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> No.3833[元記事へ]
永野護さんへのお返事です。
> a,b,cを整数とするとき方程式a*x^2+b*y^2=c*z^2が整数解を持つためには
> a,b,cはいかなる数であるべきか。
> この問題はどのように解けばよいのでしょうか。
> ご教示のほどよろしくお願いします。
(x,y,z)=(m,n,p)を解に持たせるようにa0,b0,c0を次のように決める。
a0=1/u^2+n/(2*n*u*v-m*v^2)
b0=1/v^2+m/(2*m*u*v-n*u^2)
c0=(a0*m^2+b0*n^2)/p^2
ここにu,vは任意の整数
＜確認＞
(x,y,z)=(2,3,5)を解に持たせるときは
u=4,v=11（任意に選択した。）
このとき
a0=35/176,b0=185/7744,c0=313/7744より
35/176*x^2+185/7744*y^2=313/7744*z^2
とし、分母を払って
1540*x^2+185*y^2=313*z^2
よって
a=1540
b=185
c=313 なる整数を選べば
確かに
1540*2^2+185*3^2=1540*4+185*9=7825
一方
313*5^2=313*25=7825
で
a*x^2+b*y^2=c*z^2
の解は(x,y,z)=(2,3,5)を満たしている。
これは一般に
a*x^2+b*x*y+c*y^2=d*z^2
の解を
(x,y,z)=(m,n,p)とするなら
a*x^2+b*x*y+c*y^2-d*p^2
=(a*m^2+b*m*n+c*n^2-d*p^2)(a*u^2+b*u*v+c*v^2)^2
という等式が,u,vを任意の整数として
x=(a*m+b*n)*u^2+2*c*n*u*v-c*m*v^2
y=-a*n*u^2+2*a*m*u*v+(b*m+c*n)*v^2
z=p*(a*u^2+b*u*v+c*v^2)
をパラメータ解として持つ。
このことを元にしてa,b,cの構成式を作りました。
もちろん(x,y,z)=(2,3,5)位なら
4a+9b=25c
から
(a,b,c)=(1,19,7),(2,13,5),(3,7,3),(4,1,1),(5,20,8),(7,8,4),･･･
など山ほど探せますが
(x,y,z)=(123,456,789)位になるとこの手法はなかなか見つけるのは困難だと思われます。
上記の式を用いてu,vを適当に選べば
例えば(u,v)=(2,11)なら
531205123735x^2+66862144681y^2=35243227511z^2
(u,v)=(1,2)なら
10306181x^2+28151783y^2=9653797z^2
とかなり大きな係数でも作り出すことができます。
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