2つの放物線の最短距離投稿者：山中和義 投稿日：2014年 7月 7日(月)10時58分55秒 |
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問題 2つの放物線 y=x^2 と y=-(x+8)^2-1 の最短距離を求めよ。 答え ラグランジュの未定乗数法より、 F=x^2-y=0、G=-(X+8)^2-1-Y=0、D=(x-X)^2+(y-Y)^2 として、H=D+αF+βG 偏微分して、 Hx=Dx+αFx=0 ∴2(x-X)+α(2x)=0 ∴(α+1)x-X=0 ←① Hy=Dy+αFy=0 ∴2(y-Y)+α(-1)=0 ∴y-Y=α/2 ←② HX=DX+βGX=0 ∴-2(x-X)+β(-2(X+8))=0 ∴x+(β-1)X=-8β ←③ HY=DY+βGY=0 ∴-2(y-Y)+β(-1)=0 ∴y-Y=-β/2 ←④ Hα=F=0 ←⑤ Hβ=G=0 ←⑥ となる。 ②と④より、β=-α これを③に代入して、 x-(α+1)X=8α ←③' ①と③'を連立させて、（行列で表記して、逆行列から） ┌ α+1 -1 ┐┌ x ┐=┌ 0 ┐ └ 1 -(α+1) ┘└ X ┘ └ 8α ┘ ┌ x ┐= 1/{-(α+1)^2+1)} ┌ -(α+1) 1 ┐┌ 0 ┐ └ X ┘ └ -1 α+1 ┘└ 8α ┘ x=-8/(α+2)、X=-8(α+1)/(α+2) ⑥-⑤より、-(X+8)^2-1-x^2+(y-Y)=0 これにx,X,y-Yを代入して、αで表すと、 α^3+2α^2-4α-264=(α-6)(α^2+8α+44)=(α-6){(α+4)^2+28}=0 を得る。これを満たす実数解αは、α=6 これより、x=-1、X=-7 ∴y=x^2=1、Y=-(X+8)^2-1=-2 したがって、点(-1,1)、点(-7,-2)を結ぶ線分が最短となる。 最短距離は、√D = 3√5 （終り） ところで、 問題 点(p,q) と放物線 y=Ax^2+Bx+C の最短距離を求めよ。 答え ラグランジュの未定乗数法より、 F=(Ax^2+Bx+C)-y=0、D=(x-p)^2+(y-q)^2 として、H=D+λF Hx=Dx+λFx=0 ∴(2x-2p)+λ(2Ax+B)=0 ∴x=(-Bλ+2p)/(2Aλ+2) ←① Hy=Dy+λFy=0 ∴(2y-2q)+λ(-1)=0 ∴y=(λ+2q)/2 ←② Hλ=F=0 ←③ ①と②を③に代入して、 ( A{(-Bλ+2p)/(2Aλ+2)}^2 +B{(-Bλ+2p)/(2Aλ+2)} +C ) -(λ+2q)/2 = 0 ∴( A(-Bλ+2p)^2 +2B(Aλ+1)(-Bλ+2p) +4C(Aλ+1)^2 ) -2(λ+2q)(Aλ+1)^2 = 0 整理すると、 (2A^2) λ^3 + A(4 +4Aq +B^2 -4AC) λ^2 + 2(1 +4Aq +B^2 -4AC) λ + 4(q -Ap^2 -Bp -C) = 0 実数解λを求めて、x,yを求める。 （終り） と、同様な流れで求めることができる。 先の問題に戻って、この解法を利用する。 すなわち、点(p,q)を相似の中心点とする。 そして、放物線がy=Ax^2なら、計算がかなり容易になる。 答え 相似の中心は、頂点(-8,-1)と頂点(0,0)を結ぶ線分を1:1に内分する点だから、(-4.-1/2) ラグランジュの未定乗数法より、F=x^2-y=0、D=(x+4)^2+(y+1/2)^2として、H=D+λF Hx=2(x+4)+2xλ=0 ∴x=-4/(λ+1) Hy=2(y+1/2)-λ=0 ∴y=(λ-1)/2 これをx^2-y=0に代入して、{-4/(λ+1)}^2-(λ-1)/2=0 ∴λ^3+λ^2-λ-33=(λ-3)(λ^2+4λ+11)=(λ-3){(λ+2)^2+7}=0 これを満たす実数解λは、λ=3 これより、x=-1, y=1 よって、最短距離は、2√D = 2 √{ ((-1)+4)^2 + (1+1/2)^2 } = 3√5 また、放物線 y=-(x+8)^2-1 上の点は、 点(-1,1)と点(-4,-1/2)を結ぶ線分を2:(-1)に外分する点なので、(-7,-2)となる。 （終り） !図形と方程式 OPTION ARITHMETIC COMPLEX !複素数平面 SET WINDOW -11,5,-8,8 !表示領域を設定する ※調整が必要である DRAW grid !XY座標 !放物線y=Ax^2+Bx+C=A(x+B/(2A))^2-(B^2-4AC)/(4A) LET A=1 !放物線 y=x^2 LET B=0 LET C=0 CALL gcDRAWFNC2(A,B,C,-11,5) CALL gcFNC2POINT(A,B,C, X1,Y1) !点P1 SUB gcFNC2POINT(A,B,C, PX,PY) !放物線の頂点を得る LET PX=-B/(2*A) LET PY=-(B^2-4*A*C)/(4*A) DRAW disk WITH SCALE(0.1)*SHIFT(PX,PY) PRINT "頂点=";PX;PY END SUB LET P=-1 !放物線 y=-(x+8)^2-1 LET Q=-16 LET R=-65 CALL gcDRAWFNC2(P,Q,R,-11,5) CALL gcFNC2POINT(P,Q,R, X2,Y2) !点P2 !●放物線の相似 CALL gcDIVIDE(X1,Y1,X2,Y2,P,-A, xx,yy) !外分する点 DRAW disk WITH SCALE(0.1)*SHIFT(xx,yy) PRINT xx;yy !●相似の中心点と放物線との距離を考える。 LET S=2*A^2 !λ^3の係数 LET T=A*(4 +4*A*yy +B^2 -4*A*C) !λ^2の係数 LET U=2*(1 +4*A*yy +B^2 -4*A*C) !λ^1の係数 LET V=4*(yy -A*xx^2 -B*xx -C) !λ^0の係数 PRINT S;T;U;V !debug CALL Solve3Equ(T/S,U/S,V/S, L1,L2,L3) !実数解を得る PRINT "λ="; L1 !debug LET QX1=(-B*L1+2*xx)/(2+2*A*L1) LET QY1=(L1+2*yy)/2 DRAW disk WITH SCALE(0.1)*SHIFT(QX1,QY1) CALL gcDIVIDE(QX1,QY1,xx,yy,ABS(P)+ABS(A),-ABS(A), QX2,QY2) !放物線2は相似性から DRAW disk WITH SCALE(0.1)*SHIFT(QX2,QY2) PRINT QX1;QY1; QX2;QY2 PRINT SQR((QX1-QX2)^2+(QY1-QY2)^2); 3*SQR(5) !距離 PLOT LINES: QX1,QY1; QX2,QY2 END !FV.LIB より抜粋 EXTERNAL SUB gcDRAWFNC2(A,B,C,d1,d2) !2次関数y=Ax^2+Bx+C、x=[d1,d2]を描く OPTION ARITHMETIC COMPLEX !複素数平面 IF A=0 THEN PRINT "A=0なので、2次関数ではありません。"; A;B;C ELSE ASK WINDOW x1,x2,y1,y2 LET x1=MAX(x1,d1) LET x2=MIN(x2,d2) FOR x=x1 TO x2 STEP (x2-x1)/2^8 !※折れ線による PLOT LINES: x,(A*x+B)*x+C; NEXT x PLOT LINES END IF END SUB !点A(x1,y1),B(x2,y2)を結ぶ線分ABをm:nに分ける点（内分・外分する点） EXTERNAL SUB gcDIVIDE(x1,y1,x2,y2,m,n, xx,yy) OPTION ARITHMETIC COMPLEX !複素数平面 LET xx=(n*x1+m*x2)/(m+n) !※外分m:nは、m:(-n)となる LET yy=(n*y1+m*y2)/(m+n) END SUB !複素数版 EQU.LIB より抜粋 EXTERNAL SUB Solve3Equ(P,Q,R, x1,x2,x3)!代数方程式 x^3+Px^2+Qx+R=0 の解 OPTION ARITHMETIC COMPLEX !複素数を扱う !カルダノ（Cardano）の方法より LET a=-P^2/3+Q !x=y-P/3として、2次の項のない3次方程式y^3+a*y+b=0に変形する LET b=2*P^3/27-P*Q/3+R LET t=b^2/4+a^3/27 !(b/2)^2+(a/3)^3（判別式D=27*b^2+4*a^3と同値） LET z1=-b/2+SQR(t) !3乗根を求める LET z2=-b/2-SQR(t) IF t>=0 THEN !1実根と2虚根 LET u=SGN(z1)*ABS(z1)^(1/3) !実数の範囲 LET v=SGN(z2)*ABS(z2)^(1/3) ELSE !3実根（不還元の場合） LET u=EXP(LOG(z1)/3) !複素数の範囲 LET v=EXP(LOG(z2)/3) END IF !!!PRINT u*v; -a/3 !debug LET w=(-1+SQR(-3))/2 !ω=(-1+√(-3))/2は1の原始3乗根の1つ LET y1=u+v !y^3+a*y+b=0の解 LET y2=w*u+w^2*v LET y3=w^2*u+w*v LET x1=y1-P/3 !x=y-P/3 LET x2=y2-P/3 LET x3=y3-P/3 END SUB 
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