フラクタル図形とアフィン写像

 投稿者：堀江　伸一ﾒｰﾙ  投稿日：2009年 5月22日(金)10時54分52秒
  １０進Basic素晴らしいソフトですね。
イメージしにくかったフラクタルやアフィン写像の連続適用に関係する部分が理解しやすく操作も容易というのは非常にありがたいです。

学習中フラクタル図形を作っていてよくわからないことが出てきました。
複数のアフィン写像を組み合わせることによる連続写像に関する理論についてです。



まだ勉強中でよくわからないのですが、アフィン写像とフラクタルの関係はどのようなものなのでしょうか？
特に、規則的なフラクタル図形が得られるときとそうでないときの見極めに興味があります。

個人的には行列の面積拡大率が１以下のときフラクタル図形は規則的に描かれ、行列の面積拡大率が１以上のときは図形が巨大化し、カオスな図が描かれるという感じをうけたのですがよくわかりませんでした。
回転がかかってくる場合と、拡大縮小のみの場合で違う感じもうけます。


カオス理論にくらべたら、アフィン写像という線形代数の中での変形はまだ単純な世界。
ある程度の学習は可能だと感じています。 		 

Re: フラクタル図形とアフィン写像

 投稿者：白石　和夫  投稿日：2009年 5月22日(金)14時43分49秒
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コンピュータのよいところは，仮説を簡単に検証してみれるところにあると思います。
いろいろ実験してみて，仮説が正しいそうだという確証が得られたら証明を試みる
という研究スタイルがとれるのがコンピュータの利点です。
ただし，計算機には計算精度の限界という壁があります。
たとえば，アフィン変換はいくつ合成してもアフィン変換ですが，
コンピュータだと，極限に近いところではおかしな挙動を示すかも知れません。 		 

Re: フラクタル図形とアフィン写像

 投稿者：山中和義  投稿日：2009年 5月23日(土)11時07分0秒
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堀江　伸一さんへのお返事です。

> アフィン写像とフラクタルの関係はどのようなものなのでしょうか？
> 特に、規則的なフラクタル図形が得られるときとそうでないときの見極めに興味があります。


作図的な解釈ですが、、、


縮小写像（の和集合Ω）を

アフィン変換（拡大・縮小、回転、平行移動）で表し、（代数式、行列、複素数による表記が可能である）

原形に対してこれを（ある確率で）繰り返し適用させて、（再帰処理、繰り返し処理を実行する）

自己相似な図形（集合Ａ）を発生させる。 		 

Re: フラクタル図形とアフィン写像

 投稿者：SECOND  投稿日：2009年 5月23日(土)14時48分49秒
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堀江　伸一さんへのお返事です。

「周期を∞に発散させて二度と元に戻る事は無い。」が、これらに共通しています。
にもかかわらず、
隣接する出力と出力の間に、行なわれた計算は、概してシンプルで、
一意的な入出力が、しかも、繰返し同じ式を、用いているのも、注目されます。

以上の特徴は、カオスの定義と言っても良いのでは、自分では、考えています。
フラクタルも、カオスの一形態だと、思います。

ランダムとされる現象も、ポアンカレ切断面（注１）の様な、規則性が、発見
されれば、カオスに、変わるのですから、不明なだけのランダムかも知れません。

かつて、生物は、ミクロな遺伝情報から、全身の形状を、どんな方法で制御、
形作っているのかが、謎でした。が、フラクタル写像に、その鍵が有るようです。


（注１）ｎ番目の出力が、それ以前のｎ－１、ｎ－２、・・・の出力を、入力としての、
　　　　関数出力になっているならば、その関数の入出力空間が、ポアンカレ切断面です。
　　　　２次元面でないかもしれませんが、
　　　　時間軸から見ると、垂直断面の様な、概念なので、そう呼ばれるようです。

　　　　例）Xn = 4 * Xn-1 *( 1 - Xn-1 )　は、y=4x(1-x) の２次曲線の面を
　　　　　　ポアンカレ切断面として、離散空間では、カオスになっている数列です。

　アファイン(アフィン)集合を与える行列や、人体の遺伝情報、株価の予測式？なども、
　ポアンカレ切断面のパッケージでは、ないでしょうか。

　又、これらは、次世代の、劇的な、圧縮、解凍への応用性を持ち、
　　　線型圧縮の数理的な限界、KLT変換を越えます。DNA は、その実際例？サンプル？ 		 

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