教えてください

　　教えてください 門倉 2007/01/02 13:40:49 
　　├（１）～（３）は，解決のすべてをプログラ... 白石　和夫 2007/01/02 16:26:50 
　　│├プログラム作成でいまくいかないところが出... 白石　和夫 2007/01/02 16:37:47 
　　│└「1から50までのすべての整数をかけあわせる... 白石　和夫 2007/01/02 16:56:32 
　　│　└お答えありがとうございます。 門倉 2007/01/02 22:33:11 
　　│　　├十進1000桁モードか有理数モードで 白石　和夫 2007/01/03 07:36:16 
　　│　　├（2）の問題、 SECOND 2007/01/03 14:31:10 
　　│　　│└「（少なくとも２人が）同じ」のは、「すべ... 山中和義 2007/01/03 16:16:09 
　　│　　│　└ありがとうございます。 SECOND 2007/01/03 17:28:03 
　　│　　│　　├やっぱり、ダメだ。Ｐ２がおかしい。 SECOND 2007/01/03 17:46:56 
　　│　　│　　└こう書けば、どうか？ SECOND 2007/01/03 18:09:32 
　　│　　│　　　├!数値で確かめる。 SECOND 2007/01/03 22:37:50 
　　│　　│　　　└!（2）の問題。での順列関数は、十進BASICに... SECOND 2007/01/06 19:13:02 
　　│　　├!（4）の問題、この式には不思議が、いっぱ... SECOND 2007/01/04 06:30:54 
　　│　　├!（1）の問題、20については、意外な結果が... SECOND 2007/01/06 02:49:42 
　　│　　│└分割単位を整数に限定しないで，任意の実数... 白石　和夫 2007/01/06 08:23:18 
　　│　　│　├整数に限定すれば、正解は「1を含まずに、3... 荒田浩二 2007/01/06 10:20:50 
　　│　　│　└!個数も、実数ですか？10を、3.68個の2.717... SECOND 2007/01/06 14:17:56 
　　│　　└!（3）の問題 SECOND 2007/01/06 19:01:39 
　　├問題１への試行 山中和義 2007/01/03 08:48:45 
　　│├プログラムを変形してみよう。 山中和義 2007/01/05 22:30:30 
　　││└再帰呼び出しで簡潔だが、場合の数は多いの... 山中和義 2007/01/06 15:26:50 
　　││　└SECONDさんと同じ手法で、、、 山中和義 2007/01/06 20:13:54 
　　││　　└!これも、走らせてみて下さい。 SECOND 2007/01/07 02:14:59 
　　│└数学的アプローチ相加・相乗平均、ラグラン... 山中和義 2007/01/07 10:42:40 
　　├問題２への試行 山中和義 2007/01/03 11:16:17 
　　│└すべてを列挙して求める式を予測する。 山中和義 2007/01/06 22:39:17 
　　├問題３への試行 山中和義 2007/01/03 13:33:27 
　　├ヒント 荒田浩二 2007/01/03 19:01:34 
　　└問題４への試行 山中和義 2007/01/05 15:08:52

　　教えてください 門倉 2007/01/02 13:40:49  ツリーへ

教えてください

門倉 2007/01/02 13:40:49

1）整数を1個または2個以上の整数の和に分けて、得られた整数の積を最大に知ることを考えます。
　たとえば、10について10＝1+9とすると積は9です。10＝2＋3＋5とすると積は30です。
　10について最大の積はいくつになるでしょうか

　20について最大の積はいくつになるでしょうか

（2）n人の集団の中に、同じ月日に生まれた人のいる確率をPnとする。ただし、2月29日生まれの人はいないものとする。
　P５を計算せよ
　また、P２０を計算する方法を考え、実行せよ。

（3）1から50までの整数の中から異なるいくつかを選んで、かけあわせて一の位が0にならないようにします。選ぶことができる整数は、最も多くて？個です。また、1から50までのすべての整数をかけあわせると、末尾に0が？個並びます。

（4）数列{Xn}が次の漸化式で定義されている。
　　　　　　　　0=<X0=<1
　　　　　　　　Xn+1＝AXn(1-Xn)
1.　0<α<1のときのlim Xnの値を求めよ
2.　1<α<2のときのlim Xnの値を求めよ

という問題を十進BASICで解けというのですか、本当にできるのですか？できたら解き方も教えてください。お願いします。

　　├（１）～（３）は，解決のすべてをプログラ... 白石　和夫 2007/01/02 16:26:50  ツリーへ

Re: 教えてください

白石　和夫 2007/01/02 16:26:50

（１）～（３）は，解決のすべてをプログラムに委ねるのではなくて，何を計算すべきかは人間が考えて，その計算のみをBASICで行うことを意図した問題だと思います。
(4）は，頭で考えるだけで結論が得られます。もし収束すれば，その極限は，xに関する2次方程式x=a*x*(1-x)の解です。
収束する様子を調べるのに，計算を利用することを意図したものでしょう。A（α？）とx0を入力すると，100項目までを順に出力するようなプログラムを作って試行錯誤してみてください。十進BASICのサンプルプログラムに類似の問題が含まれていますが，それらは，Aの値が2より大きい場合（この場合がむずかしい）が対象です。

　　│├プログラム作成でいまくいかないところが出... 白石　和夫 2007/01/02 16:37:47  ツリーへ

Re: （１）～（３）は，解決のすべてをプログラ...

白石　和夫 2007/01/02 16:37:47

プログラム作成でいまくいかないところが出てきたら，プログラムを貼り付けて聞いてください。

　　│└「1から50までのすべての整数をかけあわせる... 白石　和夫 2007/01/02 16:56:32  ツリーへ

Re: （１）～（３）は，解決のすべてをプログラ...

白石　和夫 2007/01/02 16:56:32

「1から50までのすべての整数をかけあわせると、末尾に0が？個並びます」という問題は，普通にコンピュータで計算すると，正しい答えがでない問題です。（十進BASICだと，有理数モードで正解が得られる）

　　│　└お答えありがとうございます。 門倉 2007/01/02 22:33:11  ツリーへ

Re: 「1から50までのすべての整数をかけあわせる...

門倉 2007/01/02 22:33:11

お答えありがとうございます。
考えてみましたが、できませんでした。
参考に正解例を教えてくれませんか。
お願いします。

　　│　　├十進1000桁モードか有理数モードで 白石　和夫 2007/01/03 07:36:16  ツリーへ

Re: お答えありがとうございます。

白石　和夫 2007/01/03 07:36:16

十進1000桁モードか有理数モードで

10 PRINT 1*2*3*4*5*6*7*8*9*10*11*12*13*14*15*16*17*18*19*20*21*22*23*24*25*26*27*28*29*30*31*32*33*34*35*36*37*38*39*40*41*42*43*44*45*46*47*48*49*50
20 END

を実行すると，
30414093201713378043612608166064768844377641568960512000000000000

になります。あとは人力で0の個数を数えれば，
「1から50までのすべての整数をかけあわせると、末尾に0が？個並びます」という問題の答えが12だと分かります。
コンピュータを試行錯誤の道具として使ってもよいので，その理由を考えてみようというのが，出題意図だと思います。

　　│　　├（2）の問題、 SECOND 2007/01/03 14:31:10  ツリーへ

Re: お答えありがとうございます。

SECOND 2007/01/03 14:31:10

（2）の問題、
n人の集団の中に、同じ月日に生まれた人のいる確率をPnとする。ただし、2月29日生まれの人はいないものとする。
　P５を計算せよ
　また、P２０を計算する方法を考え、実行せよ。

１人目は、相手なしで、０
２人目は、１/365　（2月29日生まれは無いので、1/366 は考えなくてよい）
３人目は、２/365　（当たりが２つある）
４人目は、３/365　（当たりが３つ・・）
５人目は、４/365　（当たりが４つ・・）

P５= 上を全部加算して、10/365　=１/36.5　

Pn へ拡張して、

Pn = Σk=1~n　(k-1)/365

= 0 + 1/365 + 2/365 + ... + (n-1)/365 =　(n-1)n/2 /365 = (n-1)n/730

P２０= 19*20/730 = 38/73

※小生も、実は自信が無い、だれか採点してくれ (^^;)

　　│　　│└「（少なくとも２人が）同じ」のは、「すべ... 山中和義 2007/01/03 16:16:09  ツリーへ

Re: （2）の問題、

山中和義 2007/01/03 16:16:09

「（少なくとも２人が）同じ」のは、「すべての人が異なる」の余事象だと思います。
２人の場合、異なる確率は364/365、求める確率は1-364/365。
３人の場合、異なる確率は(364/365)*(363/365)、求める確率は1-(364/365)*(363/365)。
４人の場合、異なる確率は(364/365)*(363/365)*(362/365)、求める確率は1-(364/365)*(363/365)*(362/365)。

ｎ人の場合、異なる確率は(364/365)*(363/365)*(362/365)*　…　*((365-n+1)/365)、
求める確率は1-(364/365)*(363/365)*(362/365)*　…　*((365-n+1)/365)。

同じことに着目すれば、以下のようになると思います。

n=1の場合、確率P0は0。

n=2の場合
１月１日で２人が同じとすると、
１人目がこの日付の確率　1/365
２人目がこの日付の確率　1/365
したがって、２人がこの日付の確率　1/365×1/365
日付は１月１日から１２月３１日まであるから
365×1/365×1/365＝1/365＝P2

n=3の場合
１月１日で２人が同じとすると、
１人目がこの日付の確率　1/365
２人目がこの日付の確率　1/365
３人目がこの日付以外の確率　364/365
３人の中の２人の組み合わせは3Ｃ2=3
3Ｃ2×(1/365)^2×364/365

１月１日で３人が同じとすると
1/365×1/365×1/365

日付は１月１日から１２月３１日まであるから
365×(　3Ｃ2×(1/365)^2×364/365　＋　1/365×1/365×1/365　）＝P3

　　│　　│　└ありがとうございます。 SECOND 2007/01/03 17:28:03  ツリーへ

Re: 「（少なくとも２人が）同じ」のは、「すべ...

SECOND 2007/01/03 17:28:03

ありがとうございます。
「（少なくとも２人が）同じ」のは、「すべての人が異なる」の余事象。
これは、すっきりします。納得です。同じ船に乗ります。

Pn=１－365Ｃn/365^n　・・こうしては、ダメかな？

　　│　　│　　├やっぱり、ダメだ。Ｐ２がおかしい。 SECOND 2007/01/03 17:46:56  ツリーへ

Re: ありがとうございます。

SECOND 2007/01/03 17:46:56

やっぱり、ダメだ。Ｐ２がおかしい。

　　│　　│　　└こう書けば、どうか？ SECOND 2007/01/03 18:09:32  ツリーへ

Re: ありがとうございます。

SECOND 2007/01/03 18:09:32

こう書けば、どうか？

Pn=１－365Ｐn/365^n　・・右のＰは、順列のＰ

　　│　　│　　　├!数値で確かめる。 SECOND 2007/01/03 22:37:50  ツリーへ

Re: こう書けば、どうか？

SECOND 2007/01/03 22:37:50

!数値で確かめる。
!P 1 = ?/365 0
!P 2 = ?/365 1.00000000000000000000000...
!P 3 = ?/365 2.99452054794520547945205...　3.0000..でないのは、相手２人が同日に重なる場合を含むから。
!P 4 = ?/365 5.96990805029086132482642...　6.0000..でないのも、相手２~３人が・・
!P 5 = ?/365 9.90448440042466010482832...　10.0000..でないのも、相手２~４人が・・
!P 6 = ?/365 14.76880653192569215818683...
!P 7 = ?/365 20.52603163003102324599746...
!P 8 = ?/365 27.13238170835919540292354...
!P 9 = ?/365 34.53769936954584317491425...
!P 10 = ?/365 42.68608486454334293224514...
!P 11 = ?/365 51.51660308743256641355349...
!P 12 = ?/365 60.96404792589350276821352...
!P 13 = ?/365 70.95975045983673007446403...
!P 14 = ?/365 81.43241688181514790742833...
!P 15 = ?/365 92.30898171374552579591053...
!P 16 = ?/365 103.51546191729023021525667...
!P 17 = ?/365 114.97779783324463108253309...
!P 18 = ?/365 126.62266752320310031978498...
!P 19 = ?/365 138.37826200151089263278188...
!P 20 = ?/365 150.17501000691169548203433...

OPTION ARITHMETIC DECIMAL_HIGH !10進1000桁
FOR n=1 TO 20
PRINT "P";n;"= ?/365 "; (1-順列365(n)/365^n) *365
NEXT N

!----
! n=365Ｐr　順列 Permutation
!----
FUNCTION 順列365(r)
LET w=365
FOR i=364 TO 366-r STEP -1
LET w=w*i
NEXT i
LET 順列365=w
END FUNCTION

END

　　│　　│　　　└!（2）の問題。での順列関数は、十進BASICに... SECOND 2007/01/06 19:13:02  ツリーへ

Re: こう書けば、どうか？

SECOND 2007/01/06 19:13:02

!（2）の問題。での順列関数は、十進BASICに内蔵されていた！
! 順列 PERM(n,r) と組合せ COMB(n,r)　両方ある。

OPTION ARITHMETIC DECIMAL_HIGH !10進1000桁

FOR n=1 TO 20
PRINT "P";n;"= ?/365　"; (1-PERM(365,n)/365^n) *365
NEXT N

END

!P 1 = ?/365　0
!P 2 = ?/365　1.00000000000000000000000...
!P 3 = ?/365　2.99452054794520547945205...　3.0000..でないのは、相手２人が同日に重なる場合を含むから。
!P 4 = ?/365　5.96990805029086132482642...　6.0000..でないのも、相手２~３人が・・
!P 5 = ?/365　9.90448440042466010482832...　10.0000..でないのも、相手２~４人が・・
!P 6 = ?/365　14.76880653192569215818683...
!P 7 = ?/365　20.52603163003102324599746...
!P 8 = ?/365　27.13238170835919540292354...
!P 9 = ?/365　34.53769936954584317491425...
!P 10 = ?/365　42.68608486454334293224514...
!P 11 = ?/365　51.51660308743256641355349...
!P 12 = ?/365　60.96404792589350276821352...
!P 13 = ?/365　70.95975045983673007446403...
!P 14 = ?/365　81.43241688181514790742833...
!P 15 = ?/365　92.30898171374552579591053...
!P 16 = ?/365　103.51546191729023021525667...
!P 17 = ?/365　114.97779783324463108253309...
!P 18 = ?/365　126.62266752320310031978498...
!P 19 = ?/365　138.37826200151089263278188...
!P 20 = ?/365　150.17501000691169548203433...

　　│　　├!（4）の問題、この式には不思議が、いっぱ... SECOND 2007/01/04 06:30:54  ツリーへ

Re: お答えありがとうございます。

SECOND 2007/01/04 06:30:54

!（4）の問題、この式には不思議が、いっぱい。

!数列{Xn}が次の漸化式で定義されている。
!　　　　　　　　0=<X0=<1
!　　　　　　　　Xn+1＝AXn(1-Xn)
!1.　0<A<1のときのlim Xnの値を求めよ　（αは、A の誤字として？無断で替えた）
!2.　1<A<2のときのlim Xnの値を求めよ

!　n が大きくなって、
!　Xn が収束するという事は、Xn+1 =Xn になって区別がつかなくなる事ですから、

!　X=AX(1-X) の根 X が、=Xn =Xn+1 =lim Xn という事になります。

!　式を整理すると、0= X(1 -1/A -X) 、　２根　X=0, 1-1/A

!　0<A<1のとき、
!　0=<X0=<1 で、0=< AX(1-X) <0.25 、X1 は同じ 0~1 間に戻るため、
!　0=<X0=<1 から出発する限り、lim Xn=1-1/A (-∞~-0) の不動点は訪れない。
!　lim Xn =0 のみ。

!　1<A<2のとき、
!　0=<X0=<1 で、0=< AX(1-X) <0.5 、X1 は同じ 0~1 間に戻るため、
!　lim Xn =0　、lim Xn =1-1/A (0< ~<0.5)　両方とも条件に合う。

!＊＊　エピソード　＊＊

!この式は A がもっと大きくなると、不思議なことが起ります。
!1<A<3 までは、同じようにしていますが・・このグラフを見て下さい。
!sample\CHAOS3.BAS のスケールを少しいじったものです。

DEF f(x)=A*x*(1-x)
SET POINT STYLE 1
SET WINDOW -0.2, 4.2, -0.2, 1.2
SET axis COLOR(11)
DRAW grid(0.5,0.5)
PLOT TEXT,AT 0, 0.7:"(lim Xn)"
PLOT TEXT,AT 2.6, 0.01:"(A)"
ASK PIXEL SIZE(0,0; 4,1) p,q
FOR A=0 TO 4 STEP 4/(p-1)
LET x=0.5 !　真中あたりから出発。(0=<X0=<1)
FOR n=1 TO 300
LET x=f(x) !　ある程度収束させてから、(...Xn)
NEXT n
FOR n=n TO n+q
LET x=f(x) !　暴れ具合いを見る。(lim Xn)
PLOT POINTS:A,x
NEXT n
NEXT A
END

!隣接する Xn, Xn+1 の関係は、２次の関数に固定され、
!範囲も0~1に制限されていながら、収束もせず、周期も無くなって
!２度と同じ Xn には、訪れないという、カオス(chaos)状態になる。

　　│　　├!（1）の問題、20については、意外な結果が... SECOND 2007/01/06 02:49:42  ツリーへ

Re: お答えありがとうございます。

SECOND 2007/01/06 02:49:42

!（1）の問題、20については、意外な結果が。

!整数を1個または2個以上の整数の和に分けて、得られた整数の積を最大に知ることを考えます。
!　たとえば、10について10＝1+9とすると積は9です。10＝2＋3＋5とすると積は30です。
!　10について最大の積はいくつになるでしょうか
!
!　20について最大の積はいくつになるでしょうか

!----
!20については、1024= 4 4 4 4 4 ではなく、1458= 3 3 3 3 3 3 2 であった。
!分割の種類は 627 もある。

!再帰コールで読みにくいのを、我慢して下さい。無限な処理を可能にする方法
!です、時間をかけて慣れて下さい。しらみつぶしを、行っています。

OPTION BASE 0
DIM pat(22),mx(22)
LET pat(0)=999 !　pat(1)~pat(20):各整数

LET pat(21)=0 !　pat(21):各整数の最後の配列添字(分割数)　pat(22):積
CALL divi( 10, pat, mx) !　整数 10, 20 などを第１引数に。

PRINT "----- 積が最大になる分割 -----"
CALL prin( mx)

END

!---- 全ての分割数とスタイルのスキャン
EXTERNAL SUB divi( k, p(),m())
IF 0<k THEN
FOR w=0 TO k-1
IF p( p(21))>=k-w THEN
LET p(21)=p(21)+1
LET p( p(21))=k-w
CALL divi( w, p, m) !　再帰CALL
END IF
NEXT w
ELSE
CALL lmax( p, m)
CALL prin( p)
END IF
LET p(21)=p(21)-1
END SUB

!---- 積の計算。最大を保存。
EXTERNAL SUB lmax( p(),m())
LET p(22)=1
FOR w=1 TO p(21)
LET p(22)=p(22)*p(w)
NEXT w
IF m(22)<p(22) THEN MAT m=p
END SUB

!---- 表示
EXTERNAL SUB prin( p())
PRINT USING"####= ":p(22);
FOR w=1 TO p(21)
PRINT p(w);
NEXT w
PRINT
END SUB

　　│　　│└分割単位を整数に限定しないで，任意の実数... 白石　和夫 2007/01/06 08:23:18  ツリーへ

Re: !（1）の問題、20については、意外な結果が...

白石　和夫 2007/01/06 08:23:18

分割単位を整数に限定しないで，任意の実数でよいことにしたら，どうなりますか？

　　│　　│　├整数に限定すれば、正解は「1を含まずに、3... 荒田浩二 2007/01/06 10:20:50  ツリーへ

Re: 分割単位を整数に限定しないで，任意の実数...

荒田浩二 2007/01/06 10:20:50

整数に限定すれば、正解は「1を含まずに、3の個数が最大になるように分割する」だと思います。

分割した数の積も、元の数nが3の倍数かどうかで次のように決まります。

n=3*k のとき 3^k
n=3*k+1 のとき 2^2*3^(k-1)
n=3*k+2 のとき 2*3^k

さて、分割を実数にまで拡げると、どうも3ではなくe=2.71828のようです。

LET e=EXP(1)
FOR n=4 TO 100
FOR i=1 TO n
LET k=n/i
LET p=k^i
IF p>maxp THEN
LET maxp=p
LET maxi=i
END IF
NEXT i
PRINT USING "### ### ##.###### ###################":n,maxi,n/maxi,maxp
LET d=0
IF MOD(n,e)<1 THEN LET d=1
LET s=e^INT(n/e-d)*(MOD(n,e)+d*e)
IF s>maxp THEN PRINT "error !!"
NEXT n
END

n=6000で、分割した値は2.71862でした。

　　│　　│　└!個数も、実数ですか？10を、3.68個の2.717... SECOND 2007/01/06 14:17:56  ツリーへ

Re: 分割単位を整数に限定しないで，任意の実数...

SECOND 2007/01/06 14:17:56

!個数も、実数ですか？ 10を、3.68個の 2.71739130434783 に分ける、など。

　　│　　└!（3）の問題 SECOND 2007/01/06 19:01:39  ツリーへ

Re: お答えありがとうございます。

SECOND 2007/01/06 19:01:39

!（3）の問題

!1から50までの整数の中から異なるいくつかを選んで、かけあわせて
!一の位が0にならないようにします。選ぶことができる整数は、最も多くて？個です。
!また、1から50までのすべての整数をかけあわせると、末尾に0が？個並びます。

!-----
!　10 の倍数にならないためには、
!　10の素数 2, 5，の何れか１つを統一して、素数に持たない数で積をとる。

OPTION ARITHMETIC DECIMAL_HIGH !10進1000桁

!----素数５を持たない数の、個数と積
LET m5=1
LET n5=0
FOR w=1 TO 50
IF 0<MOD(w,5) THEN
LET n5=n5+1
LET m5=m5*w
PRINT w;
END IF
NEXT w
PRINT
PRINT n5;"個の積";"=";m5

!----素数２を持たない数の、個数と積
LET m2=1
LET n2=0
FOR w=1 TO 50
IF 0<MOD(w,2) THEN
LET n2=n2+1
LET m2=m2*w
PRINT w;
END IF
NEXT w
PRINT
PRINT n2;"個の積";"=";m2

PRINT "選ぶことができる最大の個数＝";MAX(n5,n2)
PRINT

!----
!　1~50 の積、末尾の 0 の個数は、
!　10の素数 2, 5，のセットの個数、1~50 の素数２と５の各全数の内、少ない方の個数。

LET n2=0
FOR w=1 TO 50
LET p=w
DO WHILE MOD(p,2)=0
LET p=p/2
LET n2=n2+1
LOOP
NEXT w
PRINT "素数２の全数＝";n2

!----
LET n5=0
FOR w=1 TO 50
LET p=w
DO WHILE MOD(p,5)=0
LET p=p/5
LET n5=n5+1
LOOP
NEXT w
PRINT "素数５の全数＝";n5

PRINT "素数２と５のセットの数（末尾の 0 の個数）＝";MIN(n2,n5)

END

　　├問題１への試行 山中和義 2007/01/03 08:48:45  ツリーへ

Re: 教えてください

山中和義 2007/01/03 08:48:45

問題１への試行

この問題を「１０個の石をいくつかの山に分けて、各山の石の個数を掛け合わせる。」と考えて、
「石を取る」方法がいくつあるかすべて列挙します。

冗長ですが、プログラムでの処理手順が見えてきます。

!樹形図（枝別れする図）を書いて考える

LET A=10

!10=10　※１山の場合
PRINT A,A

!10=1+(9)、2+(8)、…　※２山
FOR i=1 TO A-1 !いくつ取れるか？　※１つは残しておく
PRINT i;"+";A-i,i*(A-i)
NEXT i

!10=1+1+(8)、1+2+(7)、…　※３山
FOR i=1 TO A-2 !２つは残しておく
FOR j=1 TO (A-i)-1 !i個取った残りからいくつ取れるか？　※１つは残しておく
PRINT i;"+";j;"+";A-(i+j),i*j*(A-(i+j))
NEXT j
NEXT i

!10=1+1+1+(7)、1+1+2+(6)、…　※４山
FOR i=1 TO A-3 !いくつ取れるか？　※３つは残しておく
FOR j=1 TO (A-i)-2 !i個取った残りからいくつ取れるか？　※２つは残しておく
FOR k=1 TO (A-(i+j))-1 !i+j個取った残りからいくつ取れるか？　※１つは残しておく
PRINT i;"+";j;"+";k;"+";A-(i+j+k),i*j*k*(A-(i+j+k))
NEXT k
NEXT j
NEXT i

!10=1+1+1+1+(6)、1+1+1+2+(5)、…　※５山
FOR i=1 TO A-4 !いくつ取れるか？　※４つは残しておく
FOR j=1 TO (A-i)-3 !i個取った残りからいくつ取れるか？　※３つは残しておく
FOR k=1 TO (A-(i+j))-2 !i+j個取った残りからいくつ取れるか？　※２つは残しておく
FOR l=1 TO (A-(i+j+k))-1 !i+j+k個取った残りからいくつ取れるか？　※１つは残しておく
PRINT i;"+";j;"+";k;"+";l;"+";A-(i+j+k+l),i*j*k*l*(A-(i+j+k+l))
NEXT l
NEXT k
NEXT j
NEXT i

!10=1+1+1+1+1+(5)、1+1+1+1+2+(4)、…　※６山

! 省略

!10=1+1+1+1+1+1+1+1+(2)、1+1+1+1+1+1+1+2+(1)　※９山

!10=1+1+1+1+1+1+1+1+1+(1)　※１０山

END

　　│├プログラムを変形してみよう。 山中和義 2007/01/05 22:30:30  ツリーへ

Re: 問題１への試行

山中和義 2007/01/05 22:30:30

プログラムを変形してみよう。

LET A=10 !石の数

!10=1+1+1+(7)、1+1+2+(6)、…　※４山
FOR i=1 TO A-3 !いくつ取れるか？　※３つは残しておく
FOR j=1 TO (A-i)-2 !i個取った残りからいくつ取れるか？　※２つは残しておく
FOR k=1 TO (A-(i+j))-1 !i+j個取った残りからいくつ取れるか？　※１つは残しておく
PRINT i;"+";j;"+";k;"+";A-(i+j+k),i*j*k*(A-(i+j+k))
NEXT k
NEXT j
NEXT i

END

う～ん、う～、こんな感じになる。

LET A=10 !石の数

LET c=4 !山の数

!10=1+1+1+(7)、1+1+2+(6)、…
LET wa=0
LET seki=1
FOR i=1 TO A-(c-1) !いくつ取れるか？　※予定の山の数は残しておく
PRINT i;"+"; !i個取ってこの山をつくる

LET wa=(0)+i !i個取って残りの山をつくる
LET seki=(1)*i
FOR j=1 TO (A-i)-((c-1)-1) !いくつ取れるか？　※予定の山の数は残しておく
PRINT TAB(6);j;"+"; !j個取ってこの山をつくる

LET wa=(i)+j !(i)+j個取る
LET seki=(i)*j
FOR k=1 TO ((A-i)-j)-(((c-1)-1)-1) !いくつ取れるか？　※予定の山の数は残しておく
PRINT TAB(12);k;"+"; !k個取ってこの山をつくる

LET wa=(i+j)+k !(i+j)+k個取って残りの山をつくる
LET seki=(i*j)*k
PRINT TAB(18);A-wa, seki*(A-wa) !最後の山をつくる
NEXT k
NEXT j
NEXT i

END

再帰呼び出しの手法が使えそうだ。

　　││└再帰呼び出しで簡潔だが、場合の数は多いの... 山中和義 2007/01/06 15:26:50  ツリーへ

Re: プログラムを変形してみよう。

山中和義 2007/01/06 15:26:50

再帰呼び出しで簡潔だが、場合の数は多いので計算時間が長くなる。

LET A=10 !石の数

FOR c=1 TO A !山の数
CALL div(c,A,1,0)
PRINT
NEXT c

END

EXTERNAL SUB div(c,A,seki,i) !山をつくる
IF c=1 THEN
PRINT TAB(6*i);A;" 積=";seki*A !最後の山をつくる
ELSE
FOR p=1 TO A-(c-1) !いくつ取れるか？　※予定の山の数は残しておく
PRINT TAB(6*i);p;"+"; !p個取ってこの山をつくる
IF c>1 THEN CALL div(c-1,A-p,seki*p,i+1) !残りの山をつくる
NEXT p
END IF
END SUB

Ａを１から順に実行してみると
１０の場合、順列で考えると2^(10-1)=512通りと推測できる。

２０の場合、2^(20-1)通り？
画面出力は限界か！　ファイル出力を検討しよう。

　　││　└SECONDさんと同じ手法で、、、 山中和義 2007/01/06 20:13:54  ツリーへ

Re: 再帰呼び出しで簡潔だが、場合の数は多いの...

山中和義 2007/01/06 20:13:54

SECONDさんと同じ手法で、、、
「長さAのひもをはさみで切っていく」をイメージしてプログラムしてみました。
p(21)がi、p(22)がsekiに対応するかと思います。
また、再帰呼び出しに付き物のスタックを使って、式を表示しています。

DECLARE EXTERNAL SUB a.div

LET A=10 !ひもの長さ
CALL div(A,1,0) !左手でひもの片方を持つ

END

MODULE a
SHARE NUMERIC cnt !出力回数
LET cnt=0
SHARE NUMERIC stk(0 TO 100) !順に切り落としたひもの長さ
!変数iはスタックポインタおよび数式を表示するTAB位置

PUBLIC SUB div
EXTERNAL SUB div(A,seki,i) !全長Aを長さpとA-pに２分割する
LET cnt=cnt+1
PRINT USING "#######:":cnt;
PRINT TAB(10);"積";seki*A;
FOR s=0 TO i-1 !切り落としたひもの長さを順に表示する
PRINT TAB(6*s+20);stk(s);"+";
NEXT s
PRINT TAB(6*i+20);A !左手に持ったひもの長さを表示する

IF A>1 THEN !右手にはさみを持って、切る位置を考える
FOR p=1 TO A-1 !全部　※順列
!!FOR p=1 TO INT(A/2) !半分まで　※組み合わせ。切った結果は重複あり
LET stk(i)=p !切り落としたひもの長さp
CALL div(A-p,seki*p,i+1) !左手に残ったひもを順に切っていく
NEXT p
END IF
END SUB

END MODULE

　　││　　└!これも、走らせてみて下さい。 SECOND 2007/01/07 02:14:59  ツリーへ

Re: SECONDさんと同じ手法で、、、

SECOND 2007/01/07 02:14:59

!これも、走らせてみて下さい。
!上書きしてすみません・・

OPTION BASE 0
DIM x(20)
!LET x(0)=0

LET A=10 !石の数

FOR c=1 TO A !山の数
CALL div(c, A, 1, 1, x)
!PRINT
NEXT c

END

EXTERNAL SUB div(c, A, seki, i, x()) !山をつくる
IF c=1 AND x(i-1)=<A THEN
FOR w=1 TO i-1
PRINT x(w);"+";
NEXT w
PRINT A;" 積=";seki*A !最後の山をつくる
ELSE
FOR p=1 TO A-(c-1) !いくつ取れるか？　※予定の山の数は残しておく
LET x(i)=p !p個取ってこの山をつくる
IF c>1 AND x(i-1)=<x(i) THEN CALL div(c-1, A-p, seki*p, i+1, x) !残りの山をつくる
NEXT p
END IF
END SUB

　　│└数学的アプローチ相加・相乗平均、ラグラン... 山中和義 2007/01/07 10:42:40  ツリーへ

Re: 問題１への試行

山中和義 2007/01/07 10:42:40

数学的アプローチ　相加・相乗平均、ラグランジュの未定乗数法

●相加・相乗平均

荒田浩二さんがすでに提示されたプログラムですが、

!相加・相乗平均
!　　　　　　　　　　　n
!n√(x1*x2*…*xn)　<=　(Σxi)/n
!　　　　　　　　　　　i=1

LET A=10 !拘束条件　x1+x2+…+xn=10
DIM x(A)

FOR i=1 TO A
PRINT i;"分割",(A/i)^i !Σxi=A
NEXT i

END

これにより、４分割が最大になる。

２０の場合はA=20として、７分割か？

●ラグランジュの未定乗数法

拘束条件　ｇ=x1+x2+…+xn-10　の下、ｆ=x1*x2*…*xnの最大値を求める。

２変数の場合、ｇ=a+b-10、ｆ=a*b

未定乗数λとして、ｆ-λ*ｇ=0を解く。

ｆ-λ*ｇ=0をaでの微分は、∂/∂a=b-λ=0。
bでの微分∂/∂b=a-λ=0。λでの微分∂/∂λ=-(a+b-10)=0。
λでまとめて連立方程式を解くと、a=5、b=5となる。

数学的なプログラミング（アルゴリズム、実行時間など）をすれば、検証する「場合の数」が減ります。

　　├問題２への試行 山中和義 2007/01/03 11:16:17  ツリーへ

Re: 教えてください

山中和義 2007/01/03 11:16:17

問題２への試行

順列、組み合わせを計算できる関数電卓を準備する。

FUNCTION 階乗(n) !n!　※関数FACT(n)でもよい
LET k=1
FOR i=n TO 1 STEP -1
LET k=k*i
NEXT i
LET 階乗=k
END FUNCTION
DEF 順列(n,r)=階乗(n)/階乗(n-r) !nPr=n!/(n-r)!
DEF 組み合せ(n,r)=順列(n,r)/階乗(r) !nCr=nPr/r!=n!/((n-r)!r!)
DEF 重複順列(n,r)=n^r !nΠr=n^r
DEF 重複組み合わせ(n,r)=組み合せ(n+r-1,r) !nＨr=n+r-1Cr
DEF 円順列(n)=階乗(n-1) !(n-1)!
DEF 数珠順列(n)=階乗(n-1)/2 !(n-1)!/2

PRINT 階乗(4)
PRINT 順列(5,3)
PRINT 組み合せ(4,2)
PRINT 重複順列(3,2)
PRINT 重複組み合わせ(4,5)
PRINT 円順列(4)
PRINT 数珠順列(4)

END

　　│└すべてを列挙して求める式を予測する。 山中和義 2007/01/06 22:39:17  ツリーへ

Re: 問題２への試行

山中和義 2007/01/06 22:39:17

すべてを列挙して求める式を予測する。
でも、場合の数が多いと計算時間がかかるので少ないもので検証しよう。
たとえば、さいころで考える。

DECLARE EXTERNAL SUB a.dice
DECLARE EXTERNAL FUNCTION a.NumOfAll, a.NumOfSame

LET A=3 !３個のさいころ
CALL dice(A,0)
PRINT
PRINT NumOfAll;"通りの中、一致回数は";NumOfSame;"です。　求める確率:";NumOfSame/(6^A)

END

MODULE a
SHARE NUMERIC SAME !一致回数
LET SAME=0
PUBLIC FUNCTION NumOfSame
EXTERNAL FUNCTION NumOfSame
LET NumOfSame=SAME
END FUNCTION

SHARE NUMERIC cnt !場合の数
LET cnt=0
PUBLIC FUNCTION NumOfAll
EXTERNAL FUNCTION NumOfAll
LET NumOfAll=cnt
END FUNCTION

SHARE NUMERIC stk(0 TO 100) !順に振ったさいころの目
!変数iはスタックポインタおよび数式を表示するTAB位置

PUBLIC SUB dice
EXTERNAL SUB dice(A,i) !さいころを振る
IF A<=0 THEN EXIT SUB

FOR p=1 TO 6 !すべての目　<-------------
LET stk(i)=p !出た目を記録する
IF A=1 THEN !最後なら
LET cnt=cnt+1
PRINT USING "#######:":cnt;
FOR s=0 TO i !順に表示する
PRINT TAB(5*s+10);stk(s);
NEXT s

FOR s=0 TO i-1 !当り判定
FOR t=s+1 TO i
IF stk(s)=stk(t) THEN
PRINT TAB(5*i+15);"一致";
LET SAME=SAME+1
GOTO 100
END IF
NEXT t
NEXT s
100 PRINT
ELSE !A>1のとき
CALL dice(A-1,i+1) !順に
END IF
NEXT p
END SUB

END MODULE

　　├問題３への試行 山中和義 2007/01/03 13:33:27  ツリーへ

Re: 教えてください

山中和義 2007/01/03 13:33:27

問題３への試行

１から５０までの整数は、１から５０までの素数
　２，３，５，７，１１，１３，１７，１９，２３，２９，３１，３７，４１，４３，４７
のべき乗の積で表される。（素因数分解）

　2^a * 3^b * 5^c * 7^d * 11^e * 13^f * 17^g * 19^h * 23^i * 29^j * 31^k * 37^l * 41^m * 43^n * 47^o

したがって、１から５０までの積も同様である。

次に、１０の倍数になるのは、１０＝２×５だから５の倍数に着目する。

5=2^0 * 3^0 * 5^1 * 7^0
10=2^1 * 3^0 * 5^1 * 7^0
15=2^0 * 3^1 * 5^1 * 7^0
20=2^2 * 3^0 * 5^1 * 7^0
25=2^0 * 3^0 * 5^2 * 7^0
30=2^1 * 3^1 * 5^1 * 7^0
35=2^0 * 3^0 * 5^1 * 7^1
40=2^3 * 3^0 * 5^1 * 7^0
45=2^0 * 3^3 * 5^1 * 7^0
50=2^1 * 3^0 * 5^2 * 7^0

これは、最初から２（2^a）と５（5^c）を含む数（10,20,30,40,50）と
２（2^a）と掛け合わせて１０の倍数になる数（5,15,25,35,45）を意味する。

!十進1000桁モードか有理数モードで実行する

LET n=1
FOR i=2 TO 50
IF MOD(i,5)<>0 THEN !5,10,15,20,25,30,35,40,45,50を除く
LET n=n*i
END IF
NEXT i
PRINT n

END

　　├ヒント 荒田浩二 2007/01/03 19:01:34  ツリーへ

Re: 教えてください

荒田浩二 2007/01/03 19:01:34

ヒント

(1)　20を2分割する場合、積は10*10が最大になります。9*11や8*12よりも大きくなります。
2数の差が最小になるときです。
周の長さが一定の長方形では、正方形の面積が最大になるのと同じです。
　20を3分割する場合、6*7*7が最大になります。
3数相互の差が最小になるときです。
周の長さが一定の直方体では、立方体の体積が最大になるのと同じです。
　n分割のときも同様に考えます。
　何分割した場合に積の最大値を得られるでしょうか?

(2)　やはり、同一誕生日がいない場合の確率から考えていきましょう。
P1=0
P2=1/365
3人目は、二人とも違っていてさらに3人目も違う場合を考えます。
P3=1-(1-1/365)*363/365
4人目も同様。
P4=1-(1-P3)*(365-3)/365
　このようにして、前項から計算していけると思います。

(3)　この問題は2通りのアプローチがあると思います。
　ひとつは中学生にも理解できる解き方です。
10=2*5 に気がつけば解決できます。要は、偶数に５をかければ末位は必ず０になるということですね。
５の倍数はいくつあるでしょうか？
約数５はいくつ含まれているでしょうか？
　もうひとつの解き方は、実際に１からかけていく方法です。
ただし、階乗は爆発的に数値が大きくなるので計算には工夫が必要です。
この問題では末尾だけに注目しているので、末尾数桁を計算すればすみます。
また、末位に０が現われたら10で割っていけば効率よく計算できます。(10で割った回数をカウントしておくこと)。

(4）配列X(n)を使い、αやX(0)の値を次々に変えていきX(n)の収束値を計算していくしかないでしょうね。
　収束の様子を観察するにはグラフィックを利用する手もあります。

実は、４題ともプログラムを作ってみました。
ただ、おそらく学生さんの課題だと思うのでぜひ自力でプログラムを作っていただきたいので
私のプログラムは１週間後に公開します。

　　└問題４への試行 山中和義 2007/01/05 15:08:52  ツリーへ

Re: 教えてください

山中和義 2007/01/05 15:08:52

問題４への試行

Ｘ軸にXn、Ｙ軸にXn+1のグラフを書いて考える。

●作図方法
まず、x0を決める。Ｘ軸上の点で範囲は0～1。

（１）垂直方向（上方向か下方向）に線を引く
　点(x0,0)からまっすぐ上に向かって線を引く。
　曲線y=A*x*(1-x)（漸化式と等価）との交点（x=x0として求めた値y）がx1である。

　解釈
　・漸化式の右辺XnからXn+1を求める。

（２）水平方向（左方向か右方向）に線を引く
　次にx2は、先に求めたx1を使うが、x0同様Ｘ軸上に求めるにはどうするか？
　まっすぐに右に向かって線を引く。
　直線y=xとの交点（直線y=xにy=x1を代入）からＸ軸に線を垂らす（x1=xすなわちx=x1）。
　この点がx1（x0と同様、Ｘ軸を基準）である。

　解釈
　・漸化式の左辺Xn+1を次のXn（右辺側）とする。

（３）垂直方向（上方向か下方向）に線を引く
　（１）同様、点(x1,0)からまっすぐ上に向かって線を引く。曲線y=A*x*(1-x)との交点がx2である。

　以下、階段状に（水平・垂直の）線を引くことでXnを順に求めていくことができる。

●収束する場合の値
Xn=Xn+1となることを意味するから、直線y=x上の点となる。
これは直線y=xのもう１つの役割である。
じゃあ、どこになるか？
y=A*x*(1-x)との２つの交点、原点と点(1-1/A,1-1/A)である。
言い換えると、
・連立方程式y=x、y=A*x*(1-x)の解く
すなわち、
・特性方程式x=A*x*(1-x)の解
となる。

参考
　sample\chaos1.bas

!ロジスティック写像
FUNCTION Logistic(x,A)
LET Logistic=A*x*(1-x) !漸化式 Xn+1=A*Xn*(1-Xn)
END FUNCTION

LET A=2.9 !(0,4]
LET n=50 !第n項まで

SET WINDOW -0.1,1.1,-0.1,1.1 !座標を設定する
DRAW grid(0.1,0.1) !座標を描く

SET LINE COLOR 3
PLOT LINES: 0,0; 1,1 !y=xのグラフ
SET LINE COLOR 2
FOR x=0 TO 1 STEP 0.05 !y=A*x*(1-x)のグラフ
PLOT LINES: x,Logistic(x,A);
NEXT x
PLOT LINES
SET LINE COLOR 1 !元に戻す

PLOT TEXT ,AT 0,1: "Xn+1" !軸
PLOT TEXT ,AT 1,0: "Xn"

LET x1=0.1 !第１項　(0,1)

LET x=x1
DRAW disk WITH SCALE(0.0075)*SHIFT(x,0) !X0
PLOT TEXT ,AT x,0: "0"
PLOT LINES: x,0;

FOR k=1 TO n !Xn+1=F(Xn)のグラフ
LET x1=Logistic(x,A)
PLOT LINES: x,x1; !y=A*x*(1-x)との交点　※垂直に線を引く
DRAW disk WITH SCALE(0.0075)*SHIFT(x,x1) !Xn+1
PLOT TEXT ,AT x,x1: STR$(k)

PLOT LINES: x,x1; x1,x1; !y=xとの交点　※水平に線を引く
LET x=x1 !Xn
NEXT k

SET AREA COLOR 4 !収束する場合の値を描く
DRAW disk WITH SCALE(0.01)*SHIFT((A-1)/A,(A-1)/A) !特性程式x=A*x*(1-x)の解 (A-1)/A、0
DRAW disk WITH SCALE(0.01) !※「y=A*x*(1-x)とy=xの交点」と解釈できる

END

このノートはこれ以上発言できません。
新しくノートを作成して、続きを書いてください。

インデックスへ EXIT
新規発言を反映させるにはブラウザの更新ボタンを押してください。

教えてください
門倉 2007/01/02 13:40:49
1）整数を1個または2個以上の整数の和に分けて、得られた整数の積を最大に知ることを考えます。　たとえば、10について10＝1+9とすると積は9です。10＝2＋3＋5とすると積は30です。　10について最大の積はいくつになるでしょうか　20について最大の積はいくつになるでしょうか（2）n人の集団の中に、同じ月日に生まれた人のいる確率をPnとする。ただし、2月29日生まれの人はいないものとする。　P５を計算せよ　また、P２０を計算する方法を考え、実行せよ。（3）1から50までの整数の中から異なるいくつかを選んで、かけあわせて一の位が0にならないようにします。選ぶことができる整数は、最も多くて？個です。また、1から50までのすべての整数をかけあわせると、末尾に0が？個並びます。（4）数列{Xn}が次の漸化式で定義されている。　　　　　　　　0=<X0=<1 　　　　　　　　Xn+1＝AXn(1-Xn) 1.　0<α<1のときのlim Xnの値を求めよ 2.　1<α<2のときのlim Xnの値を求めよという問題を十進BASICで解けというのですか、本当にできるのですか？できたら解き方も教えてください。お願いします。

Re: 教えてください
白石　和夫 2007/01/02 16:26:50
（１）～（３）は，解決のすべてをプログラムに委ねるのではなくて，何を計算すべきかは人間が考えて，その計算のみをBASICで行うことを意図した問題だと思います。 (4）は，頭で考えるだけで結論が得られます。もし収束すれば，その極限は，xに関する2次方程式x=ax(1-x)の解です。収束する様子を調べるのに，計算を利用することを意図したものでしょう。A（α？）とx0を入力すると，100項目までを順に出力するようなプログラムを作って試行錯誤してみてください。十進BASICのサンプルプログラムに類似の問題が含まれていますが，それらは，Aの値が2より大きい場合（この場合がむずかしい）が対象です。

Re: （１）～（３）は，解決のすべてをプログラ...
白石　和夫 2007/01/02 16:37:47
プログラム作成でいまくいかないところが出てきたら，プログラムを貼り付けて聞いてください。

Re: （１）～（３）は，解決のすべてをプログラ...
白石　和夫 2007/01/02 16:56:32
「1から50までのすべての整数をかけあわせると、末尾に0が？個並びます」という問題は，普通にコンピュータで計算すると，正しい答えがでない問題です。（十進BASICだと，有理数モードで正解が得られる）

Re: 「1から50までのすべての整数をかけあわせる...
門倉 2007/01/02 22:33:11
お答えありがとうございます。考えてみましたが、できませんでした。参考に正解例を教えてくれませんか。お願いします。

Re: お答えありがとうございます。
白石　和夫 2007/01/03 07:36:16
十進1000桁モードか有理数モードで 10 PRINT 12345678910111213141516171819202122232425262728293031323334353637383940414243444546474849*50 20 END を実行すると， 30414093201713378043612608166064768844377641568960512000000000000 になります。あとは人力で0の個数を数えれば，「1から50までのすべての整数をかけあわせると、末尾に0が？個並びます」という問題の答えが12だと分かります。コンピュータを試行錯誤の道具として使ってもよいので，その理由を考えてみようというのが，出題意図だと思います。

Re: お答えありがとうございます。
SECOND 2007/01/03 14:31:10
（2）の問題、 n人の集団の中に、同じ月日に生まれた人のいる確率をPnとする。ただし、2月29日生まれの人はいないものとする。　P５を計算せよ　また、P２０を計算する方法を考え、実行せよ。１人目は、相手なしで、０２人目は、１/365　（2月29日生まれは無いので、1/366 は考えなくてよい）３人目は、２/365　（当たりが２つある）４人目は、３/365　（当たりが３つ・・）５人目は、４/365　（当たりが４つ・・） P５= 上を全部加算して、10/365　=１/36.5　 Pn へ拡張して、 Pn = Σk=1~n　(k-1)/365 = 0 + 1/365 + 2/365 + ... + (n-1)/365 =　(n-1)n/2 /365 = (n-1)n/730 P２０= 19*20/730 = 38/73 ※小生も、実は自信が無い、だれか採点してくれ (^^;)

Re: （2）の問題、
山中和義 2007/01/03 16:16:09
「（少なくとも２人が）同じ」のは、「すべての人が異なる」の余事象だと思います。２人の場合、異なる確率は364/365、求める確率は1-364/365。３人の場合、異なる確率は(364/365)(363/365)、求める確率は1-(364/365)(363/365)。４人の場合、異なる確率は(364/365)(363/365)(362/365)、求める確率は1-(364/365)(363/365)(362/365)。ｎ人の場合、異なる確率は(364/365)(363/365)(362/365)*　…　((365-n+1)/365)、求める確率は1-(364/365)(363/365)(362/365)　…　*((365-n+1)/365)。同じことに着目すれば、以下のようになると思います。 n=1の場合、確率P0は0。 n=2の場合１月１日で２人が同じとすると、１人目がこの日付の確率　1/365 ２人目がこの日付の確率　1/365 したがって、２人がこの日付の確率　1/365×1/365 日付は１月１日から１２月３１日まであるから 365×1/365×1/365＝1/365＝P2 n=3の場合１月１日で２人が同じとすると、１人目がこの日付の確率　1/365 ２人目がこの日付の確率　1/365 ３人目がこの日付以外の確率　364/365 ３人の中の２人の組み合わせは3Ｃ2=3 3Ｃ2×(1/365)^2×364/365 １月１日で３人が同じとすると 1/365×1/365×1/365 日付は１月１日から１２月３１日まであるから 365×(　3Ｃ2×(1/365)^2×364/365　＋　1/365×1/365×1/365　）＝P3

Re: 「（少なくとも２人が）同じ」のは、「すべ...
SECOND 2007/01/03 17:28:03
ありがとうございます。「（少なくとも２人が）同じ」のは、「すべての人が異なる」の余事象。これは、すっきりします。納得です。同じ船に乗ります。 Pn=１－365Ｃn/365^n　・・こうしては、ダメかな？

Re: ありがとうございます。
SECOND 2007/01/03 17:46:56
やっぱり、ダメだ。Ｐ２がおかしい。

Re: ありがとうございます。
SECOND 2007/01/03 18:09:32
こう書けば、どうか？ Pn=１－365Ｐn/365^n　・・右のＰは、順列のＰ

Re: こう書けば、どうか？
SECOND 2007/01/03 22:37:50
!数値で確かめる。 !P 1 = ?/365 0 !P 2 = ?/365 1.00000000000000000000000... !P 3 = ?/365 2.99452054794520547945205...　3.0000..でないのは、相手２人が同日に重なる場合を含むから。 !P 4 = ?/365 5.96990805029086132482642...　6.0000..でないのも、相手２~３人が・・ !P 5 = ?/365 9.90448440042466010482832...　10.0000..でないのも、相手２~４人が・・ !P 6 = ?/365 14.76880653192569215818683... !P 7 = ?/365 20.52603163003102324599746... !P 8 = ?/365 27.13238170835919540292354... !P 9 = ?/365 34.53769936954584317491425... !P 10 = ?/365 42.68608486454334293224514... !P 11 = ?/365 51.51660308743256641355349... !P 12 = ?/365 60.96404792589350276821352... !P 13 = ?/365 70.95975045983673007446403... !P 14 = ?/365 81.43241688181514790742833... !P 15 = ?/365 92.30898171374552579591053... !P 16 = ?/365 103.51546191729023021525667... !P 17 = ?/365 114.97779783324463108253309... !P 18 = ?/365 126.62266752320310031978498... !P 19 = ?/365 138.37826200151089263278188... !P 20 = ?/365 150.17501000691169548203433... OPTION ARITHMETIC DECIMAL_HIGH !10進1000桁 FOR n=1 TO 20 PRINT "P";n;"= ?/365 "; (1-順列365(n)/365^n) 365 NEXT N !---- ! n=365Ｐr　順列 Permutation !---- FUNCTION 順列365(r) LET w=365 FOR i=364 TO 366-r STEP -1 LET w=wi NEXT i LET 順列365=w END FUNCTION END

Re: こう書けば、どうか？
SECOND 2007/01/06 19:13:02
!（2）の問題。での順列関数は、十進BASICに内蔵されていた！ ! 順列 PERM(n,r) と組合せ COMB(n,r)　両方ある。 OPTION ARITHMETIC DECIMAL_HIGH !10進1000桁 FOR n=1 TO 20 PRINT "P";n;"= ?/365　"; (1-PERM(365,n)/365^n) *365 NEXT N END !P 1 = ?/365　0 !P 2 = ?/365　1.00000000000000000000000... !P 3 = ?/365　2.99452054794520547945205...　3.0000..でないのは、相手２人が同日に重なる場合を含むから。 !P 4 = ?/365　5.96990805029086132482642...　6.0000..でないのも、相手２~３人が・・ !P 5 = ?/365　9.90448440042466010482832...　10.0000..でないのも、相手２~４人が・・ !P 6 = ?/365　14.76880653192569215818683... !P 7 = ?/365　20.52603163003102324599746... !P 8 = ?/365　27.13238170835919540292354... !P 9 = ?/365　34.53769936954584317491425... !P 10 = ?/365　42.68608486454334293224514... !P 11 = ?/365　51.51660308743256641355349... !P 12 = ?/365　60.96404792589350276821352... !P 13 = ?/365　70.95975045983673007446403... !P 14 = ?/365　81.43241688181514790742833... !P 15 = ?/365　92.30898171374552579591053... !P 16 = ?/365　103.51546191729023021525667... !P 17 = ?/365　114.97779783324463108253309... !P 18 = ?/365　126.62266752320310031978498... !P 19 = ?/365　138.37826200151089263278188... !P 20 = ?/365　150.17501000691169548203433...

Re: お答えありがとうございます。
SECOND 2007/01/04 06:30:54
!（4）の問題、この式には不思議が、いっぱい。 !数列{Xn}が次の漸化式で定義されている。 !　　　　　　　　0=<X0=<1 !　　　　　　　　Xn+1＝AXn(1-Xn) !1.　0<A<1のときのlim Xnの値を求めよ　（αは、A の誤字として？無断で替えた） !2.　1<A<2のときのlim Xnの値を求めよ !　n が大きくなって、 !　Xn が収束するという事は、Xn+1 =Xn になって区別がつかなくなる事ですから、 !　X=AX(1-X) の根 X が、=Xn =Xn+1 =lim Xn という事になります。 !　式を整理すると、0= X(1 -1/A -X) 、　２根　X=0, 1-1/A !　0<A<1のとき、 !　0=<X0=<1 で、0=< AX(1-X) <0.25 、X1 は同じ 0~1 間に戻るため、 !　0=<X0=<1 から出発する限り、lim Xn=1-1/A (-∞~-0) の不動点は訪れない。 !　lim Xn =0 のみ。 !　1<A<2のとき、 !　0=<X0=<1 で、0=< AX(1-X) <0.5 、X1 は同じ 0~1 間に戻るため、 !　lim Xn =0　、lim Xn =1-1/A (0< ~<0.5)　両方とも条件に合う。 !＊＊　エピソード　＊＊ !この式は A がもっと大きくなると、不思議なことが起ります。 !1<A<3 までは、同じようにしていますが・・このグラフを見て下さい。 !sample\CHAOS3.BAS のスケールを少しいじったものです。 DEF f(x)=Ax(1-x) SET POINT STYLE 1 SET WINDOW -0.2, 4.2, -0.2, 1.2 SET axis COLOR(11) DRAW grid(0.5,0.5) PLOT TEXT,AT 0, 0.7:"(lim Xn)" PLOT TEXT,AT 2.6, 0.01:"(A)" ASK PIXEL SIZE(0,0; 4,1) p,q FOR A=0 TO 4 STEP 4/(p-1) LET x=0.5 !　真中あたりから出発。(0=<X0=<1) FOR n=1 TO 300 LET x=f(x) !　ある程度収束させてから、(...Xn) NEXT n FOR n=n TO n+q LET x=f(x) !　暴れ具合いを見る。(lim Xn) PLOT POINTS:A,x NEXT n NEXT A END !隣接する Xn, Xn+1 の関係は、２次の関数に固定され、 !範囲も0~1に制限されていながら、収束もせず、周期も無くなって !２度と同じ Xn には、訪れないという、カオス(chaos)状態になる。

Re: お答えありがとうございます。
SECOND 2007/01/06 02:49:42
!（1）の問題、20については、意外な結果が。 !整数を1個または2個以上の整数の和に分けて、得られた整数の積を最大に知ることを考えます。 !　たとえば、10について10＝1+9とすると積は9です。10＝2＋3＋5とすると積は30です。 !　10について最大の積はいくつになるでしょうか ! !　20について最大の積はいくつになるでしょうか !---- !20については、1024= 4 4 4 4 4 ではなく、1458= 3 3 3 3 3 3 2 であった。 !分割の種類は 627 もある。 !再帰コールで読みにくいのを、我慢して下さい。無限な処理を可能にする方法 !です、時間をかけて慣れて下さい。しらみつぶしを、行っています。 OPTION BASE 0 DIM pat(22),mx(22) LET pat(0)=999 !　pat(1)~pat(20):各整数 LET pat(21)=0 !　pat(21):各整数の最後の配列添字(分割数)　pat(22):積 CALL divi( 10, pat, mx) !　整数 10, 20 などを第１引数に。 PRINT "----- 積が最大になる分割 -----" CALL prin( mx) END !---- 全ての分割数とスタイルのスキャン EXTERNAL SUB divi( k, p(),m()) IF 0<k THEN FOR w=0 TO k-1 IF p( p(21))>=k-w THEN LET p(21)=p(21)+1 LET p( p(21))=k-w CALL divi( w, p, m) !　再帰CALL END IF NEXT w ELSE CALL lmax( p, m) CALL prin( p) END IF LET p(21)=p(21)-1 END SUB !---- 積の計算。最大を保存。 EXTERNAL SUB lmax( p(),m()) LET p(22)=1 FOR w=1 TO p(21) LET p(22)=p(22)*p(w) NEXT w IF m(22)<p(22) THEN MAT m=p END SUB !---- 表示 EXTERNAL SUB prin( p()) PRINT USING"####= ":p(22); FOR w=1 TO p(21) PRINT p(w); NEXT w PRINT END SUB

Re: !（1）の問題、20については、意外な結果が...
白石　和夫 2007/01/06 08:23:18
分割単位を整数に限定しないで，任意の実数でよいことにしたら，どうなりますか？

Re: 分割単位を整数に限定しないで，任意の実数...
荒田浩二 2007/01/06 10:20:50
整数に限定すれば、正解は「1を含まずに、3の個数が最大になるように分割する」だと思います。分割した数の積も、元の数nが3の倍数かどうかで次のように決まります。 n=3k のとき 3^k n=3k+1 のとき 2^23^(k-1) n=3k+2 のとき 23^k さて、分割を実数にまで拡げると、どうも3ではなくe=2.71828のようです。 LET e=EXP(1) FOR n=4 TO 100 FOR i=1 TO n LET k=n/i LET p=k^i IF p>maxp THEN LET maxp=p LET maxi=i END IF NEXT i PRINT USING "### ### ##.###### ###################":n,maxi,n/maxi,maxp LET d=0 IF MOD(n,e)<1 THEN LET d=1 LET s=e^INT(n/e-d)(MOD(n,e)+d*e) IF s>maxp THEN PRINT "error !!" NEXT n END n=6000で、分割した値は2.71862でした。

Re: 分割単位を整数に限定しないで，任意の実数...
SECOND 2007/01/06 14:17:56
!個数も、実数ですか？ 10を、3.68個の 2.71739130434783 に分ける、など。

Re: お答えありがとうございます。
SECOND 2007/01/06 19:01:39
!（3）の問題 !1から50までの整数の中から異なるいくつかを選んで、かけあわせて !一の位が0にならないようにします。選ぶことができる整数は、最も多くて？個です。 !また、1から50までのすべての整数をかけあわせると、末尾に0が？個並びます。 !----- !　10 の倍数にならないためには、 !　10の素数 2, 5，の何れか１つを統一して、素数に持たない数で積をとる。 OPTION ARITHMETIC DECIMAL_HIGH !10進1000桁 !----素数５を持たない数の、個数と積 LET m5=1 LET n5=0 FOR w=1 TO 50 IF 0<MOD(w,5) THEN LET n5=n5+1 LET m5=m5w PRINT w; END IF NEXT w PRINT PRINT n5;"個の積";"=";m5 !----素数２を持たない数の、個数と積 LET m2=1 LET n2=0 FOR w=1 TO 50 IF 0<MOD(w,2) THEN LET n2=n2+1 LET m2=m2w PRINT w; END IF NEXT w PRINT PRINT n2;"個の積";"=";m2 PRINT "選ぶことができる最大の個数＝";MAX(n5,n2) PRINT !---- !　1~50 の積、末尾の 0 の個数は、 !　10の素数 2, 5，のセットの個数、1~50 の素数２と５の各全数の内、少ない方の個数。 LET n2=0 FOR w=1 TO 50 LET p=w DO WHILE MOD(p,2)=0 LET p=p/2 LET n2=n2+1 LOOP NEXT w PRINT "素数２の全数＝";n2 !---- LET n5=0 FOR w=1 TO 50 LET p=w DO WHILE MOD(p,5)=0 LET p=p/5 LET n5=n5+1 LOOP NEXT w PRINT "素数５の全数＝";n5 PRINT "素数２と５のセットの数（末尾の 0 の個数）＝";MIN(n2,n5) END

Re: 教えてください
山中和義 2007/01/03 08:48:45
問題１への試行この問題を「１０個の石をいくつかの山に分けて、各山の石の個数を掛け合わせる。」と考えて、「石を取る」方法がいくつあるかすべて列挙します。冗長ですが、プログラムでの処理手順が見えてきます。 !樹形図（枝別れする図）を書いて考える LET A=10 !10=10　※１山の場合 PRINT A,A !10=1+(9)、2+(8)、…　※２山 FOR i=1 TO A-1 !いくつ取れるか？　※１つは残しておく PRINT i;"+";A-i,i(A-i) NEXT i !10=1+1+(8)、1+2+(7)、…　※３山 FOR i=1 TO A-2 !２つは残しておく FOR j=1 TO (A-i)-1 !i個取った残りからいくつ取れるか？　※１つは残しておく PRINT i;"+";j;"+";A-(i+j),ij(A-(i+j)) NEXT j NEXT i !10=1+1+1+(7)、1+1+2+(6)、…　※４山 FOR i=1 TO A-3 !いくつ取れるか？　※３つは残しておく FOR j=1 TO (A-i)-2 !i個取った残りからいくつ取れるか？　※２つは残しておく FOR k=1 TO (A-(i+j))-1 !i+j個取った残りからいくつ取れるか？　※１つは残しておく PRINT i;"+";j;"+";k;"+";A-(i+j+k),ijk(A-(i+j+k)) NEXT k NEXT j NEXT i !10=1+1+1+1+(6)、1+1+1+2+(5)、…　※５山 FOR i=1 TO A-4 !いくつ取れるか？　※４つは残しておく FOR j=1 TO (A-i)-3 !i個取った残りからいくつ取れるか？　※３つは残しておく FOR k=1 TO (A-(i+j))-2 !i+j個取った残りからいくつ取れるか？　※２つは残しておく FOR l=1 TO (A-(i+j+k))-1 !i+j+k個取った残りからいくつ取れるか？　※１つは残しておく PRINT i;"+";j;"+";k;"+";l;"+";A-(i+j+k+l),ijkl(A-(i+j+k+l)) NEXT l NEXT k NEXT j NEXT i !10=1+1+1+1+1+(5)、1+1+1+1+2+(4)、…　※６山 ! 省略 !10=1+1+1+1+1+1+1+1+(2)、1+1+1+1+1+1+1+2+(1)　※９山 !10=1+1+1+1+1+1+1+1+1+(1)　※１０山 END

Re: 問題１への試行
山中和義 2007/01/05 22:30:30
プログラムを変形してみよう。 LET A=10 !石の数 !10=1+1+1+(7)、1+1+2+(6)、…　※４山 FOR i=1 TO A-3 !いくつ取れるか？　※３つは残しておく FOR j=1 TO (A-i)-2 !i個取った残りからいくつ取れるか？　※２つは残しておく FOR k=1 TO (A-(i+j))-1 !i+j個取った残りからいくつ取れるか？　※１つは残しておく PRINT i;"+";j;"+";k;"+";A-(i+j+k),ijk(A-(i+j+k)) NEXT k NEXT j NEXT i END う～ん、う～、こんな感じになる。 LET A=10 !石の数 LET c=4 !山の数 !10=1+1+1+(7)、1+1+2+(6)、… LET wa=0 LET seki=1 FOR i=1 TO A-(c-1) !いくつ取れるか？　※予定の山の数は残しておく PRINT i;"+"; !i個取ってこの山をつくる LET wa=(0)+i !i個取って残りの山をつくる LET seki=(1)i FOR j=1 TO (A-i)-((c-1)-1) !いくつ取れるか？　※予定の山の数は残しておく PRINT TAB(6);j;"+"; !j個取ってこの山をつくる LET wa=(i)+j !(i)+j個取る LET seki=(i)j FOR k=1 TO ((A-i)-j)-(((c-1)-1)-1) !いくつ取れるか？　※予定の山の数は残しておく PRINT TAB(12);k;"+"; !k個取ってこの山をつくる LET wa=(i+j)+k !(i+j)+k個取って残りの山をつくる LET seki=(ij)k PRINT TAB(18);A-wa, seki(A-wa) !最後の山をつくる NEXT k NEXT j NEXT i END 再帰呼び出しの手法が使えそうだ。

Re: プログラムを変形してみよう。
山中和義 2007/01/06 15:26:50
再帰呼び出しで簡潔だが、場合の数は多いので計算時間が長くなる。 LET A=10 !石の数 FOR c=1 TO A !山の数 CALL div(c,A,1,0) PRINT NEXT c END EXTERNAL SUB div(c,A,seki,i) !山をつくる IF c=1 THEN PRINT TAB(6i);A;" 積=";sekiA !最後の山をつくる ELSE FOR p=1 TO A-(c-1) !いくつ取れるか？　※予定の山の数は残しておく PRINT TAB(6i);p;"+"; !p個取ってこの山をつくる IF c>1 THEN CALL div(c-1,A-p,sekip,i+1) !残りの山をつくる NEXT p END IF END SUB Ａを１から順に実行してみると１０の場合、順列で考えると2^(10-1)=512通りと推測できる。２０の場合、2^(20-1)通り？画面出力は限界か！　ファイル出力を検討しよう。

Re: 再帰呼び出しで簡潔だが、場合の数は多いの...
山中和義 2007/01/06 20:13:54
SECONDさんと同じ手法で、、、「長さAのひもをはさみで切っていく」をイメージしてプログラムしてみました。 p(21)がi、p(22)がsekiに対応するかと思います。また、再帰呼び出しに付き物のスタックを使って、式を表示しています。 DECLARE EXTERNAL SUB a.div LET A=10 !ひもの長さ CALL div(A,1,0) !左手でひもの片方を持つ END MODULE a SHARE NUMERIC cnt !出力回数 LET cnt=0 SHARE NUMERIC stk(0 TO 100) !順に切り落としたひもの長さ !変数iはスタックポインタおよび数式を表示するTAB位置 PUBLIC SUB div EXTERNAL SUB div(A,seki,i) !全長Aを長さpとA-pに２分割する LET cnt=cnt+1 PRINT USING "#######:":cnt; PRINT TAB(10);"積";sekiA; FOR s=0 TO i-1 !切り落としたひもの長さを順に表示する PRINT TAB(6s+20);stk(s);"+"; NEXT s PRINT TAB(6i+20);A !左手に持ったひもの長さを表示する IF A>1 THEN !右手にはさみを持って、切る位置を考える FOR p=1 TO A-1 !全部　※順列 !!FOR p=1 TO INT(A/2) !半分まで　※組み合わせ。切った結果は重複あり LET stk(i)=p !切り落としたひもの長さp CALL div(A-p,sekip,i+1) !左手に残ったひもを順に切っていく NEXT p END IF END SUB END MODULE

Re: SECONDさんと同じ手法で、、、
SECOND 2007/01/07 02:14:59
!これも、走らせてみて下さい。 !上書きしてすみません・・ OPTION BASE 0 DIM x(20) !LET x(0)=0 LET A=10 !石の数 FOR c=1 TO A !山の数 CALL div(c, A, 1, 1, x) !PRINT NEXT c END EXTERNAL SUB div(c, A, seki, i, x()) !山をつくる IF c=1 AND x(i-1)=<A THEN FOR w=1 TO i-1 PRINT x(w);"+"; NEXT w PRINT A;" 積=";sekiA !最後の山をつくる ELSE FOR p=1 TO A-(c-1) !いくつ取れるか？　※予定の山の数は残しておく LET x(i)=p !p個取ってこの山をつくる IF c>1 AND x(i-1)=<x(i) THEN CALL div(c-1, A-p, sekip, i+1, x) !残りの山をつくる NEXT p END IF END SUB

Re: 問題１への試行
山中和義 2007/01/07 10:42:40
数学的アプローチ　相加・相乗平均、ラグランジュの未定乗数法 ●相加・相乗平均荒田浩二さんがすでに提示されたプログラムですが、 !相加・相乗平均 !　　　　　　　　　　　n !n√(x1x2…xn)　<=　(Σxi)/n !　　　　　　　　　　　i=1 LET A=10 !拘束条件　x1+x2+…+xn=10 DIM x(A) FOR i=1 TO A PRINT i;"分割",(A/i)^i !Σxi=A NEXT i END これにより、４分割が最大になる。２０の場合はA=20として、７分割か？ ●ラグランジュの未定乗数法拘束条件　ｇ=x1+x2+…+xn-10　の下、ｆ=x1x2…xnの最大値を求める。２変数の場合、ｇ=a+b-10、ｆ=ab 未定乗数λとして、ｆ-λｇ=0を解く。ｆ-λ*ｇ=0をaでの微分は、∂/∂a=b-λ=0。 bでの微分∂/∂b=a-λ=0。λでの微分∂/∂λ=-(a+b-10)=0。 λでまとめて連立方程式を解くと、a=5、b=5となる。数学的なプログラミング（アルゴリズム、実行時間など）をすれば、検証する「場合の数」が減ります。

Re: 教えてください
山中和義 2007/01/03 11:16:17
問題２への試行順列、組み合わせを計算できる関数電卓を準備する。 FUNCTION 階乗(n) !n!　※関数FACT(n)でもよい LET k=1 FOR i=n TO 1 STEP -1 LET k=k*i NEXT i LET 階乗=k END FUNCTION DEF 順列(n,r)=階乗(n)/階乗(n-r) !nPr=n!/(n-r)! DEF 組み合せ(n,r)=順列(n,r)/階乗(r) !nCr=nPr/r!=n!/((n-r)!r!) DEF 重複順列(n,r)=n^r !nΠr=n^r DEF 重複組み合わせ(n,r)=組み合せ(n+r-1,r) !nＨr=n+r-1Cr DEF 円順列(n)=階乗(n-1) !(n-1)! DEF 数珠順列(n)=階乗(n-1)/2 !(n-1)!/2 PRINT 階乗(4) PRINT 順列(5,3) PRINT 組み合せ(4,2) PRINT 重複順列(3,2) PRINT 重複組み合わせ(4,5) PRINT 円順列(4) PRINT 数珠順列(4) END

Re: 問題２への試行
山中和義 2007/01/06 22:39:17
すべてを列挙して求める式を予測する。でも、場合の数が多いと計算時間がかかるので少ないもので検証しよう。たとえば、さいころで考える。 DECLARE EXTERNAL SUB a.dice DECLARE EXTERNAL FUNCTION a.NumOfAll, a.NumOfSame LET A=3 !３個のさいころ CALL dice(A,0) PRINT PRINT NumOfAll;"通りの中、一致回数は";NumOfSame;"です。　求める確率:";NumOfSame/(6^A) END MODULE a SHARE NUMERIC SAME !一致回数 LET SAME=0 PUBLIC FUNCTION NumOfSame EXTERNAL FUNCTION NumOfSame LET NumOfSame=SAME END FUNCTION SHARE NUMERIC cnt !場合の数 LET cnt=0 PUBLIC FUNCTION NumOfAll EXTERNAL FUNCTION NumOfAll LET NumOfAll=cnt END FUNCTION SHARE NUMERIC stk(0 TO 100) !順に振ったさいころの目 !変数iはスタックポインタおよび数式を表示するTAB位置 PUBLIC SUB dice EXTERNAL SUB dice(A,i) !さいころを振る IF A<=0 THEN EXIT SUB FOR p=1 TO 6 !すべての目　<------------- LET stk(i)=p !出た目を記録する IF A=1 THEN !最後なら LET cnt=cnt+1 PRINT USING "#######:":cnt; FOR s=0 TO i !順に表示する PRINT TAB(5s+10);stk(s); NEXT s FOR s=0 TO i-1 !当り判定 FOR t=s+1 TO i IF stk(s)=stk(t) THEN PRINT TAB(5i+15);"一致"; LET SAME=SAME+1 GOTO 100 END IF NEXT t NEXT s 100 PRINT ELSE !A>1のとき CALL dice(A-1,i+1) !順に END IF NEXT p END SUB END MODULE

Re: 教えてください
山中和義 2007/01/03 13:33:27
問題３への試行１から５０までの整数は、１から５０までの素数　２，３，５，７，１１，１３，１７，１９，２３，２９，３１，３７，４１，４３，４７のべき乗の積で表される。（素因数分解）　2^a * 3^b * 5^c * 7^d * 11^e * 13^f * 17^g * 19^h * 23^i * 29^j * 31^k * 37^l * 41^m * 43^n * 47^o したがって、１から５０までの積も同様である。次に、１０の倍数になるのは、１０＝２×５だから５の倍数に着目する。 5=2^0 * 3^0 * 5^1 * 7^0 10=2^1 * 3^0 * 5^1 * 7^0 15=2^0 * 3^1 * 5^1 * 7^0 20=2^2 * 3^0 * 5^1 * 7^0 25=2^0 * 3^0 * 5^2 * 7^0 30=2^1 * 3^1 * 5^1 * 7^0 35=2^0 * 3^0 * 5^1 * 7^1 40=2^3 * 3^0 * 5^1 * 7^0 45=2^0 * 3^3 * 5^1 * 7^0 50=2^1 * 3^0 * 5^2 * 7^0 これは、最初から２（2^a）と５（5^c）を含む数（10,20,30,40,50）と２（2^a）と掛け合わせて１０の倍数になる数（5,15,25,35,45）を意味する。 !十進1000桁モードか有理数モードで実行する LET n=1 FOR i=2 TO 50 IF MOD(i,5)<>0 THEN !5,10,15,20,25,30,35,40,45,50を除く LET n=n*i END IF NEXT i PRINT n END

Re: 教えてください
荒田浩二 2007/01/03 19:01:34
ヒント (1)　20を2分割する場合、積は1010が最大になります。911や812よりも大きくなります。 2数の差が最小になるときです。周の長さが一定の長方形では、正方形の面積が最大になるのと同じです。　20を3分割する場合、677が最大になります。 3数相互の差が最小になるときです。周の長さが一定の直方体では、立方体の体積が最大になるのと同じです。　n分割のときも同様に考えます。　何分割した場合に積の最大値を得られるでしょうか? (2)　やはり、同一誕生日がいない場合の確率から考えていきましょう。 P1=0 P2=1/365 3人目は、二人とも違っていてさらに3人目も違う場合を考えます。 P3=1-(1-1/365)363/365 4人目も同様。 P4=1-(1-P3)(365-3)/365 　このようにして、前項から計算していけると思います。 (3)　この問題は2通りのアプローチがあると思います。　ひとつは中学生にも理解できる解き方です。 10=25 に気がつけば解決できます。要は、偶数に５をかければ末位は必ず０になるということですね。５の倍数はいくつあるでしょうか？約数５はいくつ含まれているでしょうか？　もうひとつの解き方は、実際に１からかけていく方法です。ただし、階乗は爆発的に数値が大きくなるので計算には工夫が必要です。この問題では末尾だけに注目しているので、末尾数桁を計算すればすみます。また、末位に０が現われたら10で割っていけば効率よく計算できます。(10で割った回数をカウントしておくこと)。 (4）配列X(n)を使い、αやX(0)の値を次々に変えていきX(n)の収束値を計算していくしかないでしょうね。　収束の様子を観察するにはグラフィックを利用する手もあります。実は、４題ともプログラムを作ってみました。ただ、おそらく学生さんの課題だと思うのでぜひ自力でプログラムを作っていただきたいので私のプログラムは１週間後に公開します。

Re: 教えてください
山中和義 2007/01/05 15:08:52
問題４への試行Ｘ軸にXn、Ｙ軸にXn+1のグラフを書いて考える。 ●作図方法まず、x0を決める。Ｘ軸上の点で範囲は0～1。（１）垂直方向（上方向か下方向）に線を引く　点(x0,0)からまっすぐ上に向かって線を引く。　曲線y=Ax(1-x)（漸化式と等価）との交点（x=x0として求めた値y）がx1である。　解釈　・漸化式の右辺XnからXn+1を求める。（２）水平方向（左方向か右方向）に線を引く　次にx2は、先に求めたx1を使うが、x0同様Ｘ軸上に求めるにはどうするか？　まっすぐに右に向かって線を引く。　直線y=xとの交点（直線y=xにy=x1を代入）からＸ軸に線を垂らす（x1=xすなわちx=x1）。　この点がx1（x0と同様、Ｘ軸を基準）である。　解釈　・漸化式の左辺Xn+1を次のXn（右辺側）とする。（３）垂直方向（上方向か下方向）に線を引く　（１）同様、点(x1,0)からまっすぐ上に向かって線を引く。曲線y=Ax(1-x)との交点がx2である。　以下、階段状に（水平・垂直の）線を引くことでXnを順に求めていくことができる。 ●収束する場合の値 Xn=Xn+1となることを意味するから、直線y=x上の点となる。これは直線y=xのもう１つの役割である。じゃあ、どこになるか？ y=Ax(1-x)との２つの交点、原点と点(1-1/A,1-1/A)である。言い換えると、・連立方程式y=x、y=Ax(1-x)の解くすなわち、・特性方程式x=Ax(1-x)の解となる。参考　sample\chaos1.bas !ロジスティック写像 FUNCTION Logistic(x,A) LET Logistic=Ax(1-x) !漸化式 Xn+1=AXn(1-Xn) END FUNCTION LET A=2.9 !(0,4] LET n=50 !第n項まで SET WINDOW -0.1,1.1,-0.1,1.1 !座標を設定する DRAW grid(0.1,0.1) !座標を描く SET LINE COLOR 3 PLOT LINES: 0,0; 1,1 !y=xのグラフ SET LINE COLOR 2 FOR x=0 TO 1 STEP 0.05 !y=Ax(1-x)のグラフ PLOT LINES: x,Logistic(x,A); NEXT x PLOT LINES SET LINE COLOR 1 !元に戻す PLOT TEXT ,AT 0,1: "Xn+1" !軸 PLOT TEXT ,AT 1,0: "Xn" LET x1=0.1 !第１項　(0,1) LET x=x1 DRAW disk WITH SCALE(0.0075)SHIFT(x,0) !X0 PLOT TEXT ,AT x,0: "0" PLOT LINES: x,0; FOR k=1 TO n !Xn+1=F(Xn)のグラフ LET x1=Logistic(x,A) PLOT LINES: x,x1; !y=Ax(1-x)との交点　※垂直に線を引く DRAW disk WITH SCALE(0.0075)SHIFT(x,x1) !Xn+1 PLOT TEXT ,AT x,x1: STR$(k) PLOT LINES: x,x1; x1,x1; !y=xとの交点　※水平に線を引く LET x=x1 !Xn NEXT k SET AREA COLOR 4 !収束する場合の値を描く DRAW disk WITH SCALE(0.01)SHIFT((A-1)/A,(A-1)/A) !特性程式x=Ax(1-x)の解 (A-1)/A、0 DRAW disk WITH SCALE(0.01) !※「y=Ax*(1-x)とy=xの交点」と解釈できる END