|
|
問題
3×3の各マス目に、赤か青の何れかの色を無作為に塗るとする。
(1) 何通りの塗り分け方ができるか。
(2) この中で、どこかの2×2の正方形には同色で塗られるものが存在する。それは何通りあるか。
例
■■□ □□□ ■■■ など
■■□ ■■□ ■■■
□□□ ■■□ □□□
答え (1) 2^9=512通り (2) 190通り
考察
n種類の色を塗るとする。色を0,1,2,3,…,n-1と番号付ける。
中央は0とする。順にA,B,C,Dと塗っていく。
その過程で、E,F,G,Hの箇所で同色になる場合の数を求める。
EAH
B0D
FCG
他の色1,2,3,…,n-1も同数である。
（終り）
!その１ シミュレーション
LET N=2 !色数
LET S=0 !場合の数
FOR A=0 TO N-1
FOR B=0 TO N-1
FOR E=0 TO N-1
IF A+B+E=0 THEN !この箇所で同色になる場合
LET S=S+N^3*N^2 !残りF,G,Hは、何色でもよい。また、C,Dも何色でもよい。
ELSE
FOR C=0 TO N-1
FOR F=0 TO N-1
IF B+C+F=0 THEN
LET S=S+N^2*N^1 !残りG,Hは、何色でもよい。また、Dも何色でもよい。
ELSE
FOR D=0 TO N-1
FOR G=0 TO N-1
IF C+D+G=0 THEN
LET S=S+N^1 !残りHは、何色でもよい。
ELSE
IF D+A=0 THEN LET S=S+1 !D+A+H=0の1通り
!!FOR H=0 TO N-1
!! IF D+A+H=0 THEN
!! LET S=S+N^0
!! ELSE
!! END IF
!!NEXT H
END IF
NEXT G
NEXT D
END IF
NEXT F
NEXT C
END IF
NEXT E
NEXT B
NEXT A
PRINT S; N*S; "通り"
!その２
!中央でも角でもない4マスについて、
!中央マスとの色の関係であり得るパターンは、次の6通りである。
!これより、中央の色を固定して、2×2の同色がないものは、
LET T=0
!(1) 4マスすべてが中央マスと異なる色
LET T=T+(N-1)^4*N^4 ! 1*( (N-1)^4 * N^4 )
!(2) 4マスのうち1マスだけ中央マスと同じ色
LET T=T+4*(N-1)^3*N^4 ! 4*( 1*(N-1)^3 * N^4 )
!(3) 4マスのうち向い合う2マスだけ中央マスと同じ色
LET T=T+2*(N-1)^2*N^4 ! 2*( 1^2*(N-1)^2 * N^4 )
!(4) 4マスのうち隣接する2マスだけ中央マスと同じ色
LET T=T+4*(N-1)^3*N^3 ! 4*( 1^2*(N-1)^2 * (N-1)*N^3 )
!(5) 4マスのうち3マスが中央マスと同じ色
LET T=T+4*(N-1)^3*N^2 ! 4*( 1^3*(N-1) * (N-1)^2*N^2 )
!(6) 4マス全部が中央マスと同じ色
LET T=T+(N-1)^4 ! 1*( 1^4 * (N-1)^4 )
!他の色でも同数となる。
!よって、求める場合の数は、余事象なので、
LET S=N^9-N*T
PRINT S; "通り"
END
|
|