しばっちさんへ、f(z)=z^8+15*Z^4-16のNewtonフラクタル

 投稿者：yoshipyuta  投稿日：2018年 1月10日(水)17時33分22秒
  わがKidsが練習としてf(z)=Z^8-17*Z^4+16のしばっち・プログラムを一部変えてf(z)=z^8+15*Z^4-16にチャレンジです。この複素関数は６Roots、±１、±i、±(1+i)そして±(1-i)

ですので下記の６つのRootsを入れました。

DIM Z(8)
LET Z(1)=COMPLEX(1,0) !'(z^4-1)*(z^4+16)の解
LET Z(2)=COMPLEX(-1,0)
LET Z(3)=COMPLEX(0,1)
LET Z(4)=COMPLEX(0,-1)
LET Z(5)=COMPLEX(1,1)
LET Z(6)=COMPLEX(-1,1)

関数は
LET FUNC=(z^4-1)*(z^4+16)=z^8+15*z^4-16

とします。

f(z)=Z^8-17*Z^4+16を超える複雑なフラクタルですが、±(1+i)そして±(1-i)が黒一色になってしまいます。set colorを変えるのはKidsでもわかるのですが、どのように？
 

Re: しばっちさんへ、f(z)=z^8+15*Z^4-16のNewtonフラクタル

 投稿者：しばっち  投稿日：2018年 1月10日(水)19時47分3秒
  > No.4466[元記事へ]

yoshipyutaさんへのお返事です。

> わがKidsが練習としてf(z)=Z^8-17*Z^4+16のしばっち・プログラムを一部変えてf(z)=z^8+15*Z^4-16にチャレンジです。この複素関数は６Roots、±１、±i、±(1+i)そして±(1-i)
>
> ですので下記の６つのRootsを入れました。
>
> DIM Z(8)
> LET Z(1)=COMPLEX(1,0) !'(z^4-1)*(z^4+16)の解
> LET Z(2)=COMPLEX(-1,0)
> LET Z(3)=COMPLEX(0,1)
> LET Z(4)=COMPLEX(0,-1)
> LET Z(5)=COMPLEX(1,1)
> LET Z(6)=COMPLEX(-1,1)

> 関数は
> LET FUNC=(z^4-1)*(z^4+16)=z^8+15*z^4-16
>
> とします。


8次方程式なので解は8つありますので、定義する解も8つ必要です。

そもそも Z^8+15*Z^4-16=0 の解は私が求めてみたところ

1 :( 1.4142135623731 -1.4142135623731)
2 :( 1 -2.12527960274941E-17)
3 :( 1.4142135623731  1.4142135623731)
4 :(-2.79464824076383E-16  1)
5 :(-1  2.85747054809052E-16)
6 :(-3.04295173063031E-16 -1)
7 :(-1.41421356237309  1.41421356237309)
8 :(-1.4142135623731 -1.41421356237309)
となりました。

> f(z)=Z^8-17*Z^4+16を超える複雑なフラクタルですが、±(1+i)そして±(1-i)が黒一色になってしまいます。set colorを変えるのはKidsでもわかるのですが、どのように？

黒色は未収束部分ですので、計算回数(KS)を増やしてみてください。
それでも黒色の場合は、ニュートン法では収束しない部分とみなしてもよろしいのではないでしょうか?

> 境界領域に現れる様々な色、たとえば赤のある点をクリックして、赤のアトラクターに引き寄せられる経路を矢印などで表示できるのか？と夢想するKidsです。しばっちさん、どうですか。

計算回数や収束判定で単に色を決めているだけなので、どうやって矢印の向きを求めるのかが、不明です。
 		 

Re: しばっちさんへ、f(z)=z^8+15*Z^4-16のNewtonフラクタル

 投稿者：yoshipyuta  投稿日：2018年 1月10日(水)21時35分15秒
  > No.4467[元記事へ]

しばっちさんへのお返事です。

kidsのミスです。正しい式はf(z)=z^8+3*z^4-4です。そうしますと、

DIM Z(8)
LET Z(1)=COMPLEX(1,0) !'f(z)=z^8+3*z^4-4の解
LET Z(2)=COMPLEX(-1,0)
LET Z(3)=COMPLEX(0,1)
LET Z(4)=COMPLEX(0,-1)
LET Z(5)=COMPLEX(1,1)
LET Z(6)=COMPLEX(-1,-1)
LET Z(7)=COMPLEX(1,-1)
LET Z(8)=COMPLEX(-1,1)


関数は

LET FUNC=z^8+3*z^4-4

です。変更部分は以上でよろしいですか？今度こそ下図の図で宜しいかと思います。心配なKids！

下図（２）はf(z)=(z^2+4)*(z^2-4*z+5)*(z+2)で５つの解は±2i、-2、2-i、2+iです。

DIM Z(8)
LET Z(1)=COMPLEX(-2,0) !'f(z)=(z^2+4)*(z^2-4*z+5)*(z+2)の解
LET Z(2)=COMPLEX(0,2)
LET Z(3)=COMPLEX(0,-2)
LET Z(4)=COMPLEX(2,1)
LET Z(5)=COMPLEX(2,-1)


関数は

LET FUNC=(z^2+4)*(z^2-4*z+5)*(z+2)です。

DIM(5)とすべきでしょうか。

> > f(z)=Z^8-17*Z^4+16を超える複雑なフラクタルですが、±(1+i)そして±(1-i)が黒一色になってしまいます。set colorを変えるのはKidsでもわかるのですが、どのように？

> 黒色は未収束部分ですので、計算回数(KS)を増やしてみてください。
> それでも黒色の場合は、ニュートン法では収束しない部分とみなしてもよろしいのではないでしょうか?

了解いたしました。正しい解でフラクタルの色も直りました。

> > 境界領域に現れる様々な色、たとえば赤のある点をクリックして、赤のアトラクターに引き寄せられる経路を矢印などで表示できるのか？と夢想するKidsです。しばっちさん、どうですか。
>
> 計算回数や収束判定で単に色を決めているだけなので、どうやって矢印の向きを求めるのかが、不明です。

f(z)=z^3-1でも難しいでしょうか。
 

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