cの3種類の本を読んだかどうかを調査したところ、次の結果を得た。
(a) Aを読んだ生徒は35人
(b) Bを読んだ生徒は23人
(c) Cだけを読んだ生徒は2人
(d) B,Cの両方を読んだ生徒は11人
(e) A,Cの少なくとも一方を読んだ生徒は44人
(f) B,Cの少なくとも一方を読んだ生徒は25人
(g) A,B,Cのうちどれか1種類だけを読んだ生徒は31人
表
A B C 人数
○○○ a
○○× b
○×○ c
×○○ d
○×× e
×○× f
××○ g
××× h
より、式を立て、連立方程式を解く。
! a,b,c,d,e,f,g,h
DATA 1,1,1,0,1,0,0,0 !a+b+c+e=35
DATA 1,1,0,1,0,1,0,0 !a+b+d+f=23
DATA 0,0,0,0,0,0,1,0 !g=2
DATA 1,0,0,1,0,0,0,0 !a+d=11
DATA 1,1,1,1,1,0,1,0 !a+b+c+d+e+g=44
DATA 1,1,1,1,0,1,1,0 !a+b+c+d+f+g=25
DATA 0,0,0,0,1,1,1,0 !e+f+g=31
DATA 1,1,1,1,1,1,1,1
DATA 35,23,2,11,44,25,31,50
DIM A(8,8),x(8),b(8) !連立方程式Ax=b
MAT READ A
MAT READ b
DIM iA(8,8) !連立方程式を解く
MAT iA=INV(A)
MAT x=iA*b
MAT PRINT x; !(a,b,c,d,e,f,g,h)
END
実行結果
4 7 0 7 24 5 2 1
●キャロル図
http://izumi-math.jp/F_Nakamura/Carroll.pdf
答え
(a),(b),(c),(d)より、
B ~B
┌───┬───┐
│ │ │
A│ ┌─┼─┐ │35
│ │ │ │ │
├─┼11┼─┼─┤
│ │ │2 │ │
~A│ └─┼─┘ │
│ │ │
└───┴───┘
23 50
(e)より、35+x+2=44なので、x=7
B ~B
┌───┬───┐
│ │ │
A│ ┌─┼─┐ │35
│ │ │ │ │
├─┼11┼─┼─┤
│ │7 │2 │ │
~A│ └─┼─┘ │
│ │ │
└───┴───┘
23 50
(f)より、23+2+x=25なので、x=0
B ~B
┌───┬───┐
│ │ │
A│ ┌─┼─┐ │35
│ │ │0 │ │
├─┼11┼─┼─┤
│ │7 │2 │ │
~A│ └─┼─┘ │
│ │ │
└───┴───┘
23 50
左下部分をxとすると、
右上部分 (g)より、31-(x+2)=29-x
左上部分 (b),(d)より、23-(x+11)=12-x
B ~B
┌───┬───┐
│ 12-x │ 29-x │
A│ ┌─┼─┐ │35
│ │ │0 │ │
├─┼11┼─┼─┤
│ │7 │2 │ │
~A│ └─┼─┘ │
│ x │ │
└───┴───┘
23 50
図の数理を使って、n(A∩B∩C)は、11-7=4
B ~B
┌───┬───┐
│ 12-x │ 29-x │
A│ ┌─┼─┐ │35
│ │4 │0 │ │
├─┼11┼─┼─┤
│ │7 │2 │ │
~A│ └─┼─┘ │
│x │ │
└───┴───┘
23 50
n(A)について、(12-x)+4+(29-x)+0=35なので、これを解いて、x=5
参考 図の数理を使う
B ~B
┌───┬───┐
│ 31 │
A│ ┌─┼─┐ │35
│ │4 4 0 │ │
├12┼11┼2 ┼25┤
│ │7 9 2 │ │
~A│ └─┼─┘ │15
│ 6 │
└───┴───┘
23 27 50
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