再帰曲線の設計図

Ｃ曲線の場合

基線（原点から長さ1、向き0°の赤色線分）から

１本目：原点から長さ1/√2、向き45°の線分
２本目：点(1/2,1/2)から長さ1/√2、向き-45°の線分

の２本の黒色線分が生成されると定義される。特に「向き」が重要なため、矢印で表現する。

　DRAW d(1) !作図

で確認できる。（編集モード）

図形の再帰作図（連続してアフィン変換する）を使って、
生成された線分が新たに基線となって、次々と細分化される。（作図モード）

　DRAW d(6) !作図　※ｎ次

で確認できる。

基線作図部分
　SET LINE COLOR 4
　PLOT LINES: 0,0; 1,0; 0.8,0.1; 0.8,-0.1; 1,0 !ｎ次の基線　※原点から長さ1、向き0°の線分
を、コメントアウトして

生成する線分の作図部分
　ELSE
　　PLOT LINES: 0,0; 1,0
　END IF
を、「線分」にすれば求める再帰曲線のプログラムとなる。

ＧＵＩを使って、矢印を編集できるようにすれば簡単に作図できる。（今後の課題）

PICTURE d(n) !再帰曲線の定義
IF n>0 THEN
SET LINE COLOR 4
PLOT LINES: 0,0; 1,0; 0.8,0.1; 0.8,-0.1; 1,0 !ｎ次の基線　※原点から長さ1、向き0°の線分

!-----↓↓↓↓↓-----　生成する線分（アフィン変換）

!１本目：原点から長さ1/√2、向き45°の線分を引く
DRAW d(n-1) WITH SCALE(1/SQR(2))*ROTATE(PI/4)

!２本目：点(1/2,1/2)から長さ1/√2、向き-45°の線分を引く
DRAW d(n-1) WITH SCALE(1/SQR(2))*ROTATE(-PI/4)*SHIFT(1/2,1/2)

!３本目：・・・・　の線分を引く　※必要に応じて

!-----↑↑↑↑↑-----

ELSE
SET LINE COLOR 1
PLOT LINES: 0,0; 1,0; 0.8,0.1; 0.8,-0.1; 1,0 !矢印
!!!PLOT LINES: 0,0; 1,0
END IF
END PICTURE

SET WINDOW -0.5,1.5,-0.5,1.5 !表示領域

DRAW grid(0.2,0.2) !目盛り

DRAW d(1) !作図　※１は編集モード

END

サンプル

●ドラゴン曲線
!１本目：原点から長さ1/√2、向き45°の線分
DRAW d(n-1) WITH SCALE(1/SQR(2))*ROTATE(PI/4)
!２本目：点(1,0)から長さ1/√2、向き135°の線分
DRAW d(n-1) WITH SCALE(1/SQR(2))*ROTATE(3*PI/4)*SHIFT(1,0)

※Ｃ曲線と似ているが、２本目の向きが違う。

●コッホ曲線
!１本目：原点から長さ1/3、向き0°の線分を引く
DRAW d(n-1) WITH SCALE(1/3)
!２本目：点(1/3,0)から長さ1/3、向き60°の線分を引く
DRAW d(n-1) WITH SCALE(1/3)*ROTATE(PI/3)*SHIFT(1/3,0)
!３本目：点(1/2,SQR(3)/6)から長さ1/3、向き-60°の線分を引く
DRAW d(n-1) WITH SCALE(1/3)*ROTATE(-PI/3)*SHIFT(1/2,SQR(3)/6)
!４本目：点(2/3,0)から長さ1/3、向き0°の線分を引く
DRAW d(n-1) WITH SCALE(1/3)*SHIFT(2/3,0)

●樹木
!１本目：原点から長さ1/2、向き0°の線分を引く
DRAW d(n-1) WITH SCALE(1/2)
!２本目：点(1/2,0)から長さ1/2、向き45°の線分を引く
DRAW d(n-1) WITH SCALE(1/2)*ROTATE(PI/4)*SHIFT(1/2,0)
!３本目：点(3/4,0)から長さ1/2、向き-30°の線分を引く
DRAW d(n-1) WITH SCALE(1/2)*ROTATE(-PI/6)*SHIFT(3/4,0)

●クロスステッチ
!１本目：原点から長さ1/3、向き0°の線分を引く
DRAW d(n-1) WITH SCALE(1/3)
!２本目：点(1/3,0)から長さ1/3、向き90°の線分を引く
DRAW d(n-1) WITH SCALE(1/3)*ROTATE(PI/2)*SHIFT(1/3,0)
!３本目：点(1/3,1/3)から長さ1/3、向き0°の線分を引く
DRAW d(n-1) WITH SCALE(1/3)*SHIFT(1/3,1/3)
!４本目：点(2/3,1/3)から長さ1/3、向き-90°の線分を引く
DRAW d(n-1) WITH SCALE(1/3)*ROTATE(-PI/2)*SHIFT(2/3,1/3)
!５本目：点(2/3,0)から長さ1/3、向き0°の線分を引く
DRAW d(n-1) WITH SCALE(1/3)*SHIFT(2/3,0)

●シルピンスキー曲線
!１本目：点(1/4,SQR(3)/4)から長さ1/2、向き-120°の線分を引く
DRAW d(n-1) WITH SCALE(1/2)*ROTATE(-2*PI/3)*SHIFT(1/4,SQR(3)/4)
!２本目：点(1/4,SQR(3)/4)から長さ1/2、向き0°の線分を引く
DRAW d(n-1) WITH SCALE(1/2)*SHIFT(1/4,SQR(3)/4)
!３本目：点(1,0)から長さ1/2、向き120°の線分を引く
DRAW d(n-1) WITH SCALE(1/2)*ROTATE(2*PI/3)*SHIFT(1,0)

アフィン変換行列：シダの葉

!再帰曲線の設計図

DIM M(4,4) !アフィン変換行列

PICTURE d(n) !再帰曲線の定義
IF n>0 THEN
!SET LINE COLOR 4
!PLOT LINES: 0,0; 1,0; 0.8,0.1; 0.8,-0.1; 1,0 !ｎ次の基線　※原点から長さ1、向き0°の線分

!-----↓↓↓↓↓-----　生成する線分（アフィン変換）

CALL setM(0.85,0.04,-0.04,0.85,0,1.6, M)
DRAW d(n-1) WITH M
CALL setM(0.2,-0.26,0.23,0.22,0,1.6, M)
DRAW d(n-1) WITH M
CALL setM(-0.15,0.28,0.26,0.24,0,0.44, M)
DRAW d(n-1) WITH M
CALL setM(0,0,0,0.16,0,0, M)
DRAW d(n-1) WITH M

!-----↑↑↑↑↑-----

ELSE !０次の場合、基線を描く
!SET LINE COLOR 1
!PLOT LINES: 0,0; 1,0; 0.8,0.1; 0.8,-0.1; 1,0 !矢印
PLOT LINES: 0,0; 1,0 !線分
!!!SET POINT STYLE 1
!!!PLOT POINTS: 0,0
END IF
END PICTURE

!アフィン変換
!　x'=a*x+b*y+e
!　y'=c*x+d*y+f
!
!行列で表現すると
! [ x' y' 0 1 ]=[ x y 0 1 ]┌ a c 0 0 ┐
!　　　　　　　　　　　　　│ b d 0 0 │
!　　　　　　　　　　　　　│ 0 0 1 0 │
!　　　　　　　　　　　　　└ e f 0 1 ┘
SUB setM(a,b,c,d,e,f, M(,)) !アフィン変換行列の設定
MAT M=IDN
LET M(1,1)=a
LET M(1,2)=c
LET M(2,1)=b
LET M(2,2)=d
LET M(4,1)=e
LET M(4,2)=f
END SUB

SET WINDOW -5,5,-1,9 !表示領域

DRAW grid(0.5,0.5) !目盛り

DRAW d(9) !作図　※１は編集モード

END

線分を始点、終点で指定する場合

たとえばＣ曲線のなら

　１本目：原点から長さ1/√2、向き45°の線分
　２本目：点(1/2,1/2)から長さ1/√2、向き-45°の線分

としていたが、これを

　１本目：原点から点(1/2,1/2)への線分
　２本目：点(1/2,1/2)から点(1,0)への線分

として指定したい場合、次のように記述すればよい。

LET x0=0 !始点
LET y0=0
LET x1=1/2 !終点
LET y1=1/2
LET xx=x1-x0 !直交座標系を極座標系に変換する
LET yy=y1-y0
DRAW d(n-1) WITH SCALE(SQR(xx*xx+yy*yy))*ROTATE(ANGLE(xx,yy))*SHIFT(x0,y0)

LET x0=1/2 !始点
LET y0=1/2
LET x1=1 !終点
LET y1=0
LET xx=x1-x0 !直交座標系を極座標系に変換する
LET yy=y1-y0
DRAW d(n-1) WITH SCALE(SQR(xx*xx+yy*yy))*ROTATE(ANGLE(xx,yy))*SHIFT(x0,y0)

※速度を要求する場合、SACLE、ROTATEの値は予め計算しておく必要がある。

再帰曲線の設計図	返事を書くノートメニュー
山中和義 <drdlxujciw> 2007/08/20 14:20:45
Ｃ曲線の場合基線（原点から長さ1、向き0°の赤色線分）から１本目：原点から長さ1/√2、向き45°の線分２本目：点(1/2,1/2)から長さ1/√2、向き-45°の線分の２本の黒色線分が生成されると定義される。特に「向き」が重要なため、矢印で表現する。　DRAW d(1) !作図で確認できる。（編集モード）図形の再帰作図（連続してアフィン変換する）を使って、生成された線分が新たに基線となって、次々と細分化される。（作図モード）　DRAW d(6) !作図　※ｎ次で確認できる。基線作図部分　SET LINE COLOR 4 　PLOT LINES: 0,0; 1,0; 0.8,0.1; 0.8,-0.1; 1,0 !ｎ次の基線　※原点から長さ1、向き0°の線分を、コメントアウトして生成する線分の作図部分　ELSE 　　PLOT LINES: 0,0; 1,0 　END IF を、「線分」にすれば求める再帰曲線のプログラムとなる。ＧＵＩを使って、矢印を編集できるようにすれば簡単に作図できる。（今後の課題） PICTURE d(n) !再帰曲線の定義 IF n>0 THEN SET LINE COLOR 4 PLOT LINES: 0,0; 1,0; 0.8,0.1; 0.8,-0.1; 1,0 !ｎ次の基線　※原点から長さ1、向き0°の線分 !-----↓↓↓↓↓-----　生成する線分（アフィン変換） !１本目：原点から長さ1/√2、向き45°の線分を引く DRAW d(n-1) WITH SCALE(1/SQR(2))ROTATE(PI/4) !２本目：点(1/2,1/2)から長さ1/√2、向き-45°の線分を引く DRAW d(n-1) WITH SCALE(1/SQR(2))ROTATE(-PI/4)*SHIFT(1/2,1/2) !３本目：・・・・　の線分を引く　※必要に応じて !-----↑↑↑↑↑----- ELSE SET LINE COLOR 1 PLOT LINES: 0,0; 1,0; 0.8,0.1; 0.8,-0.1; 1,0 !矢印 !!!PLOT LINES: 0,0; 1,0 END IF END PICTURE SET WINDOW -0.5,1.5,-0.5,1.5 !表示領域 DRAW grid(0.2,0.2) !目盛り DRAW d(1) !作図　※１は編集モード END

Re: 再帰曲線の設計図	返事を書くノートメニュー
山中和義 <drdlxujciw> 2007/08/20 14:21:41 ** この記事は1回修正されてます
サンプル ●ドラゴン曲線 !１本目：原点から長さ1/√2、向き45°の線分 DRAW d(n-1) WITH SCALE(1/SQR(2))ROTATE(PI/4) !２本目：点(1,0)から長さ1/√2、向き135°の線分 DRAW d(n-1) WITH SCALE(1/SQR(2))ROTATE(3PI/4)SHIFT(1,0) ※Ｃ曲線と似ているが、２本目の向きが違う。 ●コッホ曲線 !１本目：原点から長さ1/3、向き0°の線分を引く DRAW d(n-1) WITH SCALE(1/3) !２本目：点(1/3,0)から長さ1/3、向き60°の線分を引く DRAW d(n-1) WITH SCALE(1/3)ROTATE(PI/3)SHIFT(1/3,0) !３本目：点(1/2,SQR(3)/6)から長さ1/3、向き-60°の線分を引く DRAW d(n-1) WITH SCALE(1/3)ROTATE(-PI/3)SHIFT(1/2,SQR(3)/6) !４本目：点(2/3,0)から長さ1/3、向き0°の線分を引く DRAW d(n-1) WITH SCALE(1/3)SHIFT(2/3,0) ●樹木 !１本目：原点から長さ1/2、向き0°の線分を引く DRAW d(n-1) WITH SCALE(1/2) !２本目：点(1/2,0)から長さ1/2、向き45°の線分を引く DRAW d(n-1) WITH SCALE(1/2)ROTATE(PI/4)SHIFT(1/2,0) !３本目：点(3/4,0)から長さ1/2、向き-30°の線分を引く DRAW d(n-1) WITH SCALE(1/2)ROTATE(-PI/6)SHIFT(3/4,0) ●クロスステッチ !１本目：原点から長さ1/3、向き0°の線分を引く DRAW d(n-1) WITH SCALE(1/3) !２本目：点(1/3,0)から長さ1/3、向き90°の線分を引く DRAW d(n-1) WITH SCALE(1/3)ROTATE(PI/2)SHIFT(1/3,0) !３本目：点(1/3,1/3)から長さ1/3、向き0°の線分を引く DRAW d(n-1) WITH SCALE(1/3)SHIFT(1/3,1/3) !４本目：点(2/3,1/3)から長さ1/3、向き-90°の線分を引く DRAW d(n-1) WITH SCALE(1/3)ROTATE(-PI/2)SHIFT(2/3,1/3) !５本目：点(2/3,0)から長さ1/3、向き0°の線分を引く DRAW d(n-1) WITH SCALE(1/3)SHIFT(2/3,0) ●シルピンスキー曲線 !１本目：点(1/4,SQR(3)/4)から長さ1/2、向き-120°の線分を引く DRAW d(n-1) WITH SCALE(1/2)ROTATE(-2PI/3)SHIFT(1/4,SQR(3)/4) !２本目：点(1/4,SQR(3)/4)から長さ1/2、向き0°の線分を引く DRAW d(n-1) WITH SCALE(1/2)SHIFT(1/4,SQR(3)/4) !３本目：点(1,0)から長さ1/2、向き120°の線分を引く DRAW d(n-1) WITH SCALE(1/2)ROTATE(2PI/3)SHIFT(1,0)

Re: サンプル	返事を書くノートメニュー
山中和義 <drdlxujciw> 2007/08/22 09:45:07
アフィン変換行列：シダの葉 !再帰曲線の設計図 DIM M(4,4) !アフィン変換行列 PICTURE d(n) !再帰曲線の定義 IF n>0 THEN !SET LINE COLOR 4 !PLOT LINES: 0,0; 1,0; 0.8,0.1; 0.8,-0.1; 1,0 !ｎ次の基線　※原点から長さ1、向き0°の線分 !-----↓↓↓↓↓-----　生成する線分（アフィン変換） CALL setM(0.85,0.04,-0.04,0.85,0,1.6, M) DRAW d(n-1) WITH M CALL setM(0.2,-0.26,0.23,0.22,0,1.6, M) DRAW d(n-1) WITH M CALL setM(-0.15,0.28,0.26,0.24,0,0.44, M) DRAW d(n-1) WITH M CALL setM(0,0,0,0.16,0,0, M) DRAW d(n-1) WITH M !-----↑↑↑↑↑----- ELSE !０次の場合、基線を描く !SET LINE COLOR 1 !PLOT LINES: 0,0; 1,0; 0.8,0.1; 0.8,-0.1; 1,0 !矢印 PLOT LINES: 0,0; 1,0 !線分 !!!SET POINT STYLE 1 !!!PLOT POINTS: 0,0 END IF END PICTURE !アフィン変換 !　x'=ax+by+e !　y'=cx+dy+f ! !行列で表現すると ! [ x' y' 0 1 ]=[ x y 0 1 ]┌ a c 0 0 ┐ !　　　　　　　　　　　　　│ b d 0 0 │ !　　　　　　　　　　　　　│ 0 0 1 0 │ !　　　　　　　　　　　　　└ e f 0 1 ┘ SUB setM(a,b,c,d,e,f, M(,)) !アフィン変換行列の設定 MAT M=IDN LET M(1,1)=a LET M(1,2)=c LET M(2,1)=b LET M(2,2)=d LET M(4,1)=e LET M(4,2)=f END SUB SET WINDOW -5,5,-1,9 !表示領域 DRAW grid(0.5,0.5) !目盛り DRAW d(9) !作図　※１は編集モード END

Re: アフィン変換行列：シダの葉	返事を書くノートメニュー
山中和義 <drdlxujciw> 2007/08/23 20:33:04
線分を始点、終点で指定する場合たとえばＣ曲線のなら　１本目：原点から長さ1/√2、向き45°の線分　２本目：点(1/2,1/2)から長さ1/√2、向き-45°の線分としていたが、これを　１本目：原点から点(1/2,1/2)への線分　２本目：点(1/2,1/2)から点(1,0)への線分として指定したい場合、次のように記述すればよい。 LET x0=0 !始点 LET y0=0 LET x1=1/2 !終点 LET y1=1/2 LET xx=x1-x0 !直交座標系を極座標系に変換する LET yy=y1-y0 DRAW d(n-1) WITH SCALE(SQR(xxxx+yyyy))ROTATE(ANGLE(xx,yy))SHIFT(x0,y0) LET x0=1/2 !始点 LET y0=1/2 LET x1=1 !終点 LET y1=0 LET xx=x1-x0 !直交座標系を極座標系に変換する LET yy=y1-y0 DRAW d(n-1) WITH SCALE(SQR(xxxx+yyyy))ROTATE(ANGLE(xx,yy))SHIFT(x0,y0) ※速度を要求する場合、SACLE、ROTATEの値は予め計算しておく必要がある。