試合結果の場合の数

 投稿者：山中和義  投稿日：2015年 5月 7日(木)10時08分1秒
  問題
A,Bが試合をする。1つの試合で、勝敗は決まるとする。
3試合勝ち越しとなった時点でそれ以降の試合はない。
11試合目でAが7勝4敗の成績で、Bに3試合勝ち越しとなるとき、
11試合の勝敗のパターンは何通りあるか。

答え
xy平面上で原点から出発する。
A,Bの勝ちに対して、
　Aが勝ったら、Yの正方向へ1つ進む
　Bが勝ったら、Xの正方向へ1つ進む
とすると、
格子点状の経路の問題に置き換えることができる。

数え上げると、


LET N=3 !n試合勝ち越し　n≧2
LET K=4 !(n+k)勝k敗
SET WINDOW -1,N+K+1,-1,N+K+1
DRAW grid
SET LINE COLOR 4
PLOT LINES: 0,N; 0+50,N+50 !Aが勝ち越しで終わる
SET LINE COLOR 2
PLOT LINES: N,0; N+50,0+50 !Bが勝ち越しで終わる
SET LINE COLOR 1
DIM P(0 TO K) !点(x,y)を通過する場合の数
MAT P=ZER
FOR Y=0 TO (N+K)-1
   FOR X=0 TO K
      IF Y>X-N AND Y<X+N THEN !2直線の間なら
         IF X=0 THEN !左端
            LET P(X)=1
         ELSE
            LET P(X)=P(X)+P(X-1) !累計
         END IF
         DRAW disk WITH SCALE(0.1)*SHIFT(X,Y)
         PLOT TEXT ,AT X+0.1,Y+0.1: STR$(P(X))
      ELSE
         LET P(X)=0
      END IF
   NEXT X
NEXT Y
SET AREA COLOR 4 !最後にもう1勝する
DRAW disk WITH SCALE(0.1)*SHIFT(K,N+K)
PLOT TEXT ,AT K+0.1,(N+K)+0.1: STR$(P(K))
PRINT P(K);"通り"
END



別解
樹形図を描いて考える。
　1     3     5 試合目
　A─A─A *
　    └B─A─A *
　          └B
　       └B─A
　          └B
　 └B─A
　    └B
　B─A─A
　    └B
　 └B─A
　    └B *

3試合目
　Aが3勝0敗でAが勝ち越す、Bが3勝0敗でBが勝ち越す がそれぞれ1通り
　3試合目で試合が終わらない、場合の数は6通り
5試合目
　たとえば、3試合がA-A-Bのとき、
　　A-A-B-A-Aなら、Aが4勝1敗でAが勝ち越す
　　A-A-B-A-B、A-A-B-B-A、A-A-B-B-Aの3通りは次へ続く
　となる。
　A-B-A、A-B-B、B-A-A、B-A-B、B-B-Aも同様である。
　Aが4勝1敗でAが勝ち越す、Bが4勝1敗でBが勝ち越す がそれぞれ3通り
　5試合目で試合が終わらない、場合の数は6×3=18通り
この構図は、7,9,11,…と続く。
よって、
7試合目で試合が終わらない、場合の数は18×3=54通り
9試合目で試合が終わらない、場合の数は54×3=162通り
11試合目で試合が終わるのは、162×1=162通り
Aが勝ち越すのはこの半分なので、81通り
（終り）
 

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