対称式

 投稿者：山中和義  投稿日：2015年 8月 9日(日)19時12分45秒
  問題
a+b+c=4、a^2+b^2+c^2=4、a^3+b^3+c^3=4のとき、a,b,cを求めよ。


答え　恒等式（展開、因数分解）
(a+b+c)^2=(a^2+b^2+c^2)+2(ab+bc+ca)より、4^2=4+2(ab+bc+ca)　∴ab+bc+ca=6
(a^3+b^3+c^3)-3abc=(a+b+c)((a^2+b^2+c^2)-(ab+bc+ca))より、4-3abc=4×(4-6)　∴abc=4
したがって、a,b,cはx^3-4x^2+6x-4=0の3つの解である。これを解いて、2, 1±i
（終り）


答え
(a+b+c)^2=(a^2+b^2+c^2)+2(ab+bc+ca)より、4^2=4+2(ab+bc+ca)　∴ab+bc+ca=6

a,b,cを3つの解とする3次方程式は、x^3-(a+b+c)x^2+(ab+bc+ca)x-abc=0となる。
a^3-(a+b+c)a^2+(ab+bc+ca)a-abc=0
b^3-(a+b+c)b^2+(ab+bc+ca)b-abc=0
c^3-(a+b+c)c^2+(ab+bc+ca)c-abc=0
なので、辺々の和をとって、
(a^3+b^3+c^3)-(a+b+c)(a^2+b^2+c^2)+(ab+bc+ca)(a^1+b^1+c^1)-abc(a^0+b^0+c^0)=0
これより、4-4×4+6×4-3abc=0　∴abc=4

したがって、x^3-4x^2+6x-4=0の3つの解である。これを解いて、2, 1±i
（終り）

(a^3+b^3+c^3)-3abc=(a+b+c)((a^2+b^2+c^2)-(ab+bc+ca))を変形すると、
(a^3+b^3+c^3)-(a+b+c)(a^2+b^2+c^2)+(ab+bc+ca)(a^1+b^1+c^1)-abc(a^0+b^0+c^0)=0


答え　恒等式（ニュートンの多項式）
(a^2+b^2+c^2)-(a+b+c)(a^1+b^1+c^1)=-2(ab+bc+ca)より、4-4^2=-2(ab+bc+ca)　∴ab+bc+ca=6
(a^3+b^3+c^3)-(a+b+c)(a^2+b^2+c^2)+(ab+bc+ca)(a^1+b^1+c^1)=3abcより、4-4×4+6×4=3abc　∴abc=4
したがって、a,b,cはx^3-4x^2+6x-4=0の3つの解である。これを解いて、2, 1±i
（終り）



OPTION ARITHMETIC RATIONAL
DATA 3
DATA 4,4,4 !a+b+c, a^2+b^2+c^2, a^3+b^3+c^3
READ N
DIM A(N)
MAT READ A
DIM B(N) !基本対称式 a+b+c, ab+bc+ca, abc
FOR K=1 TO N
   LET S=A(K)
   FOR J=1 TO K-1
      LET S=S+(-1)^J*A(K-J)*B(J)
   NEXT J
   PRINT K;S
   LET B(K)=(-1)^(K-1)*S/K
NEXT K
MAT PRINT B;
END



類題
a+b+c+d=5、a^2+b^2+c^2+d^2=5、a^3+b^3+c^3+d^3=5、a^4+b^4+c^4+d^4=5のとき、a,b,c,dを求めよ。



発展問題
nは正の整数とする。
1≦k≦nを満たす任意の整数kに対して、Σ[m=1,n]a[m]^k=n+1となるa[m]を求めよ。
考察
a[m]=1-b[m]とすると、
n+1=Σa[m]=Σ(1-b[m])=n-Σb[m]　∴Σb[m]=-1
n+1=Σa[m]^2=Σ(1-b[m])^2=Σ(1-2b[m]+b[m]^2)=n-2Σb[m]+Σb[m]^2=n+2+Σb[m]^2　∴Σb[m]^2=-1
n+1=Σa[m]^3=Σ(1-b[m])^3=Σ(1-3b[m]+3b[m]^2-b[m]^3)　∴Σb[m]^3=-1
同様に、Σb[m]^k=-1
いま、
Σ[m=0,n]EXP(2πi{m/(n+1)})^k=0（iは虚数単位とする）より、
1+Σ[m=1,n]EXP(2πi{m/(n+1)})^k=0　∴Σ[m=1,n]EXP(2πi{m/(n+1)})^k=-1
なので、b[m]=EXP(2πi{m/(n+1)})とおけばよい。
（終り）


OPTION ARITHMETIC COMPLEX

LET N=4
DIM A(N)
FOR M=1 TO N !a[m]
   LET A(M)=1-EXP(2*PI*COMPLEX(0,1)*M/(N+1))
NEXT M
MAT PRINT A;
FOR K=1 TO N !k乗
   LET S=0 !和
   FOR M=1 TO N
      LET S=S+A(M)^K
   NEXT M
   PRINT K;S
NEXT K


DIM C(0 TO N) !C[0]t^n+C[1]t^(n-1)+C[2]t^(n-2)+ … +C[n-1]t+C[n]=0の係数
MAT C=ZER
FOR J=0 TO 2^N-1 !2進法n桁
   LET T=J
   LET P=0 !項の次数（1の個数）
   LET S=1
   FOR M=1 TO N !解と係数の関係より
      IF MOD(T,2)=1 THEN
         LET S=S*A(M)
         LET P=P+1
      END IF
      LET T=INT(T/2)
   NEXT M
   LET C(P)=C(P)+S*(-1)^P
NEXT J
MAT PRINT C;


FOR J=0 TO N !二項係数
   PRINT COMB(N+1,J)*(-1)^J;
NEXT J
PRINT

END


 		 

Re: 対称式

 投稿者：山中和義  投稿日：2015年 8月12日(水)19時37分19秒
  > No.3802[元記事へ]

問題　n次方程式のn個の解のk乗の和
4次方程式 x^4+4x^3+x^2+x+1=0 の4つの解の10乗の和を求めよ。

答え
t[k]=a^k+b^k+c^k+d^kとおくと、
k=1,2,3,4のとき、恒等式（ニュートンの多項式）より、
(a^1+b^1+c^1+d^1)=1(a+b+c+d)
(a^2+b^2+c^2+d^2)-(a+b+c+d)(a^1+b^1+c^1+d^1)=-2(ab+ac+ad+bc+bd+cd)
(a^3+b^3+c^3+d^3)-(a+b+c+d)(a^2+b^2+c^2+d^2)+(ab+ac+ad+bc+bd+cd)(a^1+b^1+c^1+d^1)=3(abc+abd+acd+bcd)
(a^4+b^4+c^4+d^4)-(a+b+c+d)(a^3+b^3+c^3+d^3)+(ab+ac+ad+bc+bd+cd)(a^2+b^2+c^2+d^2)-(abc+abd+acd+bcd)(a+b+c+d)=-4abcd
k≧5とき、
　漸化式 t[k]=(a+b+c+d)t[k-1]-(ab+ac+ad+bc+bd+cd)t[k-2]+(abc+abd+acd+bcd)t[k-3]-(abcd)t[k-4]
が成り立つ。
（終り）


OPTION ARITHMETIC RATIONAL !有理数

DATA 4 !x^4+4x^3+x^2+x+1
DATA 4,1,1,1

LET M=10 !m乗

READ N
DIM C(N) !係数　※基本対称式 -(a+b+c+d), ab+ac+ad+bc+bd+cd, -(abc+abd+acd+bcd), abcd
MAT READ C
DIM T(M)
FOR K=1 TO N !a+b+c+d, a^2+b^2+c^2+d^2, a^3+b^3+c^3+d^3, a^4+b^4+c^4+d^4
   LET W=0 !ニュートンの多項式
   FOR J=1 TO K-1
      LET W=W-C(J)*T(K-J)
   NEXT J
   LET T(K)=W-K*C(K)
NEXT K
FOR K=N+1 TO M !a^5+b^5+c^5+d^5, a^6+b^6+c^6+d^6, a^7+b^7+c^7+d^7, …
   LET W=0 !漸化式
   FOR J=1 TO N
      LET W=W-C(J)*T(K-J)
   NEXT J
   LET T(K)=W
NEXT K
MAT PRINT T;

END


 		 

Re: 対称式

 投稿者：GAI  投稿日：2015年 8月13日(木)09時42分12秒
  > No.3803[元記事へ]

山中和義さんへのお返事です。

> 問題　n次方程式のn個の解のk乗の和
> 4次方程式 x^4+4x+x^2+x+1=0 の4つの解の10乗の和を求めよ。
>
> 答え
> t[k]=a^k+b^k+c^k+d^kとおくと、
> k=1,2,3,4のとき、恒等式（ニュートンの多項式）より、

> (a^4+b^4+c^4+d^4)-(a+b+c+d)(a^3+b^3+c^3+d^3)+(ab+ac+ad+bc+bd+cd)(a^2+b^2+c^2+d^2)(abc+abd+acd+bcd)(a+b+c+d)=-4abcd

ここは
(a^4+b^4+c^4+d^4)-(a+b+c+d)(a^3+b^3+c^3+d^3)+(ab+ac+ad+bc+bd+cd)(a^2+b^2+c^2+d^2)-(abc+abd+acd+bcd)(a+b+c+d)=-4abcd
ですよね。


 		 

Re: 対称式

 投稿者：山中和義  投稿日：2015年 8月13日(木)12時53分20秒
  > No.3804[元記事へ]

GAIさんへのお返事です。

> ここは
> (a^4+b^4+c^4+d^4)-(a+b+c+d)(a^3+b^3+c^3+d^3)+(ab+ac+ad+bc+bd+cd)(a^2+b^2+c^2+d^2)-(abc+abd+acd+bcd)(a+b+c+d)=-4abcd
> ですよね。

修正しておきます。


別解　微分と除算による
も興味深いです。

例
a+b=X, ab=Yのとき、a,bは、2次方程式 t^2-Xt+Y=0 の解である。
左辺をf(t)とおくと、f'(t)=2t-X となる。ここで、tf'(t)÷f(t)の商を考える。

　           2 +X/t +(X^2-2Y)/t^2 +(X^3-3XY)/t^3  …
　        --------------------------------------------
　t^2-Xt+Y ) 2t^2 -Xt
　           2t^2-2Xt+2Y
　         ---------------
　                 Xt-2Y
　                 Xt-X^2           +XY/t
　               --------------------------
　                   (X^2-2Y)       -XY/t
　                   (X^2-2Y)-(X^2-2Y)X/t       +(X^2-2Y)Y/t^2
　                 ---------------------------------------------
　                            (X^3-3XY)/t       -(X^2-2Y)Y/t^2
　                            (X^3-3XY)/t      -(X^3-3XY)X/t^2   +(X^3-3XY)Y/t^3
　                          ------------------------------------------------------
　                                        (X^4-4X^2Y+2Y^2)/t^2   -(X^3-3XY)Y/t^3
　                                               :



別解　代入による
t^2-Xt+Y=0の2つの解は、解の公式より、t=(X±√(X^2-4Y))/2
これを代入して、
a+b=(X±√(X^2-4Y))/2+(X干√(X^2-4Y))/2=X
a^2+b^2={(X±√(X^2-4Y))/2}^2+{(X干√(X^2-4Y))/2}^2=X^2-2Y
a^3+b^3={(X±√(X^2-4Y))/2}^3+{(X干√(X^2-4Y))/2}^3=X^3-3XY
　　:

二項定理で展開する。

 		 

Re: 対称式

 投稿者：山中和義  投稿日：2015年 8月14日(金)12時33分55秒
  > No.3805[元記事へ]

問題
a+b+c=-2、a^2+b^2+c^2=-2、a^3+b^3+c^3=-2のとき、a^4+b^4+c^4、a^5+b^5+c^5、a^6+b^6+c^6、…を求めよ。

解法の流れ
a+b+c, a^2+b^2+c^2, a^3+b^3+c^3
  ↓ ニュートンの多項式
a+b+c, ab+bc+ca, abc（基本対称式）
  ↓ 解と係数の関係
a,b,c,は、3次方程式 t^3-(a+b+c)t^2+(ab+bc+ca)t-abc=0 の解
  ↓ 漸化式
a^k+b^k+c^k

類題
a=-2のとき、a^2、a^3、a^4、…を求めよ。
a+b=-2、a^2+b^2=-2のとき、a^3+b^3、a^4+b^4、a^5+b^5、…を求めよ。

a+b+c+d=-2、a^2+b^2+c^2+d^2=-2、a^3+b^3+c^3+d^3=-2、a^4+b^4+c^4+d^4=-2のとき、a^5+b^5+c^5+d^5、a^6+b^6+c^6+d^6、a^7+b^7+c^7+d^7、…を求めよ。
   :


OPTION ARITHMETIC RATIONAL !有理数

DATA 3
DATA -2,-2,-2 !a+b+c, a^2+b^2+c^2, a^3+b^3+c^3

READ N
DIM A(N)
MAT READ A
DIM B(N) !基本対称式 a+b+c, ab+bc+ca, abc
FOR K=1 TO N
   LET S=A(K)
   FOR J=1 TO K-1
      LET S=S+(-1)^J*A(K-J)*B(J)
   NEXT J
   PRINT K;S
   LET B(K)=(-1)^(K-1)*S/K
NEXT K
MAT PRINT B;


LET M=10 !m乗
DIM T(M)
FOR K=1 TO N !a+b+c, a^2+b^2+c^2, a^3+b^3+c^3
   LET T(K)=A(K) !copy it
NEXT K
FOR K=N+1 TO M !a^4+b^4+c^4, a^5+b^5+c^5, a^6+b^6+c^6, …
   LET W=0 !漸化式
   FOR J=1 TO N
      LET W=W+(-1)^(J-1)*B(J)*T(K-J)
   NEXT J
   LET T(K)=W
NEXT K
MAT PRINT T;

END



-2のとき、n次方程式の各係数は、自然数列となる。

また、
Σ[m=0,n]EXP(2πi{m/(n+1)})^k=0（iは虚数単位とする）より、
1+Σ[m=1,n]EXP(2πi{m/(n+1)})^k=0　∴Σ[m=1,n]EXP(2πi{m/(n+1)})^k=-1
なので、
-1のとき、n次方程式の各係数は、1となる。すなわち、x^n+x^(n-1)+ … +x^2+x+1=0

 		 

Re: 対称式

 投稿者：山中和義  投稿日：2015年 8月15日(土)19時04分13秒
  > No.3806[元記事へ]

問題　2014年 横浜市立大学 医学部 第1問
a,b,cを相異なる実数とする。x,y,zに関する連立3元1次方程式
　x-ay+a^2z=a^4
　x-by+b^2z=b^4
　x-cy+c^2z=c^4
を解きたい。
その解を基本対称式 A=a+b+c, B=ab+bc+ca, C=abc を用いて表せ。


答え
a,b,cは、3次方程式 t^3-At^2+Bt-C=0 の3つの解である。
t^4
=At^3-Bt^2+Ct　∵t^3=At^2-Bt+Cにtをかける
=A(At^2-Bt+C)-Bt^2+Ct　∵t^3=At^2-Bt+C
=(A^2-B)t^2-(AB-C)t+AC
これより、t^4-(A^2-B)t^2+(AB-C)t-AC=0 ← 式1
与式は、
　a^4-za^2+ya-x=0
　b^4-zb^2+yb-x=0
　c^4-zc^2+yc-x=0
と変形できるので、a,b,cは、4次方程式 t^4-zt^2+yt-x=0 ← 式2 の3つの解でもある。
よって、式1と式2を恒等式として係数を比較すると、x=AC, y=AB-C, z=A^2-B
（終り）


機械的な計算方法
                    t  +A
                ----------------------------------
  t^3-At^2+Bt-C  )  t^4
                    t^4-At^3    +Bt^2     -Ct
                  -----------------------------
                        At^3    -Bt^2     +Ct
                        At^3  -A^2t^2    +ABt-AC
                      ----------------------------
                           (A^2-B)t^2-(AB-C)t+AC
より、
  t^4-{(A^2-B)t^2-(AB-C)t+AC)}=(t^3-At^2+Bt-C)(t+A)
                              =(t-a)(t-b)(t-c)(t+A)
と因数分解される。
これより、余りを求めればよい。



OPTION ARITHMETIC RATIONAL

PUBLIC STRING v$ !変数の定義　※必要なものだけの列記でもよい
LET v$="ABCt"

PUBLIC NUMERIC N !変数の数
LET N=LEN(v$)

PUBLIC NUMERIC MAX_TERM !最大の項数
LET MAX_TERM=50
!------------------------------ ここまでがサブルーチン

DIM f(0 TO 100, 0 TO N), g(0 TO 100, 0 TO N)
CALL PolySet("t^4", f)
CALL PolySet("t^3-At^2+Bt-C", g)

DIM q(0 TO 100, 0 TO N), r(0 TO 100, 0 TO N)
CALL PolyQuotientRemainder(f,g,"t", q,r)
CALL PolyPrintCollect(q,"t") !商
PRINT
CALL PolyPrintCollect(r,"t") !余り　※符号は+,-,+で採用する
PRINT

END

MERGE "mPOLY.LIB" !多変数の多項式の計算



実行結果
+(+A)+(+1)t
+(+AC)+(-AB+C)t+(-B+A^2)t^2

 		 

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