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投稿者：山中和義
投稿日：2014年 6月13日(金)14時15分6秒
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> No.3391[元記事へ]
> 問題
> ある3つの整数解を持つ3次方程式を、x^3+5x^2+Ax+B=0 とする。
> さらに、その解を全て含む4次方程式を、x^4+11x^3-4x^2+Cx+D=0 とする。
> このとき、A,B,C,Dを求めよ。
3次方程式の3つの整数解
→ 微分、解の公式と判別式、2次関数の最大値・最小値（平方完成）
に帰着させる。
(x^3+5x^2+Ax+B)(x-δ)=x^4+(5-δ)x^3+(A-5δ)x^2+(B-Aδ)x-Bδ と
x^4+11x^3-4x^2+Cx+D とで係数を比較すると、5-δ=11、A-5δ=-4 ∴δ=-6、A=-34
f(x)=x^3+5x^2-34x+B=0 とする。3つの整数解を、α,β,γとする。
f'(x)=3x^2+10x-34より、f'(x)=0の2解は、x=(-5±√127)/3 ※極大値・極小値を与えるxの値
よって、まん中の解は、-5≦β≦2
また、f(x)=(x-β){x^2+(β+5)x+(β^2+5β-34)} と因数分解される。
α,γについて、
x^2+(β+5)x+(β^2+5β-34)を解くと、x=(-(β+5)±√(-3β^2-10β+161))/2なので、
D=-3β^2-10β+161が平方数にならなければいけない。
D=-3(β+5/3)^2+169+1/3と変形して、
-5≦β≦2の範囲では、
β=-5/3のとき、最大値169+1/3
β=2のとき、最小値129
をとるので、
Dが平方数ならば、-3β^2-10β+161=144 または -3β^2-10β+161=169
前者の解はβ=(-5±√76)/3、後者の解はβ=-2,-4/3
これより、β=-2
f(β)=f(-2)=(-2)^3+5(-2)^2-34(-2)+B=0 より、B=-80
LET A=5 !x^3+Ax^2+□x+□=0、x^4+Px^3+Qx^2+□x+□=0
LET P=11
LET Q=-4
LET B=Q-(-A)*(-P+A) !f(x)=x^3+Ax^2+Bx+□
PRINT B
CALL Solve2EQU(3,2*A,B, x1,x2,K) !f'(x)
PRINT K; x1;x2 !debug
LET xx1=IP(x1) !βの範囲
LET xx2=IP(x2)
PRINT xx1;xx2
!f(x)=(x-β){x^2+(β+A)x+(β^2+Aβ+B)}と因数分解される。
!x^2+(β+A)x+(β^2+Aβ+B)=0の2つの解はα,γ
!判別式D=(β+A)^2-4(β^2+Aβ+B)=(-3)β^2+(-2A)β+(A^2-4B)=-3(β+A/3)^2+(A^2-4B)-A^2/3
DEF G(X)=(AA*X+BB)*X+CC !判別式Dは、上に凸
LET AA=-3
LET BB=-2*A
LET CC=A^2-4*B
LET x3=-A/3 !軸
PRINT x3 !debug
IF x3>=xx1 AND x3<=xx2 THEN LET MX=G(x3) ELSE LET MX=MAX(G(xx1),G(xx2)) !最大値
LET MN=MIN(G(xx1),G(xx2)) !最小値
PRINT MN;MX
DEF F(X)=((X+A)*X+B)*X
FOR T=CEIL(SQR(MN)) TO SQR(MX) !Dが平方数、すなわちD=t^2
PRINT T
CALL Solve2EQU(AA,BB,CC-T*T, x1,x2,K)
PRINT K; x1;x2 !βの候補
PRINT -F(x1); -F(x2) !C=-f(β)
PRINT (-(x1+A)-T)/2; (-(x1+A)+T)/2 !α
PRINT (-(x2+A)-T)/2; (-(x2+A)+T)/2 !γ
NEXT T
END
EXTERNAL SUB Solve2Equ(a,b,c, x1,x2,K) !2次方程式 Ax^2+Bx+Cx=0、A≠0 の解
IF a=0 THEN
PRINT "2次の係数が0なので、2次方程式ではありません。"; a;b;c
LET K=-1
ELSE
LET D=b^2-4*a*c !判別式
IF D>=0 THEN !実数解なら
LET x1=(-b-SQR(D))/(2*a) !1つの解
IF D=0 THEN !重解なら
!!!!!!!!!!LET x2=x1
LET K=1
ELSE
LET x2=(-b+SQR(D))/(2*a) !もう1つの解
LET K=2
END IF
ELSE !虚数解なら
LET x1=-b/(2*a) !実部
LET x2=SQR(-D)/(2*a) !虚部
LET K=0
END IF
END IF
END SUB
実行結果
-34
2 -5.42314255652822 2.08980922319488
-5 2
-1.66666666666667
129 169.333333333333
12
2 1.23926596236045 -4.57259929569378
32.5529020577708 -164.404753909623
-9.11963298118023 2.88036701881978
-6.21370035215311 5.78629964784689
13
2 -1.33333333333333 -2
-51.8518518518517 -80
-8.33333333333334 4.66666666666667
-8 5
類題 一橋大学 2005年 前期
kは整数であり、3次方程式x^3-13x+k=0は3つの異なる整数解をもつ。kとこれらの整数解をすべて求めよ。
答え
k=-12のとき、3解は-3,-1,4
k=12のとき、3解は-4,1,3
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