静電場の写像変換作画

２次元座標系において、無限平板導体（厚さ方向から見ると無限長直線に見える）
から距離aの位置に置かれた１個の点電荷によって生じる電位分布は、電気影像法を
使って、z平面のy軸の両側に等距離に置かれた真電荷と影像電荷の２個の電荷が作る
電位を計算することにより求められ、それらの電位の等しい箇所を線で結べば等電位
線が得られますが、この等電位線は、複素数関数を利用した等角写像を利用すると電
位を計算しなくても描ける（そして電気力線も）。

z平面のy軸を無限平板導体と想定した場合に、x軸上(a,j0)[(-a,j0)は影像]の位置に
それぞれ正[負]の点電荷を置いた場合の等電位線は、次の複素関数
w=Log((z-a)/(z+a))、ただし、j=sqr(-1)、z=x+j*y、w=u+j*v
によってz（x軸,y軸）平面からW平面（u軸、v軸）に写像変換すると、w平面上の
u=0,1,2,...（等電位直線）は、z平面の等電位曲線に写像出来る、と言うもの。

上式を変形して
z=(1+exp(w))/(1-exp(w))*(-a)
として下記のプログラムで等電位曲線を描く事が出来ました。

option arithmetic complex
set Window -1,20,-10,10
draw grid
j=sqr(-1)
a=2 !z平面上で電荷を置く座標点設定
for u=0 to 10 step 0.1 !w平面上での等電位線値（パラメータ）の設定
for v=-5 to 1.28 step 0.02
w=u+j*v
z=(1+exp(w))/(1-exp(w))*(-a)
plot lines:Re(z),Im(z);
next
plot lines
next

set line color "red"
for v=-5 to 1.28 step 0.1 !w平面上での等電気力線値（パラメータ）の設定
for u=0 to 10 step 0.02
w=u+j*v
z=(1+exp(w))/(1-exp(w))*(-a)
plot lines:Re(z),Im(z);
next
plot lines
next
end

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島村1243 <bjllmpcujp> 2007/11/10 20:38:09 ** この記事は4回修正されてます
２次元座標系において、無限平板導体（厚さ方向から見ると無限長直線に見える）から距離aの位置に置かれた１個の点電荷によって生じる電位分布は、電気影像法を使って、z平面のy軸の両側に等距離に置かれた真電荷と影像電荷の２個の電荷が作る電位を計算することにより求められ、それらの電位の等しい箇所を線で結べば等電位線が得られますが、この等電位線は、複素数関数を利用した等角写像を利用すると電位を計算しなくても描ける（そして電気力線も）。 z平面のy軸を無限平板導体と想定した場合に、x軸上(a,j0)[(-a,j0)は影像]の位置にそれぞれ正[負]の点電荷を置いた場合の等電位線は、次の複素関数 w=Log((z-a)/(z+a))、ただし、j=sqr(-1)、z=x+jy、w=u+jv によってz（x軸,y軸）平面からW平面（u軸、v軸）に写像変換すると、w平面上の u=0,1,2,...（等電位直線）は、z平面の等電位曲線に写像出来る、と言うもの。上式を変形して z=(1+exp(w))/(1-exp(w))(-a) として下記のプログラムで等電位曲線を描く事が出来ました。 option arithmetic complex set Window -1,20,-10,10 draw grid j=sqr(-1) a=2 !z平面上で電荷を置く座標点設定 for u=0 to 10 step 0.1 !w平面上での等電位線値（パラメータ）の設定 for v=-5 to 1.28 step 0.02 w=u+jv z=(1+exp(w))/(1-exp(w))(-a) plot lines:Re(z),Im(z); next plot lines next set line color "red" for v=-5 to 1.28 step 0.1 !w平面上での等電気力線値（パラメータ）の設定 for u=0 to 10 step 0.02 w=u+jv z=(1+exp(w))/(1-exp(w))*(-a) plot lines:Re(z),Im(z); next plot lines next end