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２×２の実正方行列による複素数の計算

　　２×２の実正方行列による複素数の計算 山中和義 2008/10/01 19:19:30 
　　└つづき 山中和義 2008/10/01 19:20:12 
　　　├!４×４の実行列によるクォータニオン（四元... 山中和義 2008/10/01 19:21:51 
　　　│├つづき 山中和義 2008/10/01 19:23:37 
　　　│└つづき 山中和義 2008/10/01 19:24:24 
　　　└!２×２の複素行列によるクォータニオン（四... 山中和義 2008/10/01 19:27:00 
　　　　└つづき 山中和義 2008/10/01 19:28:00 

　　２×２の実正方行列による複素数の計算 山中和義 2008/10/01 19:19:30   ツリーへ
２×２の実正方行列による複素数の計算 返事を書く ノートメニュー
山中和義 <drdlxujciw> 2008/10/01 19:19:30
!２×２の実行列による複素数の計算

DIM ZZ(2,2),T1(2,2),T2(2,2) !作業用


!行列の演算ルーチン

!関数
FUNCTION tr(A(,)) !行列Aのトレース
LET t=0 !対角成分の和
FOR m=1 TO MIN(UBOUND(A,1),UBOUND(A,2))
LET t=t+A(m,m)
NEXT m
LET tr=t
END FUNCTION


!複素数（二元数）の演算ルーチン

DIM i(2,2) !虚数単位
DATA 0,-1
DATA 1, 0
MAT READ i

SUB CompDiv(Z1(,),Z2(,), Z(,)) !除算 z=z1/z2
MAT ZZ=TRN(Z2)
MAT T1=Z1*ZZ !分子
MAT T2=Z2*ZZ !分母
MAT Z=( 2/tr(T2) )*T1
END SUB

!関数
SUB CompZER(Z(,)) !０　※Z=0
MAT Z=ZER
END SUB
SUB CompIDN(Z(,)) !１　※Z=1
MAT Z=IDN
END SUB
SUB CompRe(Z(,),ReZ(,)) !zの実部 Re(z)
MAT ZZ=TRN(Z)
MAT T1=Z+ZZ
MAT ReZ=(1/2)*T1 !ReZ=(Z+Z')/2
END SUB
SUB CompIm(Z(,),ImZ(,)) !zの虚部 Im(z)
MAT ZZ=TRN(Z)
MAT T1=Z-ZZ
MAT ImZ=(1/2)*T1 !ImZ=(Z-Z')/2
END SUB
SUB CompConj(Z(,), ZZ(,)) !共役複素数 z'=conj(z)=a-b*i、iは虚数単位
MAT ZZ=TRN(Z) !転置
END SUB
SUB CompABS(Z(,), AbsZ(,)) !絶対値|z|、ABS(z)　※ノルム
MAT ZZ=TRN(Z)
MAT T1=Z*ZZ !Z*Z'=|Z|^2
MAT AbsZ=( SQR( tr(T1)/2 ) )*IDN

!!!別解 MAT AbsZ=( SQR( DET(Z) ) )*IDN
END SUB
SUB CompINV(Z(,), iZ(,)) !逆数 1/z
MAT iZ=INV(Z)
END SUB

!関数　※ベクトル系
SUB CompDOT(Z1(,),Z2(,), Z(,)) !内積(z1,z2)=a1*a2+b1*b2
MAT ZZ=TRN(Z2)
MAT T1=Z1*ZZ
MAT Z=( tr(T1)/2 )*IDN !tr(Z1*Z2')/2
END SUB
SUB CompNRM(Z(,), nZ(,)) !正規化 |Z|=1
MAT ZZ=TRN(Z)
MAT T1=Z*ZZ !Z*Z'=|Z|^2
MAT nZ=( 1/SQR( tr(T1)/2 ) )*Z

!!!別解 MAT nZ=( 1/SQR( DET(Z) ) )*Z
END SUB

!表記
SUB dispComp(s$,Z(,)) !行列表記の複素数を表示する　※z=[ a, b ]
PRINT s$;"[ ";
PRINT Z(1,1);Z(2,1); !１列目
PRINT "]"
END SUB
SUB Comp(a,b, Z(,)) !複素数を行列表記する　※z=a+b*i、iは虚数単位
MAT T1=a*IDN !実部
MAT T2=b*i !虚部
MAT Z=T1+T2
END SUB
!---------- ここまでがサブルーチン
 
　　└つづき 山中和義 2008/10/01 19:20:12   ツリーへ
Re: ２×２の実正方行列による複素数の計算 返事を書く ノートメニュー
山中和義 <drdlxujciw> 2008/10/01 19:20:12
つづき



DIM A(2,2),AA(2,2)
CALL Comp(2,2, A) !z1=2+2i
CALL dispComp("z1'=",A)
MAT PRINT A;

DIM B(2,2),BB(2,2)
CALL Comp(1,-1, B) !z2=1-i
CALL dispComp("z2'=",B)
MAT PRINT B;


DIM C(2,2) !結果

CALL CompConj(A,C) !共役 z'
CALL dispComp("z1'=",C)

MAT C=A+B !加算 z1+z2
CALL dispComp("z1+z2=",C)

MAT C=A-B !減算 z1-z2
CALL dispComp("z1-z2=",C)

MAT C=(-3)*A !定数倍
CALL dispComp("(-3)*z1=",C)

MAT C=A*B !乗算 z1*z2
CALL dispComp("z1*z2=",C)

CALL CompDiv(A,B, C) !除算 z1/z2
CALL dispComp("z1/z2=",C)

CALL CompABS(A,C) !ノルム
CALL dispComp("|z1|=",C)


CALL CompDOT(A,B,C) !内積
CALL dispComp("(z1,z2)=",C)

CALL CompNRM(A,C) !正規化
CALL dispComp("z1/|z1|=",C)


END
 
　　　├!４×４の実行列によるクォータニオン（四元... 山中和義 2008/10/01 19:21:51   ツリーへ
Re: つづき 返事を書く ノートメニュー
山中和義 <drdlxujciw> 2008/10/01 19:21:51
!４×４の実行列によるクォータニオン（四元数）の計算

DIM ZZ(4,4),T1(4,4),T2(4,4) !作業用


!行列の演算ルーチン
FUNCTION tr(A(,)) !行列Aのトレース
LET t=0 !対角成分の和
FOR m=1 TO MIN(UBOUND(A,1),UBOUND(A,2))
LET t=t+A(m,m)
NEXT m
LET tr=t
END FUNCTION


!クォータニオン（四元数）の演算ルーチン

DIM i(4,4) !虚数単位
DATA 0,-1,0, 0
DATA 1, 0,0, 0
DATA 0, 0,0,-1
DATA 0, 0,1, 0
MAT READ i
DIM j(4,4) !虚数単位
DATA 0, 0,-1,0
DATA 0, 0, 0,1
DATA 1, 0, 0,0
DATA 0,-1, 0,0
MAT READ j
DIM k(4,4) !虚数単位
DATA 0,0, 0,-1
DATA 0,0,-1, 0
DATA 0,1, 0, 0
DATA 1,0, 0, 0
MAT READ k

!関数
SUB QuatZER(Z(,)) !零　※q=0
MAT Z=ZER
END SUB
SUB QuatIDN(Z(,)) !単位四元数　※q=1
MAT Z=IDN
END SUB
SUB QuatRe(Z(,),ReZ(,)) !qの実部 Re(q)
MAT ZZ=TRN(Z)
MAT T1=Z+ZZ
MAT ReZ=(1/2)*T1 !ReZ=(Z+Z')/2
END SUB
SUB QuatIm(Z(,),ImZ(,)) !qの虚部 Im(q)
MAT ZZ=TRN(Z)
MAT T1=Z-ZZ
MAT ImZ=(1/2)*T1 !ImZ=(Z-Z')/2
END SUB
SUB QuatConj(Z(,), ZZ(,)) !共役四元数　※q'=w-x*i-y*j-z*k、i,j,kは虚数単位
MAT ZZ=TRN(Z)
END SUB
SUB QuatABS(Z(,), AbsZ(,)) !絶対値|q|　※ノルム
MAT ZZ=TRN(Z)
MAT T1=Z*ZZ !q*q'=|q|^2
MAT AbsZ=( SQR( tr(T1)/4 ) )*IDN

!!!別解 MAT AbsZ=( DET(Z)^(1/4) )*IDN
END SUB
SUB QuatINV(Z(,), iZ(,)) !逆四元数q^-1
MAT iZ=INV(Z)
END SUB

 
　　　│├つづき 山中和義 2008/10/01 19:23:37   ツリーへ
Re: !４×４の実行列によるクォータニオン（四元... 返事を書く ノートメニュー
山中和義 <drdlxujciw> 2008/10/01 19:23:37
つづき


!関数　※ベクトル系
SUB QuatDOT(Z1(,),Z2(,), Z(,)) !内積(q1,q2)=w1*w2+x1*x2+y1*y2+z1*z2
MAT ZZ=TRN(Z2)
MAT T1=Z1*ZZ
MAT Z=( tr(T1)/4 )*IDN !tr(q1*q2')/4
END SUB
SUB QuatNRM(Z(,), nZ(,)) !正規化 |q|=1
MAT ZZ=TRN(Z)
MAT T1=Z*ZZ !q*q'=|q|^2
MAT nZ=( 1/SQR( tr(T1)/4 ) )*Z

!!!別解 MAT nZ=( 1/DET(Z)^(1/4) )*Z
END SUB
SUB QuatCROSS(Z1(,),Z2(,), Z(,)) !外積q1×q2　※ベクトル(x,y,z)=[0,x,y,z]
MAT Z=Z1*Z2 !w=0より、q1*q2=-(q1,q2)+q1×q2
CALL QuatDOT(Z1,Z2,T1)
MAT Z=Z+T1
END SUB

!表記
SUB dispQuat(s$,q(,)) !行列表記の四元数を表示する　※q=[w,x,y,z]
PRINT s$;"[ ";
PRINT q(1,1);q(2,1);q(3,1);q(4,1); !１列目
PRINT "]"
END SUB
SUB Quat(w,x,y,z, q(,)) !四元数を行列表記する　※q=w+x*i+y*j+z*k、i,j,kは虚数単位
MAT q=w*IDN !実行列
MAT T1=x*i
MAT q=q+T1
MAT T1=y*j
MAT q=q+T1
MAT T1=z*k
MAT q=q+T1
END SUB
!---------- ここまでがサブルーチン



!q1,q2を複素行列で表現する
DIM q1(4,4) !q1=3+2i-j-2k
CALL Quat(3,2,-1,-2, q1)
CALL dispQuat("q1=",q1)
MAT PRINT q1; !debug debug debug

DIM q2(4,4) !q2=-2-4i+j-3k
CALL Quat(-2,-4,1,-3, q2)
CALL dispQuat("q2=",q2)
MAT PRINT q2;

 
　　　│└つづき 山中和義 2008/10/01 19:24:24   ツリーへ
Re: !４×４の実行列によるクォータニオン（四元... 返事を書く ノートメニュー
山中和義 <drdlxujciw> 2008/10/01 19:24:24
つづき




DIM q(4,4),qq(4,4) !結果

CALL QuatConj(q1,q) !共役 q'
CALL dispQuat("q1'=",q)

MAT q=q1+q2 !加算 q1+q2
CALL dispQuat("q1+q2=",q)

MAT q=q1-q2 !減算 q1-q2
CALL dispQuat("q1-q2=",q)

MAT q=(-3)*q2 !実数倍
CALL dispQuat("(-3)*q1=",q)

MAT q=q1*q2 !乗算 q1*q2
CALL dispQuat("q1*q2=",q)

MAT q=q2*q1 !q2*q1
CALL dispQuat("q2*q1=",q) !q1*q2≠q2*q1

CALL QuatABS(q1,q) !ノルム
CALL dispQuat("|q1|=",q)
PRINT DET(q1); SQR(DET(q1)); DET(q1)^(1/4) !検算


CALL QuatRe(q1,q)
CALL dispQuat("Re(q1)=",q)

CALL QuatIm(q1,q)
CALL dispQuat("Im(q1)=",q)


CALL QuatDOT(q1,q2,q) !内積
CALL dispQuat("(q1,q2)=",q)
PRINT 3*(-2)+2*(-4)+(-1)*1+(-2)*(-3) !検算

CALL Quat(0,1,2,3, q1) !ベクトル(1,2,3)
CALL Quat(0,-1,1,2, q2) !ベクトル(-1,1,2)
CALL QuatCROSS(q1,q2,q)
CALL dispQuat("q1×q2=",q) !外積



END
 
　　　└!２×２の複素行列によるクォータニオン（四... 山中和義 2008/10/01 19:27:00   ツリーへ
Re: つづき 返事を書く ノートメニュー
山中和義 <drdlxujciw> 2008/10/01 19:27:00
!２×２の複素行列によるクォータニオン（四元数）の計算

OPTION ARITHMETIC COMPLEX

DIM ZZ(2,2),T1(2,2),T2(2,2) !作業用


!行列の演算ルーチン

!関数
FUNCTION tr(A(,)) !行列Aのトレース
LET t=0 !対角成分の和
FOR m=1 TO MIN(UBOUND(A,1),UBOUND(A,2))
LET t=t+A(m,m)
NEXT m
LET tr=t
END FUNCTION
SUB MatrixConj(A(,), AA(,)) !複素共役行列 ~A
IF UBOUND(A,1)<>UBOUND(AA,1) OR UBOUND(A,2)<>UBOUND(AA,2) THEN
PRINT "行または列の大きさが違います。"
STOP
END IF
FOR m=1 TO UBOUND(A,1)
FOR n=1 TO UBOUND(A,2)
LET AA(m,n)=conj(A(m,n))
NEXT n
NEXT m
END SUB
SUB MatrixConjTRN(A(,), AA(,)) !複素共役転置行列 A*
DIM T9(100,100)
MAT T9=ZER(UBOUND(A,1),UBOUND(A,2))
CALL MatrixConj(A,T9)
IF UBOUND(A,1)<>UBOUND(AA,2) OR UBOUND(A,2)<>UBOUND(AA,1) THEN
PRINT "行または列の大きさが違います。"
STOP
END IF
MAT AA=TRN(T9)
END SUB


!クォータニオン（四元数）の演算ルーチン

DIM i(2,2) !虚数単位
DATA 0,-1
DATA 1, 0
MAT READ i

!関数
SUB QuatZER(Z(,)) !零　※q=0
MAT Z=ZER
END SUB
SUB QuatIDN(Z(,)) !単位四元数　※q=1
MAT Z=IDN
END SUB
SUB QuatRe(Z(,),ReZ(,)) !qの実部 Re(q)
CALL MatrixConjTRN(Z,ZZ)
MAT T1=Z+ZZ
MAT ReZ=(1/2)*T1 !ReZ=(Z+Z')/2
END SUB
SUB QuatIm(Z(,),ImZ(,)) !qの虚部 Im(q)
CALL MatrixConjTRN(Z,ZZ)
MAT T1=Z-ZZ
MAT ImZ=(1/2)*T1 !ImZ=(Z-Z')/2
END SUB
SUB QuatConj(Z(,), ZZ(,)) !共役四元数　※q'=w-x*i-y*j-z*k、i,j,kは虚数単位
CALL MatrixConjTRN(Z,ZZ)
END SUB
SUB QuatABS(Z(,), AbsZ(,)) !絶対値|q|　※ノルム
CALL MatrixConjTRN(Z,ZZ)
MAT T1=Z*ZZ !q*q'=|q|^2
MAT AbsZ=( SQR( tr(T1)/2 ) )*IDN

!!!別解 MAT AbsZ=( SQR( DET(Z) ) )*IDN
END SUB
SUB QuatINV(Z(,), iZ(,)) !逆四元数q^-1
MAT iZ=INV(Z)
END SUB
 
　　　　└つづき 山中和義 2008/10/01 19:28:00   ツリーへ
Re: !２×２の複素行列によるクォータニオン（四... 返事を書く ノートメニュー
山中和義 <drdlxujciw> 2008/10/01 19:28:00
つづき


!関数　※ベクトル系
SUB QuatDOT(Z1(,),Z2(,), Z(,)) !内積(q1,q2)=w1*w2+x1*x2+y1*y2+z1*z2
CALL MatrixConjTRN(Z2,ZZ)
MAT T1=Z1*ZZ
MAT Z=( tr(T1)/2 )*IDN !tr(q1*q2')/2
END SUB
SUB QuatNRM(Z(,), nZ(,)) !正規化 |q|=1
CALL MatrixConjTRN(Z,ZZ)
MAT T1=Z*ZZ !q*q'=|q|^2
MAT nZ=( 1/SQR( tr(T1)/2 ) )*Z

!!!別解 MAT nZ=( 1/SQR( DET(Z) ) )*Z
END SUB
SUB QuatCROSS(Z1(,),Z2(,), Z(,)) !外積q1×q2　※ベクトル(x,y,z)=[0,x,y,z]
!積q1*q2=(s1, V1)*(s2, V2)=(s1*s2-(V1,V2), s1*V2+s2*V1+V1×V2)
MAT Z=Z1*Z2 !w=0より、q1*q2=-(q1,q2)+q1×q2
CALL QuatDOT(Z1,Z2,T1)
MAT Z=Z+T1
END SUB

!表記
SUB dispQuat(s$,q(,)) !行列表記の四元数を表示する　※q=[ (w,x) (y,z) ]
PRINT s$;"[ ";
PRINT Re(q(1,1));Im(q(1,1)); Re(q(1,2));Im(q(1,2)); !１行目
PRINT "]"
END SUB
SUB Quat(w,x,y,z, q(,)) !四元数を行列表記する　※q=w+x*i+y*j+z*k、i,j,kは虚数単位
!q=a+b*i+c*j+d*k、i,j,kは虚数単位
!┌ a+b*i c+d*i ┐=a*１+b*I+c*J+d*K
!└ -c+d*i a-b*i ┘
!パウリ行列
!1=┌ 1 0 ┐
! └ 0 1 ┘
!I=┌ i 0 ┐
! └ 0 -i ┘
!J=┌ 0 1 ┐
! └ -1 0 ┘
!K=┌ 0 i ┐
! └ i 0 ┘
LET q(1,1)=COMPLEX(w,x)
LET q(1,2)=COMPLEX(y,z)
LET q(2,1)=COMPLEX(-y,z)
LET q(2,2)=COMPLEX(w,-x)
END SUB
!---------- ここまでがサブルーチン


!q1,q2を複素行列で表現する
DIM q1(2,2) !q1=3+2i-j-2k
CALL Quat(3,2,-1,-2, q1)
CALL dispQuat("q1=",q1)
MAT PRINT q1; !debug debug debug

DIM q2(2,2) !q2=-2-4i+j-3k
CALL Quat(-2,-4,1,-3, q2)
CALL dispQuat("q2=",q2)
MAT PRINT q2;


DIM q(2,2),qq(2,2) !結果

CALL QuatConj(q1,q) !共役 q'
CALL dispQuat("q1'=",q)

MAT q=q1+q2 !加算 q1+q2
CALL dispQuat("q1+q2=",q)

MAT q=q1-q2 !減算 q1-q2
CALL dispQuat("q1-q2=",q)

MAT q=(-3)*q2 !実数倍
CALL dispQuat("(-3)*q1=",q)

MAT q=q1*q2 !乗算 q1*q2
CALL dispQuat("q1*q2=",q)

MAT q=q2*q1 !q2*q1
CALL dispQuat("q2*q1=",q) !q1*q2≠q2*q1

CALL QuatABS(q1,q) !ノルム
CALL dispQuat("|q1|=",q)
PRINT DET(q1); SQR(DET(q1))


END

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