変形指示mat文で書くフラクタル画像１１種類...

　　変形指示mat文で書くフラクタル画像１１種類 SECOND 2007/08/29 04:45:05  (修正3回)
　　├!続く SECOND 2007/08/29 04:46:56  (修正4回)
　　│├色分けの不具合を、訂正。 SECOND 2007/08/30 14:13:34  (修正2回)
　　│└修正２～３の内容 SECOND 2007/09/04 13:32:50  (修正1回)
　　│　├DEF文の変換式は元のでいいのでは？ 山中和義 2007/09/04 15:18:24 
　　│　│├いえ、元のは、Ｘだと思います。白石先生、... SECOND 2007/09/04 17:57:16  (修正2回)
　　│　│└貴兄の計算、MAT文は、新しい方、～conj(z-... SECOND 2007/09/04 20:33:05 
　　│　│　└私の理解が間違っていました。 山中和義 2007/09/05 09:31:42 
　　│　└!複素数形式を行列形式（変形指示mat文、行... 山中和義 2007/09/04 15:38:58  (修正1回)
　　│　　└この件を、実験的に示せる例題がありません... SECOND 2007/09/04 19:26:53  (修正1回)
　　├!複素関数で書くTragonとシルピンスキーのガ... SECOND 2007/08/30 22:38:43  (修正2回)
　　│└DEF文に大きな訂正が、あります。すみません... SECOND 2007/09/03 19:29:07 
　　├!T-squareとシルピンスキーのカーペット SECOND 2007/09/01 03:45:00 
　　└!トラゴンが踊る。 SECOND 2007/09/06 17:40:38

　　変形指示mat文で書くフラクタル画像１１種類 SECOND 2007/08/29 04:45:05  (修正3回) ツリーへ

変形指示mat文で書くフラクタル画像１１種類 返事を書くノートメニュー

SECOND <cszcthjjdj> 2007/08/29 04:45:05 ** この記事は3回修正されてます

!変形指示mat文で書くフラクタル画像１１種類

!-----
!f0(z)=　この枠に入っているのは、
!f1(z)=　該当している複素数形式の、
!f2(z)=　写像式です。
!-----
!Ｎの小さい写像も、段階的に表現するため、親集合に省略形の点(0,0)を使わず、
!本来の親集合(0,0)~(1,0)線分を、使います。

OPTION ARITHMETIC NATIVE
SET TEXT FONT "ＭＳ明朝",18
DIM f1(4,4), f2(4,4), f3(4,4)

LET D23=2 ! ２分岐フラグ
!-----
!f0(z)= (2+i)/4*z +i/4*conj(z)
!f1(z)= (2-i)/4*(z-1) -i/4*conj(z-1) +1
!-----
MAT f1=ROTATE(ATN(1/2))*SCALE(SQR(5)/4)
MAT f3=SCALE(1,-1)*ROTATE(PI/2)*SCALE(1/4)
MAT f1=f1+f3
LET f1(4,4)=1 ! システム予約（倍率逆数）まで加算するので、元へ戻す。
MAT f2=ROTATE(ATN(-1/2))*SCALE(SQR(5)/4)
MAT f3=SCALE(1,-1)*ROTATE(-PI/2)*SCALE(1/4)
MAT f2=f2+f3
LET f2(4,4)=1 ! ～元へ戻す。
MAT f2=SHIFT(-1,0)*f2*SHIFT(1,0)
CALL Afine("高木関数のグラフ", 14, 0.5, 0.3, 0.6)

!-----
!f0(z)= 0*z +(1-EXP(-PI/5*i))*conj(z)
!f1(z)= 0*(z-1) +(1-EXP( PI/5*i))*conj(z-1) +1
!-----
MAT f1=SCALE(1,-1)*ROTATE(PI*2/5)*SCALE(2*SIN(PI/10))
MAT f2=SHIFT(-1,0)*SCALE(1,-1)*ROTATE(-PI*2/5)*SCALE(2*SIN(PI/10))*SHIFT(1,0)
CALL Afine("クリヌキ正五角形", 15, 0.5, 0.25, 0.6)

!-----
!f0(z)= (1+i)/2*z +0*conj(z)
!f1(z)= 0*(z-1) -(1+i)/2*conj(z-1) +1
!-----
MAT f1=ROTATE(PI/4)*SCALE(1/SQR(2))
MAT f2=SHIFT(-1,0)*SCALE(1,-1)*ROTATE(PI+PI/4)*SCALE(1/SQR(2))*SHIFT(1,0)
CALL Afine("ブロッコリー", 16, 0.6, 0.5, 1.3)

LET D23=3 ! ３分岐フラグ
!-----
!f0(z)= EXP(i*PI/6)/SQR(3)*z +0*conj(z)
!f1(z)= EXP(i*PI/6)/SQR(3)*(z-2) +0*conj(z-2) +2
!f2(z)= EXP(i*PI/6)/SQR(3)*(z-1-i*sqr(3)) +0*conj(z-1-i*sqr(3)) +1+i*SQR(3)
!-----
MAT f1=ROTATE(PI/6)*SCALE(1/SQR(3))
MAT f2=SHIFT(-2,0)*ROTATE(PI/6)*SCALE(1/SQR(3))*SHIFT(2,0)
MAT f3=SHIFT(-1,-SQR(3))*ROTATE(PI/6)*SCALE(1/SQR(3))*SHIFT(1,SQR(3))
CALL Afine("トラゴン集合", 10, 1, 0.8, 2)

!-----
!f0(z)= 1/2*z +0*conj(z)
!f1(z)= 1/2*(z-2) +0*conj(z-2) +2
!f2(z)= 1/2*(z-1-i*sqr(3)) +0*conj(z-1-i*sqr(3)) +1+i*SQR(3)
!-----
MAT f1=SCALE(1/2)
MAT f2=SHIFT(-2,0)*SCALE(1/2)*SHIFT(2,0)
MAT f3=SHIFT(-1,-SQR(3))*SCALE(1/2)*SHIFT(1,SQR(3))
CALL Afine("シルピンスキーのガスケット", 10, 1, 0.8, 1.5)

LET D23=2 ! ２分岐フラグ
!-----
!f0(z)= 0*z +(1+i)/2*conj(z)
!f1(z)= 0*(z-1) +(1-i)/2*conj(z-1) +1
!-----
MAT f1=SCALE(1,-1)*ROTATE(PI/4)*SCALE(1/SQR(2))
MAT f2=SHIFT(-1,0)*SCALE(1,-1)*ROTATE(-PI/4)*SCALE(1/SQR(2))*SHIFT(1,0)
CALL Afine("ペアノの曲線", 16, 0.5, 0.2, 0.6)

!続く

　　├!続く SECOND 2007/08/29 04:46:56  (修正4回) ツリーへ

Re: 変形指示mat文で書くフラクタル画像１１種類 返事を書くノートメニュー

SECOND <cszcthjjdj> 2007/08/29 04:46:56 ** この記事は4回修正されてます

!続く

!-----
!f0(z)= 0*z +(3+SQR(3)*i)/6*conj(z)
!f1(z)= 0*(z-1) +(3-SQR(3)*i)/6*conj(z-1) +1
!-----
MAT f1=SCALE(1,-1)*ROTATE(PI/6)*SCALE(1/SQR(3))
MAT f2=SHIFT(-1,0)*SCALE(1,-1)*ROTATE(-PI/6)*SCALE(1/SQR(3))*SHIFT(1,0)
CALL Afine("コッホの曲線", 14, 0.5, 0.1, 0.6)

!-----
!f0(z)= (1+i)/2*z +0*conj(z)
!f1(z)= (1+i)/2*(z-1) +0*conj(z-1) +1
!-----
MAT f1=ROTATE(PI/4)*SCALE(1/SQR(2))
MAT f2=SHIFT(-1,0)*ROTATE(PI/4)*SCALE(1/SQR(2))*SHIFT(1,0)
CALL Afine("ドラゴン", 16, 0.5, 0, 1)

!-----
!f0(z)= (1+i)/2*z +0*conj(z)
!f1(z)= (1-i)/2*(z-1) +0*conj(z-1) +1
!-----
MAT f1=ROTATE(PI/4)*SCALE(1/SQR(2))
MAT f2=SHIFT(-1,0)*ROTATE(-PI/4)*SCALE(1/SQR(2))*SHIFT(1,0)
CALL Afine("レヴィのＣ曲線", 16, 0.5, 0.3, 1.1)

!-----
!f0(z)= (1+i)/2*z +0*conj(z)
!f1(z)= 0*(z-1) +(1-i)/2*conj(z-1) +1
!-----
MAT f1=ROTATE(PI/4)*SCALE(1/SQR(2))
MAT f2=SHIFT(-1,0)*SCALE(1,-1)*ROTATE(-PI/4)*SCALE(1/SQR(2))*SHIFT(1,0)
CALL Afine("カニの行列", 16, 0.35, 0.3, 0.8)

!-----
!f0(z)= 0*z +EXP(i*PI/7)/SQR(3)*conj(z)
!f1(z)= 0*(z-1) +2/3*conj(z-1) +1
!-----
MAT f1=SCALE(1,-1)*ROTATE(PI/7)*SCALE(1/SQR(3))
MAT f2=SHIFT(-1,0)*SCALE(1,-1)*SCALE(2/3)*SHIFT(1,0)
CALL Afine("葉脈曲線", 14, 0.5, 0.1, 0.6)
beep

!----------
SUB Afine(t$, Nmax, xm, ym, h) ! (題名, 最大N, 中心X, 中心Y, 半幅)
SET WINDOW xm-h,xm+h, ym-h,ym+h
FOR N=0 TO Nmax
CLEAR
DRAW grid
PLOT TEXT,AT xm-h*0.8,ym+h*0.8, USING "N= %%":N
PLOT TEXT,AT xm-h*0.4,ym+h*0.8:t$
LET col=1
IF D23=2 THEN DRAW D(N) ELSE DRAW D3(N) !親集合(0,0)~(1,0) のＮ階写像.
WAIT DELAY 1.5-EXP(N/40)
NEXT N
WAIT DELAY 1
END SUB

!------ ３分岐型
PICTURE D3(k)
IF 0<k THEN
DRAW D3(k-1) WITH f1
DRAW D3(k-1) WITH f2
DRAW D3(k-1) WITH f3
ELSE
DRAW Set01
LET col=col+3^(2-N) !　(2-N) 9色分割、(3-N) 27色分割、(4-N) 81色分割
END IF
END PICTURE

!------ ２分岐型
PICTURE D(k)
IF 0<k THEN
DRAW D(k-1) WITH f1
DRAW D(k-1) WITH f2
ELSE
DRAW Set01
LET col=col+2^(4-N) !　(2-N) 4色分割、(3-N) 8色分割、(4-N) 16色分割
END IF
END PICTURE

!------ 親集合(0,0)~(1,0)
PICTURE Set01
SET LINE COLOR INT(col)
PLOT LINES: 0,0;1,0
IF N<5 THEN PLOT POINTS:0.85,0 ! (1,0)方向８５％位置に、* のマークを付ける。
END PICTURE

END

　　│├色分けの不具合を、訂正。 SECOND 2007/08/30 14:13:34  (修正2回) ツリーへ

Re: !続く 返事を書くノートメニュー

SECOND <cszcthjjdj> 2007/08/30 14:13:34 ** この記事は2回修正されてます

色分けの不具合を、訂正。

特に、ペアノ曲線が重症でした。
他のパターンについても、下記の訂正をする事で、

自己相似状態、接合状態が、正しく色分けされるようになった。

※ルート・スレッド掲示の方は、すでに修正されています。

（
　）
OPTION ARITHMETIC NATIVE !　←追加、是非ではないが高速になる。
SET TEXT FONT "ＭＳ明朝",18
DIM f1(4,4), f2(4,4), f3(4,4)
（
　）
!----------
SUB Afine(t$, Nmax, xm, ym, h) ! (題名, 最大N, 中心X, 中心Y, 半幅)
SET WINDOW xm-h,xm+h, ym-h,ym+h
FOR N=0 TO Nmax
CLEAR
DRAW grid
PLOT TEXT,AT xm-h*0.8,ym+h*0.8, USING "N= %%":N
PLOT TEXT,AT xm-h*0.4,ym+h*0.8:t$
!LET col=0　→削除
LET col=1 !　←追加
IF D23=2 THEN DRAW D(N) ELSE DRAW D3(N) !親集合(0,0)~(1,0) のＮ階写像.
WAIT DELAY 1.5-EXP(N/40)
NEXT N
WAIT DELAY 1
END SUB

PICTURE D3(k)
IF 0<k THEN
DRAW D3(k-1) WITH f1
DRAW D3(k-1) WITH f2
DRAW D3(k-1) WITH f3
!LET col=col+3^(4-N)　→削除
ELSE
DRAW Set01
LET col=col+3^(2-N) !　←追加、(2-N) 9色分割、(3-N) 27色分割、(4-N) 81色分割
END IF
END PICTURE

PICTURE D(k)
IF 0<k THEN
DRAW D(k-1) WITH f1
DRAW D(k-1) WITH f2
!LET col=col+2^(4-N)　→削除
ELSE
DRAW Set01
LET col=col+2^(4-N) !　←追加、(2-N) 4色分割、(3-N) 8色分割、(4-N) 16色分割
END IF
END PICTURE

!------ 親集合(0,0)~(1,0)
PICTURE Set01
!SET LINE COLOR MOD(col,16)+1　→削除
SET LINE COLOR INT(col) !　←追加
PLOT LINES: 0,0;1,0
IF N<5 THEN PLOT POINTS:0.85,0 ! (1,0)方向８５％位置に、* のマークを付ける。
END PICTURE

END

　　│└修正２～３の内容 SECOND 2007/09/04 13:32:50  (修正1回) ツリーへ

Re: !続く 返事を書くノートメニュー

SECOND <cszcthjjdj> 2007/09/04 13:32:50 ** この記事は1回修正されてます

修正２～３の内容

対照の複素数形式を改め、
できるだけ相互の式の対照を、揃えた。

動作は、変化していない。

コッホの曲線の複素数参照式、誤り訂正。

付録、「変形指示mat文と複素数形式の相互対照」

|f0(z)|=|a　b||　z　　|+|0　　|
|f1(z)| |r　d||conj(z)| |1-r-d|

f0(z)= a*z +b*conj(z)
f1(z)= r*z +d*conj(z) +1-r-d

次のように、書き直すと、f1(z) が、(1,0)を新たな原点とする様な写像（回転縮小）に
なっているのが、見易くなる。　反面、上の複素行列のようには、書けなくなる。

f0(z)= a*z　　 +b*conj(z)
f1(z)= r*(z-1) +d*conj(z-1) +1

MAT w1=　　　　　　 ROTATE( ATN(IM(a)/RE(a)) )*SCALE(ABS(a))　・・・a*
MAT w2= SCALE(1,-1)*ROTATE( ATN(IM(b)/RE(b)) )*SCALE(ABS(b))　・・・b*conj()
MAT _f0= w1+w2　・・・_f0(4,4)は、システム予約=１へ書き戻す。

MAT w1=　　　　　　 ROTATE( ATN(IM(r)/RE(r)) )*SCALE(ABS(r))　・・・r*
MAT w2= SCALE(1,-1)*ROTATE( ATN(IM(d)/RE(d)) )*SCALE(ABS(d))　・・・d*conj()
MAT w3= w1+w2　・・・ w3(4,4)は、システム予約=１へ書き戻す。

MAT _f1= SHIFT(-1,0)* w3 *SHIFT(1,0)　・・・(z-1)、+1

f1(z)= r*(z-m) +d*conj(z-m) +m　　・・・m の座標が(1,0)でない場合、
MAT _f1= SHIFT(-RE(m),-IM(m))* w3 *SHIFT(RE(m),IM(m))

※a　と b　は、片方＝０、
　r　と d　も、片方＝０、が殆んどで、w1+w2 の計算が必要になる事は、めったにない。

　　│　├DEF文の変換式は元のでいいのでは？ 山中和義 2007/09/04 15:18:24  ツリーへ

Re: 修正２～３の内容 返事を書くノートメニュー

山中和義 <drdlxujciw> 2007/09/04 15:18:24

DEF文の変換式は元のでいいのでは？

間違いかもしれませんが、私はこう認識しています。（共役部分）

縮小写像の変換式

点pにおける縮小写像の複素数形式
　DEF f(Z, a,b,p)=a*(Z-p)+b*(conj(Z)-p)+p !またはa*Z+b*conj(Z)+p*(1-a-b)

は、

点pにおける縮小写像の行列形式（同次座標）
　DIM ma(4,4),mb(4,4),f(4,4)
　MAT ma=SCALE(ABS(a))*ROTATE(arg(a)) !a*Z
　MAT mb=SCALE(1,-1)*SCALE(ABS(b))*ROTATE(arg(b)) !b*conj(Z)
　MAT f=ma+mb !原点における縮小写像
　LET f(4,4)=1 !※システム予約
　MAT f=SHIFT(-re(p),-im(p))*f*SHIFT(re(p),im(p)) !点pにおける縮小写像

　　※ABS(0)のときのarg(0)に注意

と記述できる。

ABS(a)やarg(a)を代数的に求めれば、SCALE(1/SQR(2))やROTATE(PI/6)のようになる。

　　│　│├いえ、元のは、Ｘだと思います。白石先生、... SECOND 2007/09/04 17:57:16  (修正2回) ツリーへ

Re: DEF文の変換式は元のでいいのでは？ 返事を書くノートメニュー

SECOND <cszcthjjdj> 2007/09/04 17:57:16 ** この記事は2回修正されてます

いえ、元のは、Ｘだと思います。白石先生、御願いします。

以下の内容の、問題です。f1(z)～が、写像原点を、(1,0) でなく、m1～を使用する場合です。

!-----３分岐複素関数形式
!DEF f0(z)=a*z+b*conj(z)
!DEF f1(z)=r*z+d*conj(z) +m1*(1-r-d) ←修正前、誤り
!DEF f2(z)=e*z+f*conj(z) +m2*(1-e-f) ←　～、誤り

!-----３分岐複素関数形式
!DEF f0(z)=a*z+b*conj(z)
!DEF f1(z)=r*z+d*conj(z) +m1(1-r)-conj(m1)*d ←正
!DEF f2(z)=e*z+f*conj(z) +m2(1-e)-conj(m2)*f ←正

DEF f0(z)=a*z+b*conj(z)
DEF f1(z)=r*(z-m1)+d*conj(z-m1) +m1 !　←この方が解り易い
DEF f2(z)=e*(z-m2)+f*conj(z-m2) +m2 !　←　～
!-----

　　│　│└貴兄の計算、MAT文は、新しい方、～conj(z-... SECOND 2007/09/04 20:33:05  ツリーへ

Re: DEF文の変換式は元のでいいのでは？ 返事を書くノートメニュー

SECOND <cszcthjjdj> 2007/09/04 20:33:05

貴兄の計算、MAT文は、新しい方、～conj(z-p) +p に、なっています。
よく見てください。

点pにおける縮小写像の複素数形式
　DEF f(Z, a,b,p)=a*(Z-p)+b*(conj(Z)-p)+p !またはa*Z+b*conj(Z)+p*(1-a-b)

は、

点pにおける縮小写像の行列形式（同次座標）
　DIM ma(4,4),mb(4,4),f(4,4)
　MAT ma=SCALE(ABS(a))*ROTATE(arg(a)) !a*Z
　MAT mb=SCALE(1,-1)*SCALE(ABS(b))*ROTATE(arg(b)) !b*conj(Z)
　MAT f=ma+mb !原点における縮小写像
　LET f(4,4)=1 !※システム予約
　MAT f=SHIFT(-re(p),-im(p))*f*SHIFT(re(p),im(p)) !点pにおける縮小写像

　　│　│　└私の理解が間違っていました。 山中和義 2007/09/05 09:31:42  ツリーへ

Re: 貴兄の計算、MAT文は、新しい方、～conj(z-... 返事を書くノートメニュー

山中和義 <drdlxujciw> 2007/09/05 09:31:42

私の理解が間違っていました。

行列の縮小写像は、～conj(z-p)+pに対応しているんですね。

以下、確認のプログラム

OPTION ARITHMETIC COMPLEX
LET i=complex(0,1) !虚数単位

LET z1=0+i !試験用のデータ
LET z2=1+i

LET r=EXP(i*PI/6)/SQR(3) !試験用の変換
LET d=2-i
LET m1=1+i*SQR(3)

DEF f1(z)=r*(z-m1)+d*conj(z-m1)+m1
DEF f2(z)=r*(z-m1)+d*(conj(z)-m1)+m1

PRINT f1(z1)
PRINT f1(z2)
PRINT

PRINT f2(z1)
PRINT f2(z2)
PRINT

DIM w1(4,4),w2(4,4),w3(4,4),M(4,4)
MAT w1=ROTATE(ATN(im(r)/re(r)))*SCALE(ABS(r)) !r*
MAT w2=SCALE(1,-1)*ROTATE(ATN(im(d)/re(d)))*SCALE(ABS(d)) !d*conj()
MAT w3=w1+w2
LET w3(4,4)=1 !w3(4,4)は、システム予約=１へ書き戻す。
MAT M=SHIFT(-re(m1),-im(m1))* w3 *SHIFT(re(m1),im(m1)) !(z-m1)、+m1

DIM p(4)
LET p(1)=re(z1) !x　※z=x+y*i
LET p(2)=im(z1) !y
LET p(3)=0
LET p(4)=1
MAT p=p*M
MAT PRINT p

LET p(1)=re(z2) !x　※z=x+y*i
LET p(2)=im(z2) !y
LET p(3)=0
LET p(4)=1
MAT p=p*M
MAT PRINT p

END

　　│　└!複素数形式を行列形式（変形指示mat文、行... 山中和義 2007/09/04 15:38:58  (修正1回) ツリーへ

Re: 修正２～３の内容 返事を書くノートメニュー

山中和義 <drdlxujciw> 2007/09/04 15:38:58 ** この記事は1回修正されてます

!複素数形式を行列形式（変形指示mat文、行列）に変換してみる

OPTION ARITHMETIC complex
LET i=SQR(-1) !虚数単位

SET TEXT FONT "ＭＳ明朝",18
DIM f1(4,4), f2(4,4), f3(4,4)

LET a=0
LET b=(3+SQR(3)*i)/6
LET p=0
CALL SetM2(a,b,p, f1) !!!CALL SetM(a,b,p, f1)
LET c=0
LET d=(3-SQR(3)*i)/6
LET p=1
CALL SetM2(c,d,p, f2) !!!CALL SetM(c,d,p, f2)
CALL Afine("コッホの曲線", 14, 0.5, 0.1, 0.6)

SUB SetM(a,b,p, f(,)) !点pにおける縮小写像 a*(Z-p)+b*Conj(Z-p)+p または a*Z+b*Conj(Z)+p*(1-a)-b*conj(p)
DIM ma(4,4),mb(4,4)
MAT ma=ZER !a*Zを得る
IF ABS(a)>0 THEN MAT ma=SCALE(ABS(a))*ROTATE(arg(a))

MAT mb=ZER !b*Conj(Z)を得る
IF ABS(b)>0 THEN MAT mb=SCALE(1,-1)*SCALE(ABS(b))*ROTATE(arg(b)) !共役

MAT f=ma+mb !原点における縮小写像a*Z+b*Conj(Z)を得る
LET f(4,4)=1

MAT f=SHIFT(-re(p),-im(p))*f*SHIFT(re(p),im(p)) !点ｐにおける縮小写像を得る
END SUB

SUB SetM2(c,d,p, f(,))
DIM mc(2,2),md(2,2),mt(2,2),ms(4,4)
LET mc(1,1)=re(c) !複素数ｃを行列へ
LET mc(1,2)=-im(c)
LET mc(2,1)=im(c)
LET mc(2,2)=re(c)

LET md(1,1)=re(d) !複素数ｄを行列へ
LET md(1,2)=-im(d)
LET md(2,1)=im(d)
LET md(2,2)=re(d)

LET mt(1,1)=1 !共役　※Ｘ軸対称
LET mt(1,2)=0
LET mt(2,1)=0
LET mt(2,2)=-1
MAT md=md*mt !d*Conj(Z)を得る

MAT mt=mc+md !原点における縮小写像c*Z+d*Conj(Z)を得る

MAT f=IDN !点ｐにおける縮小写像を得るために同次座標系へ
LET f(1,1)=mt(1,1)
LET f(1,2)=mt(2,1) !※転置（座標は行ベクトルのため）
LET f(2,1)=mt(1,2) !※
LET f(2,2)=mt(2,2)

MAT ms=IDN !点ｐから原点へ平行移動
LET ms(4,1)=-re(p)
LET ms(4,2)=-im(p)
MAT f=ms*f !縮小写像を行う
LET ms(4,1)=re(p) !もとの位置ｐへ
LET ms(4,2)=im(p)
MAT f=f*ms !点ｐにおける縮小写像c*(Z-p)+d*Conj(Z-p)+pを得る
END SUB

!----------
SUB Afine(t$, Nmax, xm, ym, h) ! (題名, 最大N, 中心X, 中心Y, 半幅)
SET WINDOW xm-h,xm+h, ym-h,ym+h
FOR N=0 TO Nmax
CLEAR
DRAW grid
PLOT TEXT,AT xm-h*0.8,ym+h*0.8, USING "N= %%":N
PLOT TEXT,AT xm-h*0.4,ym+h*0.8:t$
LET col=1
DRAW D(N) !親集合(0,0)~(1,0) のＮ階写像.
WAIT DELAY 1.5-EXP(N/40)
NEXT N
WAIT DELAY 1
END SUB

!------
PICTURE D(k)
IF 0<k THEN
DRAW D(k-1) WITH f1
DRAW D(k-1) WITH f2
ELSE
DRAW Set01
LET col=col+2^(4-N) !(2-N) 4色分割、(3-N) 8色分割、(4-N) 16色分割
END IF
END PICTURE

!------ 親集合(0,0)~(1,0)
PICTURE Set01
SET LINE COLOR INT(col)
PLOT LINES: 0,0;1,0
IF N<5 THEN PLOT POINTS:0.85,0 ! (1,0)方向８５％位置に、* のマークを付ける。
END PICTURE

END

　　│　　└この件を、実験的に示せる例題がありません... SECOND 2007/09/04 19:26:53  (修正1回) ツリーへ

Re: !複素数形式を行列形式（変形指示mat文、行... 返事を書くノートメニュー

SECOND <cszcthjjdj> 2007/09/04 19:26:53 ** この記事は1回修正されてます

この件を、実験的に示せる例題がありません。

結果が違ったものになるためには、

　d　・・conj(z) の係数が、０でなく、かつ、

　f1(z) の写像原点ｐが、（私は、m1,m2,の記号を使用した）

　(1,0) でなく、Tragon のように、虚数部を含む必要が、あります。

ただ、変形指示mat文で、両サイドに、

SHIFT(-re( p ),-im( p ) )*SCALE(1,-1)* ～　～ *SHIFT(re( p ),im( p ) )

を、置くならば、～*conj(z-p) +p
とした事に、なるでしょう。

　　├!複素関数で書くTragonとシルピンスキーのガ... SECOND 2007/08/30 22:38:43  (修正2回) ツリーへ

Re: 変形指示mat文で書くフラクタル画像１１種類 返事を書くノートメニュー

SECOND <cszcthjjdj> 2007/08/30 22:38:43 ** この記事は2回修正されてます

!複素関数で書くTragon とシルピンスキーのガスケット

!構造が同じ、写像関数とプログラム、であるのに、
!Ｎが大きくなると、描画の順序が、違っているのが、見えてきます。

!（変形指示mat文形式)
!写像関数(行列)の方を、直列計算し、出来た関数で写像する。
!平行移動成分が、回毎に、小さくなっていくためか、隣接描画。

!（複素関数形式）
!写像関数を固定し、座標数値だけを、繰返し直列計算する。
!平行移動成分が、毎回、固定され、全体へ分散しながら描画。

!色分けの際に注意。

SET TEXT FONT "ＭＳ明朝",18

OPTION ARITHMETIC COMPLEX
DIM z0(0 TO 3^10) ! 最大N=10
LET i=complex(0,1) ! i= 虚数

!-----３分岐複素関数形式
!DEF f0(z)=a*z+b*conj(z)
!DEF f1(z)=r*z+d*conj(z) +m1*(1-r-d) ←修正前、誤り
!DEF f2(z)=e*z+f*conj(z) +m2*(1-e-f) ←　～、誤り

!-----３分岐複素関数形式
!DEF f0(z)=a*z+b*conj(z)
!DEF f1(z)=r*z+d*conj(z) +m1(1-r)-conj(m1)*d ←正
!DEF f2(z)=e*z+f*conj(z) +m2(1-e)-conj(m2)*f ←正

DEF f0(z)=a*z+b*conj(z)
DEF f1(z)=r*(z-m1)+d*conj(z-m1) +m1 !　←この方が解り易い
DEF f2(z)=e*(z-m2)+f*conj(z-m2) +m2 !　←　～
!-----
!MAT f1=SCALE(1/SQR(3))*ROTATE(PI/6)
!MAT f2=SHIFT(-2,0)*SCALE(1/SQR(3))*ROTATE(PI/6)*SHIFT(2,0)
!MAT f3=SHIFT(-1,-SQR(3))*SCALE(1/SQR(3))*ROTATE(PI/6)*SHIFT(1,SQR(3))
!-----
LET a=EXP(i*PI/6)/SQR(3)
LET b=0
LET r=a
LET d=0
LET m1=2
LET e=a
LET f=0
LET m2=1+i*SQR(3)
CALL Afine("Tragon 集合", 10, 1, 0.8, 2)

!-----
!MAT f1=SCALE(1/2)
!MAT f2=SHIFT(-2,0)*SCALE(1/2)*SHIFT(2,0)
!MAT f3=SHIFT(-1,-SQR(3))*SCALE(1/2)*SHIFT(1,SQR(3))
!-----
LET a=1/2
LET b=0
LET r=1/2
LET d=0
LET m1=2
LET e=1/2
LET f=0
LET m2=1+i*SQR(3)
CALL Afine("シルピンスキーのガスケット", 10, 1, 0.8, 1.5)

!----------
SUB Afine(t$, Nmax, xm, ym, h) ! (題名, 最大N, 中心X, 中心Y, 半幅)
SET WINDOW xm-h,xm+h, ym-h,ym+h
FOR N=0 TO Nmax
CLEAR
DRAW grid
PLOT TEXT,AT xm-h*0.8,ym+h*0.8, USING "N= %%":N
PLOT TEXT,AT xm-h*0.4,ym+h*0.8:t$
LET cx=0
CALL f0f1s(N, 0) ! z=0 の写像。記憶のみ。
LET cx=0
CALL f0f1(N, 1) ! z=1 の写像。 z=0 の記憶と線で結ぶ。
WAIT DELAY 1.5-EXP(N/40)
NEXT N
beep
WAIT DELAY 1
END SUB

!------ 全て z=0 の写像。記憶のみ。
SUB f0f1s(k, z)
IF 0<k THEN
CALL f0f1s(k-1, f0(z))
CALL f0f1s(k-1, f1(z))
CALL f0f1s(k-1, f2(z))
ELSE
LET z0(cx)=z
LET cx=cx+1
END IF
END SUB

!------ 全て z=1 の写像。 z=0 の記憶z0() と線で結ぶ。
SUB f0f1(k, z)
IF 0<k THEN
CALL f0f1(k-1, f0(z))
CALL f0f1(k-1, f1(z))
CALL f0f1(k-1, f2(z))
ELSE
DRAW linez0(z)
LET cx=cx+1
END IF
END SUB

!------ z0()~z の写像の直線を描き、z 側の８５％位置に、* のマークを付ける。
PICTURE linez0(z)
SET LINE COLOR MOD(cx,9)+1 ! 3^2=9色分割、3^3=27色分割、3^4=81色分割・・(分岐数)^m
PLOT LINES: re(z0(cx)),im(z0(cx)); re(z),im(z)
IF N<4 THEN PLOT POINTS: re(z0(cx))*0.15+re(z)*0.85, im(z0(cx))*0.15+im(z)*0.85
END PICTURE

END

　　│└DEF文に大きな訂正が、あります。すみません... SECOND 2007/09/03 19:29:07  ツリーへ

Re: !複素関数で書くTragonとシルピンスキーのガ... 返事を書くノートメニュー

SECOND <cszcthjjdj> 2007/09/03 19:29:07

DEF 文に大きな訂正が、あります。すみません。

不幸にも、動作上に変化は、ありませんが、
大きな間違いでした。

　　├!T-squareとシルピンスキーのカーペット SECOND 2007/09/01 03:45:00  ツリーへ

Re: 変形指示mat文で書くフラクタル画像１１種類 返事を書くノートメニュー

SECOND <cszcthjjdj> 2007/09/01 03:45:00

!T-square とシルピンスキーのカーペット

OPTION ARITHMETIC NATIVE
SET TEXT FONT "ＭＳ明朝",18

ASK bitmap SIZE savW,savH !　グラフ画面サイズの控え。
!----------
LET D48=4
SET BITMAP SIZE 641,641
CALL Afine("Ｔ－ｓｑｕａｒｅ", 6, 0, 0.2, 2.4)
WAIT DELAY 2.5

LET D48=8
SET BITMAP SIZE 501,501
CALL Afine("シルピンスキーのカーペット", 6, 0, 0.3, 3.7)

SET bitmap SIZE savW,savH !　グラフ画面サイズを、起動前に戻す。

!----------
SUB Afine(t$, Nmax, xm, ym, h) ! (題名, 最大N, 中心X, 中心Y, 半幅)
SET WINDOW xm-h,xm+h, ym-h,ym+h
FOR N=0 TO Nmax
CLEAR
DRAW grid
PLOT TEXT,AT xm-h*0.8,ym+h*0.8, USING "N= %%":N
PLOT TEXT,AT xm-h*0.4,ym+h*0.8:t$
LET col=0
IF D48=4 THEN DRAW D4(N) ELSE DRAW D8(N)
WAIT DELAY 1.5-EXP(N/40)
NEXT N
END SUB

!------ T-square
PICTURE D4(k)
IF 0<k THEN
DRAW D4(k-1) WITH SCALE(1/2)*SHIFT( 1, 1)
DRAW D4(k-1) WITH SCALE(1/2)*SHIFT(-1, 1)
DRAW D4(k-1) WITH SCALE(1/2)*SHIFT(-1,-1)
DRAW D4(k-1) WITH SCALE(1/2)*SHIFT( 1,-1)
END IF !　０階１階２階・・Ｎ階、全て重ね書き。
PLOT AREA: -1,-1;1,-1;1,1;-1,1 !　親集合の塗りつぶされた正方形。
END PICTURE

!------ シルピンスキーのカーペット Sierpinski carpet
PICTURE D8(k)
IF 0<k THEN
DRAW D8(k-1) WITH SCALE(1/3)*SHIFT( 2, 0)
DRAW D8(k-1) WITH SCALE(1/3)*SHIFT( 2, 2)
DRAW D8(k-1) WITH SCALE(1/3)*SHIFT( 0, 2)
DRAW D8(k-1) WITH SCALE(1/3)*SHIFT(-2, 2)
DRAW D8(k-1) WITH SCALE(1/3)*SHIFT(-2, 0)
DRAW D8(k-1) WITH SCALE(1/3)*SHIFT(-2,-2)
DRAW D8(k-1) WITH SCALE(1/3)*SHIFT( 0,-2)
DRAW D8(k-1) WITH SCALE(1/3)*SHIFT( 2,-2)
ELSE
SET LINE COLOR MOD(INT(col),16)+1
PLOT LINES: -1,-1;1,-1;1,1;-1,1;-1,-1 !　親集合の正方形。
LET col=col+8^(1-N) !　(0-N) 1色(黒)、(1-N) 8色分割、(2-N) 64色分割
END IF
END PICTURE

END

　　└!トラゴンが踊る。 SECOND 2007/09/06 17:40:38  ツリーへ

Re: 変形指示mat文で書くフラクタル画像１１種類 返事を書くノートメニュー

SECOND <cszcthjjdj> 2007/09/06 17:40:38

!トラゴンが踊る。

!このプログラムは、十進BASICサンプル fractal\TRIANGLE.BAS を、
!元にしたものです。

OPTION ARITHMETIC NATIVE
OPTION ANGLE DEGREES

SET POINT STYLE 1
LET alpha=-15
LET ds=15
LET N=9
LET h=3.6

DO
SET WINDOW 1-h+ds/40, 1+h+ds/40, 0.5-h, 0.5+h
SET DRAW mode hidden
CLEAR
PLOT TEXT,AT ds/40, 3:"Any Key to Stop"
DRAW tragon(N)
SET DRAW mode explicit
IF 30<=ABS(alpha) THEN
WAIT DELAY 0.5
SET DRAW mode hidden
CLEAR
DRAW tragon(N)
SET DRAW mode explicit
PLOT TEXT,AT ds/40, 3:"Any Key to Stop"
WAIT DELAY 0.25
LET ds=-ds
END IF
LET alpha=alpha+ds
CHARACTER INPUT NOWAIT:s$
LOOP UNTIL ""<s$

PICTURE tragon(k)
IF 0<k THEN
DRAW tragon(k-1) WITH SCALE(1/SQR(3))*ROTATE(alpha)
DRAW tragon(k-1) WITH SHIFT(-2,0)*SCALE(1/SQR(3))*ROTATE(alpha)*SHIFT(2,0)
DRAW tragon(k-1) WITH SHIFT(-1,-SQR(3))*SCALE(1/SQR(3))*ROTATE(alpha)*SHIFT(1,SQR(3))
ELSE
SET POINT COLOR MOD(INT(col),8)+1
PLOT POINTS: 0,0
LET col=col+3^(2-N)
END IF
END PICTURE

END

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変形指示mat文で書くフラクタル画像１１種類	返事を書くノートメニュー
SECOND <cszcthjjdj> 2007/08/29 04:45:05 ** この記事は3回修正されてます
!変形指示mat文で書くフラクタル画像１１種類 !----- !f0(z)=　この枠に入っているのは、 !f1(z)=　該当している複素数形式の、 !f2(z)=　写像式です。 !----- !Ｎの小さい写像も、段階的に表現するため、親集合に省略形の点(0,0)を使わず、 !本来の親集合(0,0)~(1,0)線分を、使います。 OPTION ARITHMETIC NATIVE SET TEXT FONT "ＭＳ明朝",18 DIM f1(4,4), f2(4,4), f3(4,4) LET D23=2 ! ２分岐フラグ !----- !f0(z)= (2+i)/4z +i/4conj(z) !f1(z)= (2-i)/4(z-1) -i/4conj(z-1) +1 !----- MAT f1=ROTATE(ATN(1/2))SCALE(SQR(5)/4) MAT f3=SCALE(1,-1)ROTATE(PI/2)SCALE(1/4) MAT f1=f1+f3 LET f1(4,4)=1 ! システム予約（倍率逆数）まで加算するので、元へ戻す。 MAT f2=ROTATE(ATN(-1/2))SCALE(SQR(5)/4) MAT f3=SCALE(1,-1)ROTATE(-PI/2)SCALE(1/4) MAT f2=f2+f3 LET f2(4,4)=1 ! ～元へ戻す。 MAT f2=SHIFT(-1,0)f2SHIFT(1,0) CALL Afine("高木関数のグラフ", 14, 0.5, 0.3, 0.6) !----- !f0(z)= 0z +(1-EXP(-PI/5i))conj(z) !f1(z)= 0(z-1) +(1-EXP( PI/5i))conj(z-1) +1 !----- MAT f1=SCALE(1,-1)ROTATE(PI2/5)SCALE(2SIN(PI/10)) MAT f2=SHIFT(-1,0)SCALE(1,-1)ROTATE(-PI2/5)SCALE(2SIN(PI/10))SHIFT(1,0) CALL Afine("クリヌキ正五角形", 15, 0.5, 0.25, 0.6) !----- !f0(z)= (1+i)/2z +0conj(z) !f1(z)= 0(z-1) -(1+i)/2conj(z-1) +1 !----- MAT f1=ROTATE(PI/4)SCALE(1/SQR(2)) MAT f2=SHIFT(-1,0)SCALE(1,-1)ROTATE(PI+PI/4)SCALE(1/SQR(2))SHIFT(1,0) CALL Afine("ブロッコリー", 16, 0.6, 0.5, 1.3) LET D23=3 ! ３分岐フラグ !----- !f0(z)= EXP(iPI/6)/SQR(3)z +0conj(z) !f1(z)= EXP(iPI/6)/SQR(3)(z-2) +0conj(z-2) +2 !f2(z)= EXP(iPI/6)/SQR(3)(z-1-isqr(3)) +0conj(z-1-isqr(3)) +1+iSQR(3) !----- MAT f1=ROTATE(PI/6)SCALE(1/SQR(3)) MAT f2=SHIFT(-2,0)ROTATE(PI/6)SCALE(1/SQR(3))SHIFT(2,0) MAT f3=SHIFT(-1,-SQR(3))ROTATE(PI/6)SCALE(1/SQR(3))SHIFT(1,SQR(3)) CALL Afine("トラゴン集合", 10, 1, 0.8, 2) !----- !f0(z)= 1/2z +0conj(z) !f1(z)= 1/2(z-2) +0conj(z-2) +2 !f2(z)= 1/2(z-1-isqr(3)) +0conj(z-1-isqr(3)) +1+iSQR(3) !----- MAT f1=SCALE(1/2) MAT f2=SHIFT(-2,0)SCALE(1/2)SHIFT(2,0) MAT f3=SHIFT(-1,-SQR(3))SCALE(1/2)SHIFT(1,SQR(3)) CALL Afine("シルピンスキーのガスケット", 10, 1, 0.8, 1.5) LET D23=2 ! ２分岐フラグ !----- !f0(z)= 0z +(1+i)/2conj(z) !f1(z)= 0(z-1) +(1-i)/2conj(z-1) +1 !----- MAT f1=SCALE(1,-1)ROTATE(PI/4)SCALE(1/SQR(2)) MAT f2=SHIFT(-1,0)SCALE(1,-1)ROTATE(-PI/4)SCALE(1/SQR(2))*SHIFT(1,0) CALL Afine("ペアノの曲線", 16, 0.5, 0.2, 0.6) !続く

Re: 変形指示mat文で書くフラクタル画像１１種類	返事を書くノートメニュー
SECOND <cszcthjjdj> 2007/08/29 04:46:56 ** この記事は4回修正されてます
!続く !----- !f0(z)= 0z +(3+SQR(3)i)/6conj(z) !f1(z)= 0(z-1) +(3-SQR(3)i)/6conj(z-1) +1 !----- MAT f1=SCALE(1,-1)ROTATE(PI/6)SCALE(1/SQR(3)) MAT f2=SHIFT(-1,0)SCALE(1,-1)ROTATE(-PI/6)SCALE(1/SQR(3))SHIFT(1,0) CALL Afine("コッホの曲線", 14, 0.5, 0.1, 0.6) !----- !f0(z)= (1+i)/2z +0conj(z) !f1(z)= (1+i)/2(z-1) +0conj(z-1) +1 !----- MAT f1=ROTATE(PI/4)SCALE(1/SQR(2)) MAT f2=SHIFT(-1,0)ROTATE(PI/4)SCALE(1/SQR(2))SHIFT(1,0) CALL Afine("ドラゴン", 16, 0.5, 0, 1) !----- !f0(z)= (1+i)/2z +0conj(z) !f1(z)= (1-i)/2(z-1) +0conj(z-1) +1 !----- MAT f1=ROTATE(PI/4)SCALE(1/SQR(2)) MAT f2=SHIFT(-1,0)ROTATE(-PI/4)SCALE(1/SQR(2))SHIFT(1,0) CALL Afine("レヴィのＣ曲線", 16, 0.5, 0.3, 1.1) !----- !f0(z)= (1+i)/2z +0conj(z) !f1(z)= 0(z-1) +(1-i)/2conj(z-1) +1 !----- MAT f1=ROTATE(PI/4)SCALE(1/SQR(2)) MAT f2=SHIFT(-1,0)SCALE(1,-1)ROTATE(-PI/4)SCALE(1/SQR(2))SHIFT(1,0) CALL Afine("カニの行列", 16, 0.35, 0.3, 0.8) !----- !f0(z)= 0z +EXP(iPI/7)/SQR(3)conj(z) !f1(z)= 0(z-1) +2/3conj(z-1) +1 !----- MAT f1=SCALE(1,-1)ROTATE(PI/7)SCALE(1/SQR(3)) MAT f2=SHIFT(-1,0)SCALE(1,-1)SCALE(2/3)SHIFT(1,0) CALL Afine("葉脈曲線", 14, 0.5, 0.1, 0.6) beep !---------- SUB Afine(t$, Nmax, xm, ym, h) ! (題名, 最大N, 中心X, 中心Y, 半幅) SET WINDOW xm-h,xm+h, ym-h,ym+h FOR N=0 TO Nmax CLEAR DRAW grid PLOT TEXT,AT xm-h0.8,ym+h0.8, USING "N= %%":N PLOT TEXT,AT xm-h0.4,ym+h0.8:t$ LET col=1 IF D23=2 THEN DRAW D(N) ELSE DRAW D3(N) !親集合(0,0)~(1,0) のＮ階写像. WAIT DELAY 1.5-EXP(N/40) NEXT N WAIT DELAY 1 END SUB !------ ３分岐型 PICTURE D3(k) IF 0<k THEN DRAW D3(k-1) WITH f1 DRAW D3(k-1) WITH f2 DRAW D3(k-1) WITH f3 ELSE DRAW Set01 LET col=col+3^(2-N) !　(2-N) 9色分割、(3-N) 27色分割、(4-N) 81色分割 END IF END PICTURE !------ ２分岐型 PICTURE D(k) IF 0<k THEN DRAW D(k-1) WITH f1 DRAW D(k-1) WITH f2 ELSE DRAW Set01 LET col=col+2^(4-N) !　(2-N) 4色分割、(3-N) 8色分割、(4-N) 16色分割 END IF END PICTURE !------ 親集合(0,0)~(1,0) PICTURE Set01 SET LINE COLOR INT(col) PLOT LINES: 0,0;1,0 IF N<5 THEN PLOT POINTS:0.85,0 ! (1,0)方向８５％位置に、のマークを付ける。 END PICTURE END

Re: !続く	返事を書くノートメニュー
SECOND <cszcthjjdj> 2007/08/30 14:13:34 ** この記事は2回修正されてます
色分けの不具合を、訂正。特に、ペアノ曲線が重症でした。他のパターンについても、下記の訂正をする事で、自己相似状態、接合状態が、正しく色分けされるようになった。 ※ルート・スレッド掲示の方は、すでに修正されています。（　） OPTION ARITHMETIC NATIVE !　←追加、是非ではないが高速になる。 SET TEXT FONT "ＭＳ明朝",18 DIM f1(4,4), f2(4,4), f3(4,4) （　） !---------- SUB Afine(t$, Nmax, xm, ym, h) ! (題名, 最大N, 中心X, 中心Y, 半幅) SET WINDOW xm-h,xm+h, ym-h,ym+h FOR N=0 TO Nmax CLEAR DRAW grid PLOT TEXT,AT xm-h0.8,ym+h0.8, USING "N= %%":N PLOT TEXT,AT xm-h0.4,ym+h0.8:t$ !LET col=0　→削除 LET col=1 !　←追加 IF D23=2 THEN DRAW D(N) ELSE DRAW D3(N) !親集合(0,0)~(1,0) のＮ階写像. WAIT DELAY 1.5-EXP(N/40) NEXT N WAIT DELAY 1 END SUB PICTURE D3(k) IF 0<k THEN DRAW D3(k-1) WITH f1 DRAW D3(k-1) WITH f2 DRAW D3(k-1) WITH f3 !LET col=col+3^(4-N)　→削除 ELSE DRAW Set01 LET col=col+3^(2-N) !　←追加、(2-N) 9色分割、(3-N) 27色分割、(4-N) 81色分割 END IF END PICTURE PICTURE D(k) IF 0<k THEN DRAW D(k-1) WITH f1 DRAW D(k-1) WITH f2 !LET col=col+2^(4-N)　→削除 ELSE DRAW Set01 LET col=col+2^(4-N) !　←追加、(2-N) 4色分割、(3-N) 8色分割、(4-N) 16色分割 END IF END PICTURE !------ 親集合(0,0)~(1,0) PICTURE Set01 !SET LINE COLOR MOD(col,16)+1　→削除 SET LINE COLOR INT(col) !　←追加 PLOT LINES: 0,0;1,0 IF N<5 THEN PLOT POINTS:0.85,0 ! (1,0)方向８５％位置に、* のマークを付ける。 END PICTURE END

Re: !続く	返事を書くノートメニュー
SECOND <cszcthjjdj> 2007/09/04 13:32:50 ** この記事は1回修正されてます
修正２～３の内容対照の複素数形式を改め、できるだけ相互の式の対照を、揃えた。動作は、変化していない。コッホの曲線の複素数参照式、誤り訂正。付録、「変形指示mat文と複素数形式の相互対照」 \|f0(z)\|=\|a　b\|\|　z　　\|+\|0　　\| \|f1(z)\| \|r　d\|\|conj(z)\| \|1-r-d\| f0(z)= az +bconj(z) f1(z)= rz +dconj(z) +1-r-d 次のように、書き直すと、f1(z) が、(1,0)を新たな原点とする様な写像（回転縮小）になっているのが、見易くなる。　反面、上の複素行列のようには、書けなくなる。 f0(z)= az　　 +bconj(z) f1(z)= r(z-1) +dconj(z-1) +1 MAT w1=　　　　　　 ROTATE( ATN(IM(a)/RE(a)) )SCALE(ABS(a))　・・・a MAT w2= SCALE(1,-1)ROTATE( ATN(IM(b)/RE(b)) )SCALE(ABS(b))　・・・bconj() MAT _f0= w1+w2　・・・_f0(4,4)は、システム予約=１へ書き戻す。 MAT w1=　　　　　　 ROTATE( ATN(IM(r)/RE(r)) )SCALE(ABS(r))　・・・r* MAT w2= SCALE(1,-1)ROTATE( ATN(IM(d)/RE(d)) )SCALE(ABS(d))　・・・dconj() MAT w3= w1+w2　・・・ w3(4,4)は、システム予約=１へ書き戻す。 MAT _f1= SHIFT(-1,0) w3 SHIFT(1,0)　・・・(z-1)、+1 f1(z)= r(z-m) +dconj(z-m) +m　　・・・m の座標が(1,0)でない場合、 MAT _f1= SHIFT(-RE(m),-IM(m)) w3 *SHIFT(RE(m),IM(m)) ※a　と b　は、片方＝０、　r　と d　も、片方＝０、が殆んどで、w1+w2 の計算が必要になる事は、めったにない。

Re: 修正２～３の内容	返事を書くノートメニュー
山中和義 <drdlxujciw> 2007/09/04 15:18:24
DEF文の変換式は元のでいいのでは？間違いかもしれませんが、私はこう認識しています。（共役部分）縮小写像の変換式点pにおける縮小写像の複素数形式　DEF f(Z, a,b,p)=a(Z-p)+b(conj(Z)-p)+p !またはaZ+bconj(Z)+p(1-a-b) は、点pにおける縮小写像の行列形式（同次座標）　DIM ma(4,4),mb(4,4),f(4,4) 　MAT ma=SCALE(ABS(a))ROTATE(arg(a)) !aZ 　MAT mb=SCALE(1,-1)SCALE(ABS(b))ROTATE(arg(b)) !bconj(Z) 　MAT f=ma+mb !原点における縮小写像　LET f(4,4)=1 !※システム予約　MAT f=SHIFT(-re(p),-im(p))fSHIFT(re(p),im(p)) !点pにおける縮小写像　　※ABS(0)のときのarg(0)に注意と記述できる。 ABS(a)やarg(a)を代数的に求めれば、SCALE(1/SQR(2))やROTATE(PI/6)のようになる。

Re: DEF文の変換式は元のでいいのでは？	返事を書くノートメニュー
SECOND <cszcthjjdj> 2007/09/04 17:57:16 ** この記事は2回修正されてます
いえ、元のは、Ｘだと思います。白石先生、御願いします。以下の内容の、問題です。f1(z)～が、写像原点を、(1,0) でなく、m1～を使用する場合です。 !-----３分岐複素関数形式 !DEF f0(z)=az+bconj(z) !DEF f1(z)=rz+dconj(z) +m1(1-r-d) ←修正前、誤り !DEF f2(z)=ez+fconj(z) +m2(1-e-f) ←　～、誤り !-----３分岐複素関数形式 !DEF f0(z)=az+bconj(z) !DEF f1(z)=rz+dconj(z) +m1(1-r)-conj(m1)d ←正 !DEF f2(z)=ez+fconj(z) +m2(1-e)-conj(m2)f ←正 DEF f0(z)=az+bconj(z) DEF f1(z)=r(z-m1)+dconj(z-m1) +m1 !　←この方が解り易い DEF f2(z)=e(z-m2)+fconj(z-m2) +m2 !　←　～ !-----

Re: DEF文の変換式は元のでいいのでは？	返事を書くノートメニュー
SECOND <cszcthjjdj> 2007/09/04 20:33:05
貴兄の計算、MAT文は、新しい方、～conj(z-p) +p に、なっています。よく見てください。点pにおける縮小写像の複素数形式　DEF f(Z, a,b,p)=a(Z-p)+b(conj(Z)-p)+p !またはaZ+bconj(Z)+p(1-a-b) は、点pにおける縮小写像の行列形式（同次座標）　DIM ma(4,4),mb(4,4),f(4,4) 　MAT ma=SCALE(ABS(a))ROTATE(arg(a)) !aZ 　MAT mb=SCALE(1,-1)SCALE(ABS(b))ROTATE(arg(b)) !bconj(Z) 　MAT f=ma+mb !原点における縮小写像　LET f(4,4)=1 !※システム予約　MAT f=SHIFT(-re(p),-im(p))fSHIFT(re(p),im(p)) !点pにおける縮小写像

Re: 貴兄の計算、MAT文は、新しい方、～conj(z-...	返事を書くノートメニュー
山中和義 <drdlxujciw> 2007/09/05 09:31:42
私の理解が間違っていました。行列の縮小写像は、～conj(z-p)+pに対応しているんですね。以下、確認のプログラム OPTION ARITHMETIC COMPLEX LET i=complex(0,1) !虚数単位 LET z1=0+i !試験用のデータ LET z2=1+i LET r=EXP(iPI/6)/SQR(3) !試験用の変換 LET d=2-i LET m1=1+iSQR(3) DEF f1(z)=r(z-m1)+dconj(z-m1)+m1 DEF f2(z)=r(z-m1)+d(conj(z)-m1)+m1 PRINT f1(z1) PRINT f1(z2) PRINT PRINT f2(z1) PRINT f2(z2) PRINT DIM w1(4,4),w2(4,4),w3(4,4),M(4,4) MAT w1=ROTATE(ATN(im(r)/re(r)))SCALE(ABS(r)) !r MAT w2=SCALE(1,-1)ROTATE(ATN(im(d)/re(d)))SCALE(ABS(d)) !dconj() MAT w3=w1+w2 LET w3(4,4)=1 !w3(4,4)は、システム予約=１へ書き戻す。 MAT M=SHIFT(-re(m1),-im(m1)) w3 SHIFT(re(m1),im(m1)) !(z-m1)、+m1 DIM p(4) LET p(1)=re(z1) !x　※z=x+yi LET p(2)=im(z1) !y LET p(3)=0 LET p(4)=1 MAT p=pM MAT PRINT p LET p(1)=re(z2) !x　※z=x+yi LET p(2)=im(z2) !y LET p(3)=0 LET p(4)=1 MAT p=p*M MAT PRINT p END

Re: 修正２～３の内容	返事を書くノートメニュー
山中和義 <drdlxujciw> 2007/09/04 15:38:58 ** この記事は1回修正されてます
!複素数形式を行列形式（変形指示mat文、行列）に変換してみる OPTION ARITHMETIC complex LET i=SQR(-1) !虚数単位 SET TEXT FONT "ＭＳ明朝",18 DIM f1(4,4), f2(4,4), f3(4,4) LET a=0 LET b=(3+SQR(3)i)/6 LET p=0 CALL SetM2(a,b,p, f1) !!!CALL SetM(a,b,p, f1) LET c=0 LET d=(3-SQR(3)i)/6 LET p=1 CALL SetM2(c,d,p, f2) !!!CALL SetM(c,d,p, f2) CALL Afine("コッホの曲線", 14, 0.5, 0.1, 0.6) SUB SetM(a,b,p, f(,)) !点pにおける縮小写像 a(Z-p)+bConj(Z-p)+p または aZ+bConj(Z)+p(1-a)-bconj(p) DIM ma(4,4),mb(4,4) MAT ma=ZER !aZを得る IF ABS(a)>0 THEN MAT ma=SCALE(ABS(a))ROTATE(arg(a)) MAT mb=ZER !bConj(Z)を得る IF ABS(b)>0 THEN MAT mb=SCALE(1,-1)SCALE(ABS(b))ROTATE(arg(b)) !共役 MAT f=ma+mb !原点における縮小写像aZ+bConj(Z)を得る LET f(4,4)=1 MAT f=SHIFT(-re(p),-im(p))fSHIFT(re(p),im(p)) !点ｐにおける縮小写像を得る END SUB SUB SetM2(c,d,p, f(,)) DIM mc(2,2),md(2,2),mt(2,2),ms(4,4) LET mc(1,1)=re(c) !複素数ｃを行列へ LET mc(1,2)=-im(c) LET mc(2,1)=im(c) LET mc(2,2)=re(c) LET md(1,1)=re(d) !複素数ｄを行列へ LET md(1,2)=-im(d) LET md(2,1)=im(d) LET md(2,2)=re(d) LET mt(1,1)=1 !共役　※Ｘ軸対称 LET mt(1,2)=0 LET mt(2,1)=0 LET mt(2,2)=-1 MAT md=mdmt !dConj(Z)を得る MAT mt=mc+md !原点における縮小写像cZ+dConj(Z)を得る MAT f=IDN !点ｐにおける縮小写像を得るために同次座標系へ LET f(1,1)=mt(1,1) LET f(1,2)=mt(2,1) !※転置（座標は行ベクトルのため） LET f(2,1)=mt(1,2) !※ LET f(2,2)=mt(2,2) MAT ms=IDN !点ｐから原点へ平行移動 LET ms(4,1)=-re(p) LET ms(4,2)=-im(p) MAT f=msf !縮小写像を行う LET ms(4,1)=re(p) !もとの位置ｐへ LET ms(4,2)=im(p) MAT f=fms !点ｐにおける縮小写像c(Z-p)+dConj(Z-p)+pを得る END SUB !---------- SUB Afine(t$, Nmax, xm, ym, h) ! (題名, 最大N, 中心X, 中心Y, 半幅) SET WINDOW xm-h,xm+h, ym-h,ym+h FOR N=0 TO Nmax CLEAR DRAW grid PLOT TEXT,AT xm-h0.8,ym+h0.8, USING "N= %%":N PLOT TEXT,AT xm-h0.4,ym+h0.8:t$ LET col=1 DRAW D(N) !親集合(0,0)~(1,0) のＮ階写像. WAIT DELAY 1.5-EXP(N/40) NEXT N WAIT DELAY 1 END SUB !------ PICTURE D(k) IF 0<k THEN DRAW D(k-1) WITH f1 DRAW D(k-1) WITH f2 ELSE DRAW Set01 LET col=col+2^(4-N) !(2-N) 4色分割、(3-N) 8色分割、(4-N) 16色分割 END IF END PICTURE !------ 親集合(0,0)~(1,0) PICTURE Set01 SET LINE COLOR INT(col) PLOT LINES: 0,0;1,0 IF N<5 THEN PLOT POINTS:0.85,0 ! (1,0)方向８５％位置に、のマークを付ける。 END PICTURE END

Re: !複素数形式を行列形式（変形指示mat文、行...	返事を書くノートメニュー
SECOND <cszcthjjdj> 2007/09/04 19:26:53 ** この記事は1回修正されてます
この件を、実験的に示せる例題がありません。結果が違ったものになるためには、　d　・・conj(z) の係数が、０でなく、かつ、　f1(z) の写像原点ｐが、（私は、m1,m2,の記号を使用した）　(1,0) でなく、Tragon のように、虚数部を含む必要が、あります。ただ、変形指示mat文で、両サイドに、 SHIFT(-re( p ),-im( p ) )SCALE(1,-1) ～　～ SHIFT(re( p ),im( p ) ) を、置くならば、～conj(z-p) +p とした事に、なるでしょう。

Re: 変形指示mat文で書くフラクタル画像１１種類	返事を書くノートメニュー
SECOND <cszcthjjdj> 2007/08/30 22:38:43 ** この記事は2回修正されてます
!複素関数で書くTragon とシルピンスキーのガスケット !構造が同じ、写像関数とプログラム、であるのに、 !Ｎが大きくなると、描画の順序が、違っているのが、見えてきます。 !（変形指示mat文形式) !写像関数(行列)の方を、直列計算し、出来た関数で写像する。 !平行移動成分が、回毎に、小さくなっていくためか、隣接描画。 !（複素関数形式） !写像関数を固定し、座標数値だけを、繰返し直列計算する。 !平行移動成分が、毎回、固定され、全体へ分散しながら描画。 !色分けの際に注意。 SET TEXT FONT "ＭＳ明朝",18 OPTION ARITHMETIC COMPLEX DIM z0(0 TO 3^10) ! 最大N=10 LET i=complex(0,1) ! i= 虚数 !-----３分岐複素関数形式 !DEF f0(z)=az+bconj(z) !DEF f1(z)=rz+dconj(z) +m1(1-r-d) ←修正前、誤り !DEF f2(z)=ez+fconj(z) +m2(1-e-f) ←　～、誤り !-----３分岐複素関数形式 !DEF f0(z)=az+bconj(z) !DEF f1(z)=rz+dconj(z) +m1(1-r)-conj(m1)d ←正 !DEF f2(z)=ez+fconj(z) +m2(1-e)-conj(m2)f ←正 DEF f0(z)=az+bconj(z) DEF f1(z)=r(z-m1)+dconj(z-m1) +m1 !　←この方が解り易い DEF f2(z)=e(z-m2)+fconj(z-m2) +m2 !　←　～ !----- !MAT f1=SCALE(1/SQR(3))ROTATE(PI/6) !MAT f2=SHIFT(-2,0)SCALE(1/SQR(3))ROTATE(PI/6)SHIFT(2,0) !MAT f3=SHIFT(-1,-SQR(3))SCALE(1/SQR(3))ROTATE(PI/6)SHIFT(1,SQR(3)) !----- LET a=EXP(iPI/6)/SQR(3) LET b=0 LET r=a LET d=0 LET m1=2 LET e=a LET f=0 LET m2=1+iSQR(3) CALL Afine("Tragon 集合", 10, 1, 0.8, 2) !----- !MAT f1=SCALE(1/2) !MAT f2=SHIFT(-2,0)SCALE(1/2)SHIFT(2,0) !MAT f3=SHIFT(-1,-SQR(3))SCALE(1/2)SHIFT(1,SQR(3)) !----- LET a=1/2 LET b=0 LET r=1/2 LET d=0 LET m1=2 LET e=1/2 LET f=0 LET m2=1+iSQR(3) CALL Afine("シルピンスキーのガスケット", 10, 1, 0.8, 1.5) !---------- SUB Afine(t$, Nmax, xm, ym, h) ! (題名, 最大N, 中心X, 中心Y, 半幅) SET WINDOW xm-h,xm+h, ym-h,ym+h FOR N=0 TO Nmax CLEAR DRAW grid PLOT TEXT,AT xm-h0.8,ym+h0.8, USING "N= %%":N PLOT TEXT,AT xm-h0.4,ym+h0.8:t$ LET cx=0 CALL f0f1s(N, 0) ! z=0 の写像。記憶のみ。 LET cx=0 CALL f0f1(N, 1) ! z=1 の写像。 z=0 の記憶と線で結ぶ。 WAIT DELAY 1.5-EXP(N/40) NEXT N beep WAIT DELAY 1 END SUB !------ 全て z=0 の写像。記憶のみ。 SUB f0f1s(k, z) IF 0<k THEN CALL f0f1s(k-1, f0(z)) CALL f0f1s(k-1, f1(z)) CALL f0f1s(k-1, f2(z)) ELSE LET z0(cx)=z LET cx=cx+1 END IF END SUB !------ 全て z=1 の写像。 z=0 の記憶z0() と線で結ぶ。 SUB f0f1(k, z) IF 0<k THEN CALL f0f1(k-1, f0(z)) CALL f0f1(k-1, f1(z)) CALL f0f1(k-1, f2(z)) ELSE DRAW linez0(z) LET cx=cx+1 END IF END SUB !------ z0()~z の写像の直線を描き、z 側の８５％位置に、* のマークを付ける。 PICTURE linez0(z) SET LINE COLOR MOD(cx,9)+1 ! 3^2=9色分割、3^3=27色分割、3^4=81色分割・・(分岐数)^m PLOT LINES: re(z0(cx)),im(z0(cx)); re(z),im(z) IF N<4 THEN PLOT POINTS: re(z0(cx))0.15+re(z)0.85, im(z0(cx))0.15+im(z)0.85 END PICTURE END

Re: !複素関数で書くTragonとシルピンスキーのガ...	返事を書くノートメニュー
SECOND <cszcthjjdj> 2007/09/03 19:29:07
DEF 文に大きな訂正が、あります。すみません。不幸にも、動作上に変化は、ありませんが、大きな間違いでした。

Re: 変形指示mat文で書くフラクタル画像１１種類	返事を書くノートメニュー
SECOND <cszcthjjdj> 2007/09/01 03:45:00
!T-square とシルピンスキーのカーペット OPTION ARITHMETIC NATIVE SET TEXT FONT "ＭＳ明朝",18 ASK bitmap SIZE savW,savH !　グラフ画面サイズの控え。 !---------- LET D48=4 SET BITMAP SIZE 641,641 CALL Afine("Ｔ－ｓｑｕａｒｅ", 6, 0, 0.2, 2.4) WAIT DELAY 2.5 LET D48=8 SET BITMAP SIZE 501,501 CALL Afine("シルピンスキーのカーペット", 6, 0, 0.3, 3.7) SET bitmap SIZE savW,savH !　グラフ画面サイズを、起動前に戻す。 !---------- SUB Afine(t$, Nmax, xm, ym, h) ! (題名, 最大N, 中心X, 中心Y, 半幅) SET WINDOW xm-h,xm+h, ym-h,ym+h FOR N=0 TO Nmax CLEAR DRAW grid PLOT TEXT,AT xm-h0.8,ym+h0.8, USING "N= %%":N PLOT TEXT,AT xm-h0.4,ym+h0.8:t$ LET col=0 IF D48=4 THEN DRAW D4(N) ELSE DRAW D8(N) WAIT DELAY 1.5-EXP(N/40) NEXT N END SUB !------ T-square PICTURE D4(k) IF 0<k THEN DRAW D4(k-1) WITH SCALE(1/2)SHIFT( 1, 1) DRAW D4(k-1) WITH SCALE(1/2)SHIFT(-1, 1) DRAW D4(k-1) WITH SCALE(1/2)SHIFT(-1,-1) DRAW D4(k-1) WITH SCALE(1/2)SHIFT( 1,-1) END IF !　０階１階２階・・Ｎ階、全て重ね書き。 PLOT AREA: -1,-1;1,-1;1,1;-1,1 !　親集合の塗りつぶされた正方形。 END PICTURE !------ シルピンスキーのカーペット Sierpinski carpet PICTURE D8(k) IF 0<k THEN DRAW D8(k-1) WITH SCALE(1/3)SHIFT( 2, 0) DRAW D8(k-1) WITH SCALE(1/3)SHIFT( 2, 2) DRAW D8(k-1) WITH SCALE(1/3)SHIFT( 0, 2) DRAW D8(k-1) WITH SCALE(1/3)SHIFT(-2, 2) DRAW D8(k-1) WITH SCALE(1/3)SHIFT(-2, 0) DRAW D8(k-1) WITH SCALE(1/3)SHIFT(-2,-2) DRAW D8(k-1) WITH SCALE(1/3)SHIFT( 0,-2) DRAW D8(k-1) WITH SCALE(1/3)SHIFT( 2,-2) ELSE SET LINE COLOR MOD(INT(col),16)+1 PLOT LINES: -1,-1;1,-1;1,1;-1,1;-1,-1 !　親集合の正方形。 LET col=col+8^(1-N) !　(0-N) 1色(黒)、(1-N) 8色分割、(2-N) 64色分割 END IF END PICTURE END

Re: 変形指示mat文で書くフラクタル画像１１種類	返事を書くノートメニュー
SECOND <cszcthjjdj> 2007/09/06 17:40:38
!トラゴンが踊る。 !このプログラムは、十進BASICサンプル fractal\TRIANGLE.BAS を、 !元にしたものです。 OPTION ARITHMETIC NATIVE OPTION ANGLE DEGREES SET POINT STYLE 1 LET alpha=-15 LET ds=15 LET N=9 LET h=3.6 DO SET WINDOW 1-h+ds/40, 1+h+ds/40, 0.5-h, 0.5+h SET DRAW mode hidden CLEAR PLOT TEXT,AT ds/40, 3:"Any Key to Stop" DRAW tragon(N) SET DRAW mode explicit IF 30<=ABS(alpha) THEN WAIT DELAY 0.5 SET DRAW mode hidden CLEAR DRAW tragon(N) SET DRAW mode explicit PLOT TEXT,AT ds/40, 3:"Any Key to Stop" WAIT DELAY 0.25 LET ds=-ds END IF LET alpha=alpha+ds CHARACTER INPUT NOWAIT:s$ LOOP UNTIL ""<s$ PICTURE tragon(k) IF 0<k THEN DRAW tragon(k-1) WITH SCALE(1/SQR(3))ROTATE(alpha) DRAW tragon(k-1) WITH SHIFT(-2,0)SCALE(1/SQR(3))ROTATE(alpha)SHIFT(2,0) DRAW tragon(k-1) WITH SHIFT(-1,-SQR(3))SCALE(1/SQR(3))ROTATE(alpha)*SHIFT(1,SQR(3)) ELSE SET POINT COLOR MOD(INT(col),8)+1 PLOT POINTS: 0,0 LET col=col+3^(2-N) END IF END PICTURE END