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投稿者：山中和義
投稿日：2016年 4月 3日(日)20時54分10秒
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問題
ある同じ長さのひもが３本あり、１本はこれで正方形、他の２本で異なる長方形を２つ作った。
すると、２つの長方形の面積の和が正方形と一致したという。
ただし、各矩形の一辺の長さはどれも整数センチメートルであるとする。
ところで、このような現象を起こす長方形の組合せが２通りと４通り存在するのは、
それぞれひもの長さの最小値は何センチメートルか？
また、８通り存在させるためにはひもはどれだけの長さが必要か？
考察
ひもの長さをnとすると、正方形の一辺の長さはn/4（mとする）なので、nは4の倍数である。
また、一つの長方形の二辺の長さをa,b、もう一つの長方形はc,dとする。
a+b=2m, ab=m^2-cdより、a,bを2つの解にもつ2次方程式は、t^2-2mt+(m^2-cd)=0
解の公式より、t=(2m±√(4m^2-4(m^2-cd)))/2=m±√(cd)
tすなわちa,bが整数である必要があるので、cdは平方数である必要がある。
同様に、c+d=2m, cd=m^2-abより、c,dを2つの解にもつ2次方程式は、t^2-2mt+(m^2-ab)=0
解の公式より、t=(2m±√(4m^2-4(m^2-ab)))/2=m±√(ab)
tすなわちc,dが整数である必要があるので、abも平方数である必要がある。
ab＜cdとして、m^2=ab+cd＜2cdなので、[m^2/2]≦cd≦m-1
ここで、m,cd=k^2を固定して、a,bを考える。
また、c＜dとして、c=m-√(ab)=m-√(m^2-cd)=m-√(m^2-k^2)
（終わり）
LET t0=TIME
DIM F(0 TO 13)
MAT F=ZER
FOR M=1 TO 10000 !正方形の一辺の長さ
LET P=0 !場合の数
FOR K=M-1 TO SQR(M*M/2) STEP -1 !ab＜cd=k^2
LET AB=M*M-K*K !m^2-cd
LET RT=SQR(AB)
IF INT(RT)^2=AB THEN
LET A=M-K !長方形の二辺の長さ a＜b
LET B=M+K
LET C=M-RT !長方形の二辺の長さ c＜d
LET D=M+RT
LET P=P+1
!!PRINT 4*M;A;B;C;D !結果を表示する
!!PRINT SQR(M*M-K*K);K;M !対応する直角三角形（ピタゴラス数）
END IF
NEXT K
IF P<=13 AND F(P)=0 THEN LET F(P)=4*M !最初に現れたら
NEXT M
MAT PRINT F;
PRINT TIME-t0
END
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投稿者：Takao.K
投稿日：2016年 4月 3日(日)22時49分22秒
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> No.4026[元記事へ]
山中和義さんへのお返事です。
以下のコードの結果から、題意を満たすものを探しました。
結果、
長方形2通りの最小値は、紐の長さ２０センチ、(1,9),(2,8)
長方形4通りの最小値は、紐の長さ１００センチ、(1,49),(5,45),(10,40),(18,32)
長方形8通りの最小値は、紐の長さ２６０センチ、(2,128),(5,125),(9,121),(13,117),(26,104),(32,98),(40,90),(49,81)
FOR a=1 TO 150
LET s=a^2 !sは正方形の面積、aは、一辺の長さ
FOR x=1 TO 2*a-1
LET t=(2*a-x)*x !tは長方形の面積、xと(2*a-x)は、長方形の辺の長さと辺の長さ
FOR y=1 TO 2*a-1
LET u=(2*a-y)*y !uは長方形の面積、yと(2*a-y)は、長方形の辺の長さと辺の長さ
IF s=t+u THEN PRINT "紐長";4*a;x;2*a-x,y;2*a-y;"で題意満"
NEXT y
NEXT x
NEXT a
END
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投稿者：山中和義
投稿日：2016年 4月 5日(火)09時53分41秒
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> No.4026[元記事へ]
x^2+y^2=m^2（x＜y、ピタゴラス数）より、
x^2=m^2-y^2なので、a＜bとして、a=m-y, b=m+y ここで、2a+2b=4m
y^2=m^2-x^2なので、c＜dとして、c=m-x, d=m+x ここで、2c+2d=4m
これより、
c-a=y-x＞0 ∴a＜c、 b-d=y-x＞0 ∴d＜b なので、a＜c＜d＜b
ab+cd=(m^2-y^2)+(m^2-x^2)=x^2+y^2=m^2
となり、題意を満たす一組のa,b,c,d,4mが求まる。
したがって、複数の組を求める場合は、mが同じになるものを求めればよい。
1通りの場合
3^2+4^2=5^2より、
3^2=5^2-4^2として、5-4=1, 5+4=9
4^2=5^2-3^2として、5-3=2, 5+3=8
これより、5×5=1×9+2×8
2通りの場合
7^2+24^2=25^2より、
7^2=25^2-24^2として、25-24=1, 25+24=49
24^2=25^2-7^2として、25-7=18, 25+7=32
15^2+20^2=25^2より、
15^2=25^2-20^2として、25-20=5, 25+20=45
20^2=25^2-15^2として、25-15=10, 25+15=40
これより、25×25 =1×49+18×32 =5×45+10×40
4通りの場合
16^2+63^2=65^2, 25^2+60^2=65^2, 33^2+56^2=65^2, 39^2+52^2=65^2 より
→ 類題 ディオフォントスの問題「2つの平方数の和として4通りに表されるような平方数を見つけよ」
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