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投稿者：山中和義
投稿日：2014年 6月12日(木)19時01分7秒
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問題
ある3つの整数解を持つ3次方程式を、x^3+5x^2+Ax+B=0 とする。
さらに、その解を全て含む4次方程式を、x^4+11x^3-4x^2+Cx+D=0 とする。
このとき、A,B,C,Dを求めよ。
答え
3次方程式の3つの整数解を、α,β,γとする。ここで、α≦β≦γとしてよい。
4次方程式の4つの整数解は、α,β,γ,δとおける。
解と係数の関係より、
α+β+γ=-5、α+β+γ+δ=-11
これより、δ=-6
αβ+αγ+αδ+βγ+βδ+γδ=-4 ∴αβ+βγ+γα+(α+β+γ)δ=-4
これより、αβ+βγ+γα=-4-(-5)*(-6)=-34
また、α^2+β^2+γ^2=(α+β+γ)^2-2(αβ+βγ+γα)より、
α^2+β^2+γ^2=(-5)^2-2*(-34)=93
93=2^2+5^2+8^2 なので、α+β+γ=-5に注意して、α=-8、β=-2、γ=5
したがって、3次方程式は(x+8)(x+2)(x-5)=0、4次方程式は(x+8)(x+6)(x+2)(x-5)=0 となる。
展開して、x^3+5x^2-34x-80=0、x^4+11x^3-4x^2-284x-480=0
（終り）
x^2+y^2+z^2=n に帰着させる。
x^2+y^2+z^2=93を満たす0≦x≦y≦zとする整数解
93=x^2+y^2+z^2≧3x^2 ∴6＞x
93=x^2+y^2+z^2≧y^2+z^2≧2y^2 ∴7＞y
93=x^2+y^2+z^2≧z^2 ∴10＞z
!x^3+Ax^2+□x+□=0、x^4+Px^3+Qx^2+□x+□=0
LET A=5
LET P=11
LET Q=-4
LET N=(-A)^2-2*(Q-(-A)*(-P+A))
PRINT "N=";N
FOR x=0 TO SQR(N/3) !0≦x≦[√(n/3)]、x≦y≦[√(n/2)]
FOR y=x TO SQR(N/2)
!2次方程式Z^2+(x^2+y^2-n)=0を解の公式を使って解く
LET D=0^2-4*1*(x^2+y^2-N) !判別式
LET DD=SQR(D)
IF DD=INT(DD) THEN !整数解
LET Z=(-0+DD)/(2*1) !解の公式
IF y<=Z THEN PRINT x;y;Z
END IF
NEXT y
NEXT x
END
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投稿者：山中和義
投稿日：2014年 6月13日(金)14時15分6秒
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> No.3391[元記事へ]
> 問題
> ある3つの整数解を持つ3次方程式を、x^3+5x^2+Ax+B=0 とする。
> さらに、その解を全て含む4次方程式を、x^4+11x^3-4x^2+Cx+D=0 とする。
> このとき、A,B,C,Dを求めよ。
3次方程式の3つの整数解
→ 微分、解の公式と判別式、2次関数の最大値・最小値（平方完成）
に帰着させる。
(x^3+5x^2+Ax+B)(x-δ)=x^4+(5-δ)x^3+(A-5δ)x^2+(B-Aδ)x-Bδ と
x^4+11x^3-4x^2+Cx+D とで係数を比較すると、5-δ=11、A-5δ=-4 ∴δ=-6、A=-34
f(x)=x^3+5x^2-34x+B=0 とする。3つの整数解を、α,β,γとする。
f'(x)=3x^2+10x-34より、f'(x)=0の2解は、x=(-5±√127)/3 ※極大値・極小値を与えるxの値
よって、まん中の解は、-5≦β≦2
また、f(x)=(x-β){x^2+(β+5)x+(β^2+5β-34)} と因数分解される。
α,γについて、
x^2+(β+5)x+(β^2+5β-34)を解くと、x=(-(β+5)±√(-3β^2-10β+161))/2なので、
D=-3β^2-10β+161が平方数にならなければいけない。
D=-3(β+5/3)^2+169+1/3と変形して、
-5≦β≦2の範囲では、
β=-5/3のとき、最大値169+1/3
β=2のとき、最小値129
をとるので、
Dが平方数ならば、-3β^2-10β+161=144 または -3β^2-10β+161=169
前者の解はβ=(-5±√76)/3、後者の解はβ=-2,-4/3
これより、β=-2
f(β)=f(-2)=(-2)^3+5(-2)^2-34(-2)+B=0 より、B=-80
LET A=5 !x^3+Ax^2+□x+□=0、x^4+Px^3+Qx^2+□x+□=0
LET P=11
LET Q=-4
LET B=Q-(-A)*(-P+A) !f(x)=x^3+Ax^2+Bx+□
PRINT B
CALL Solve2EQU(3,2*A,B, x1,x2,K) !f'(x)
PRINT K; x1;x2 !debug
LET xx1=IP(x1) !βの範囲
LET xx2=IP(x2)
PRINT xx1;xx2
!f(x)=(x-β){x^2+(β+A)x+(β^2+Aβ+B)}と因数分解される。
!x^2+(β+A)x+(β^2+Aβ+B)=0の2つの解はα,γ
!判別式D=(β+A)^2-4(β^2+Aβ+B)=(-3)β^2+(-2A)β+(A^2-4B)=-3(β+A/3)^2+(A^2-4B)-A^2/3
DEF G(X)=(AA*X+BB)*X+CC !判別式Dは、上に凸
LET AA=-3
LET BB=-2*A
LET CC=A^2-4*B
LET x3=-A/3 !軸
PRINT x3 !debug
IF x3>=xx1 AND x3<=xx2 THEN LET MX=G(x3) ELSE LET MX=MAX(G(xx1),G(xx2)) !最大値
LET MN=MIN(G(xx1),G(xx2)) !最小値
PRINT MN;MX
DEF F(X)=((X+A)*X+B)*X
FOR T=CEIL(SQR(MN)) TO SQR(MX) !Dが平方数、すなわちD=t^2
PRINT T
CALL Solve2EQU(AA,BB,CC-T*T, x1,x2,K)
PRINT K; x1;x2 !βの候補
PRINT -F(x1); -F(x2) !C=-f(β)
PRINT (-(x1+A)-T)/2; (-(x1+A)+T)/2 !α
PRINT (-(x2+A)-T)/2; (-(x2+A)+T)/2 !γ
NEXT T
END
EXTERNAL SUB Solve2Equ(a,b,c, x1,x2,K) !2次方程式 Ax^2+Bx+Cx=0、A≠0 の解
IF a=0 THEN
PRINT "2次の係数が0なので、2次方程式ではありません。"; a;b;c
LET K=-1
ELSE
LET D=b^2-4*a*c !判別式
IF D>=0 THEN !実数解なら
LET x1=(-b-SQR(D))/(2*a) !1つの解
IF D=0 THEN !重解なら
!!!!!!!!!!LET x2=x1
LET K=1
ELSE
LET x2=(-b+SQR(D))/(2*a) !もう1つの解
LET K=2
END IF
ELSE !虚数解なら
LET x1=-b/(2*a) !実部
LET x2=SQR(-D)/(2*a) !虚部
LET K=0
END IF
END IF
END SUB
実行結果
-34
2 -5.42314255652822 2.08980922319488
-5 2
-1.66666666666667
129 169.333333333333
12
2 1.23926596236045 -4.57259929569378
32.5529020577708 -164.404753909623
-9.11963298118023 2.88036701881978
-6.21370035215311 5.78629964784689
13
2 -1.33333333333333 -2
-51.8518518518517 -80
-8.33333333333334 4.66666666666667
-8 5
類題 一橋大学 2005年 前期
kは整数であり、3次方程式x^3-13x+k=0は3つの異なる整数解をもつ。kとこれらの整数解をすべて求めよ。
答え
k=-12のとき、3解は-3,-1,4
k=12のとき、3解は-4,1,3
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投稿者：山中和義
投稿日：2014年 6月15日(日)21時08分11秒
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> No.3392[元記事へ]
『謎解きはディナーのあとで』より
あらすじ
ディナーのとき、麗子お嬢様は珈琲をこぼして答案が汚してしまった。
そこで、答案の復元を依頼した。
答案用紙 ※消し線部分が珈琲のしみで見えなくなっている。
問題
3つの整数 α,β,γ を解にもつ3次方程式がある。
さらに、その解を全てもち、もう1つの解を d とする4次方程式がある。
このとき、3次方程式と4次方程式を展開した形で求めよ。
答え
(x-α)(x-β)(x-γ)=0 を展開して、x^3+Ax^2 +Bx+C =0
(x-α)(x-β)(x-γ)(x-d)=0 を展開して、x^4+Px^3+Qx^2 +Rx+S =0
（終り）
執事の景山「失礼ですがお嬢様。お嬢様の目は節穴でございますか？」 毒舌が爆発する！
x^3+Ax^2+▲x+△=0
x^4+Px^3+Qx^2+■x+□=0
組立除法
1 P Q ■ □ | d
d d^2+Pd d^3+Pd^2+Qd d^3+Pd^2+Qd+■
------------------------------------------------------------------
1 d+P d^2+Pd+Q d^3+Pd^2+Qd+■ d^4+Pd^3+Qd^2+■d+□ = 0
これより、4次方程式は、(x-d)(x^3+(d+P)x^2+(d^2+Pd+Q)x+(d^3+Pd^2+Qd+■))=0 と因数分解される。
3次方程式の部分は、x^3+Ax^2+▲x+△=0 なので、
係数を比較して、d+P=A、d^2+Pd+Q=▲ ∴d=A-P、▲=Ad+Q
したがって、x^3+Ax^2+(A(A-P)+Q)x+△=0
改めて、f(x)=x^3+Ax^2+Bx+△=0とおき、3つの整数解をα,β,γ（α≦β≦γ）とする。
組立除法
1 A B △ | α
α α^2+Aα
-------------------------------------
1 α+A α^2+Aα+B
これより、β,γは、x^2+(α+A)x+(α^2+Aα+B)=0の実数解である。
よって、判別式D=(α+A)^2-4(α^2+Aα+B)=-3α^2-2Aα+A^2-4B≧0
∴x1≦α≦x2
また、解と係数の関係から、3α≦α+β+γ=-Aより、α≦-A/3
α=x1のとき、
x^2+(α+A)x+(α^2+Aα+B)=0を解く。整数解 かつ α≦β≦γ を満たすなら適している。
α=x1+1のとき、
・・・
α=x1+2のとき、
・・・
:
:
LET A=5 !x^3+Ax^2+□x+□=0、x^4+Px^3+Qx^2+□x+□=0
LET P=11
LET Q=-4
LET B=A*(A-P)+Q !f(x)=x^3+Ax^2+Bx+□
PRINT B
CALL Solve2EQU(-3,-2*A,A^2-4*B, x1,x2,K) !D=-3α^2-2Aα+A^2-4B=0
PRINT K; x1;x2 !debug
PRINT IP(x2);IP(x1) !αの範囲
PRINT -A/3
FOR AA=IP(x2) TO MIN(x1,-A/3) !αを固定する
CALL Solve2EQU(1,AA+A,AA^2+A*AA+B, BB,CC,K) !β,γは、x^2+(α+A)x+(α^2+Aα+B)=0の解
IF BB=INT(BB) AND CC=INT(CC) THEN !整数なら
IF BB>=AA AND BB<=CC THEN !α≦β≦γなら
PRINT AA;BB;CC
PRINT -AA*BB*CC !□
END IF
END IF
NEXT AA
END
EXTERNAL SUB Solve2Equ(a,b,c, x1,x2,K) !2次方程式 Ax^2+Bx+Cx=0、A≠0 の解
IF a=0 THEN
PRINT "2次の係数が0なので、2次方程式ではありません。"; a;b;c
LET K=-1
ELSE
LET D=b^2-4*a*c !判別式
IF D>=0 THEN !実数解なら
LET x1=(-b-SQR(D))/(2*a) !1つの解
IF D=0 THEN !重解なら
!!!!!!!!!!LET x2=x1
LET K=1
ELSE
LET x2=(-b+SQR(D))/(2*a) !もう1つの解
LET K=2
END IF
ELSE !虚数解なら
LET x1=-b/(2*a) !実部
LET x2=SQR(-D)/(2*a) !虚部
LET K=0
END IF
END IF
END SUB
実行結果
-34
2 5.84628511305643 -9.17961844638976
-9 5
-1.66666666666667
-8 -2 5
-80
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