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連続SQR(.5)が1に収束するはずですが、.999・・・で ゼータ関数を連続SQR(zeta(x))
!SQR(zeta(x))
OPTION ARITHMETIC DECIMAL_HIGH !1000桁モード
LET a=PI^20*174611/1531329465290625 !' PI^18*43867/38979295480125 PI^2/6 PI^4/90 PI^6/945 PI^8/9450 PI^10/93555 691*PI^12/638512875 2*PI^14/18243225 !'PI^2/6 PI^16*3617/325641566250
DO
LET s=SQR(a)
LET a=SQR(s)
LET n=n+1
PRINT n,s
LOOP UNTIL s=1
END
計算結果
ζ(2)=PI^2/6 ---1660
ζ(4)=PI^4/90 ---1658
ζ(6)=PI^6/945 ---1657
ζ(8)=PI^8/9450 ---1656
ζ(10)=PI^10/93555 ---1655
ζ(12)=691*PI^12/638512875 ---1654
ζ(14)=2*PI^14/18243225 ---1653
ζ(16)=PI^16*3617/325641566250 ---1652
ζ(18)=PI^18*43867/38979295480125 ---1651
ζ((20)=PI^20*174611/1531329465290625---1650
1658から1650まで綺麗に並びました。1659が出ないのには?
ゼータ関数の特殊値 任意の正の偶数 2n について
ここで、zeta(14) = PI^14*2/18243225 まで、なのでプログラムを作りました。
十進BASIC 有理数モード
!ゼータ関数の特殊値 SELECT CASE mod(x,4)=2 or mod(x,4)=0
OPTION ARITHMETIC RATIONAL !有理数モード
FOR n=2 TO 100 STEP 2
LET z1=2^(n-1)
LET z2=ABS(BERNOULLI(n))
LET z3=FACT(n)
LET z4=z1*z2/z3
PRINT "zeta(";STR$(n) &")";"= ";"PI^";STR$(n) &"*";STR$(z4)
NEXT n
END
EXTERNAL FUNCTION BERNOULLI(n) !'ベルヌーイ定数
OPTION ARITHMETIC RATIONAL !有理数モード
DIM b(0 TO n)
LET b(0)=1
IF n=0 THEN LET BERNOULLI=1
FOR k=2 TO n+1
LET s=0
FOR i=0 TO k-2
LET s=s+comb(k,i)*b(i)
NEXT i
LET b(k-1)=- s / k
LET BERNOULLI=b(k-1)
NEXT k
END FUNCTION
計算結果
zeta(2)= PI^2*1/6
zeta(4)= PI^4*1/90
zeta(6)= PI^6*1/945
zeta(8)= PI^8*1/9450
zeta(10)= PI^10*1/93555
zeta(12)= PI^12*691/638512875
zeta(14)= PI^14*2/18243225
zeta(16)= PI^16*3617/325641566250
zeta(18)= PI^18*43867/38979295480125
zeta(20)= PI^20*174611/1531329465290625
zeta(22)= PI^22*155366/13447856940643125
zeta(24)= PI^24*236364091/201919571963756521875
zeta(26)= PI^26*1315862/11094481976030578125
zeta(28)= PI^28*6785560294/564653660170076273671875
zeta(30)= PI^30*6892673020804/5660878804669082674070015625
以下省略しました。
http://blogs.yahoo.co.jp/donald_stinger
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